Razón por la cual FμνFμνFμνFμνF^{\mu\nu}F_{\mu\nu} y F~μνFμνF~μνFμν\tilde{F}_{\mu\nu}F^{\mu\nu} son invariantes de Lorentz

Estoy tratando de pensar en un razonamiento intuitivo de por qué F m v F m v y F ~ m v F m v son invariantes de Lorentz. Con esto quiero decir que no solo quiero mostrar que permanecen sin cambios después de realizar una transformación de Lorentz y ver que termino con las mismas expresiones, sino una especie de comprensión "más profunda" de por qué esto es así. Realmente no puedo pensar por qué estas expresiones (escritas en vectores como mi 2 − B 2 y B ⋅ mi con algunas constantes) sería el mismo para cada observador inercial, mientras que para un intervalo de espacio-tiempo puedo entender esto.

¿Hay tal vez una buena referencia que alguien podría señalarme?

Podría buscar las transformaciones de Lorentz de la B y mi campos (12.108 en Introducción a la electrodinámica de Griffiths, también hay una derivación). Luego, la sección 12.3.3 explica cómo construir explícitamente el tensor de campo EM y su dual. Finalmente, los ejercicios 12.46 y 12.50 ayudan a desarrollar una intuición.
Si bien las expresiones en términos de los campos eléctrico y magnético no son obviamente invariantes de Lorentz, la invariancia de Lorentz se manifiesta cuando se escribe en términos de la fuerza del campo electromagnético. Esto es similar a por qué el producto escalar de dos vectores en R 3 son invariantes bajo rotaciones. Una simple búsqueda de "cuatro vectores" le dará la respuesta.
No sé si esto es "intuitivo" para ti, pero si aceptas que F es un tensor, entonces obviamente sus contracciones son escalares.
@Danu: Hm, tengo que decir que realmente no veo cómo esos dan una intuición, parecen mostrar que es cierto, en lugar de dar una especie de razón subyacente. Suresh: No estoy seguro de seguir completamente. ¿Quiere decir que el equivalente de 4 vectores de un producto escalar es invariante bajo las transformaciones de Lorentz? Enucatl: Me temo que estoy buscando un poco más que eso, sí, ya que sé que eso es cierto, pero estoy tratando de entender por qué, en este caso específico. ¿Qué hace que estas cantidades sean tan especiales?
@ user129412 Sí, el equivalente de 4 vectores de un producto punto ( X m y m ) en el espacio de Minkowski es un escalar, al igual que el producto escalar euclidiano en R 3 ( X i y i ). El hecho de que podamos organizar números no invariantes en 4 vectores con un 'producto escalar' invariante sugiere que algo similar podría ser posible, ordenar vectores de 3 componentes en 2 tensores con un 'producto escalar' invariante. Las leyes de transformación específicas para mi y B son especialmente sugerentes , por eso me referí a ellos.
@suresh Creo que esto no es lo que OP está preguntando. La verdadera cuestión sería cómo dejar claro a priori que esta combinación de los componentes de mi y B se puede arreglar para formar F m v , tal que tenemos los escalares mencionados anteriormente.
Mmm, ya veo. ¿Sería válido decir que un escalar construido a partir del producto de dos tensores es invariante de Lorentz?
@ user129412 De hecho, lo es. Cualquier objeto que se pueda escribir en la forma A = t m X m b λ k ρ C k F λ ρ … (es decir, una 'contracción completa' de un producto de tensores de rango arbitrario) es un escalar y, por lo tanto, invariante de Lorentz.
Hm, su respuesta parece sugerir que todos los escalares son invariantes de Lorentz, pero entonces, ¿por qué hay una clase 'especial' llamada escalares de Lorentz? en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_scalar
@ user129412 todos los escalares construidos de la manera que acabo de describir son escalares de Lorentz. En el uso diario, las palabras escalar y escalares de Lorentz se usan indistintamente.
Qué F ~ m v ?
Es el tensor de campo dual. La notación puede ser algo poco convencional, me disculpo.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/87817/2451 y enlaces allí.
De hecho, sé qué es eso, pero creo que deberías definirlo aquí.
Los valores propios son invariantes, encuentre los valores propios de F v m calculando la ecuación característica det ( F v m − λ d v m ) = 0 , los coeficientes del polinomio característico escupen ambas expresiones (y por el teorema de Vieta se expresan en términos de los valores propios, por lo tanto, invariantes), Dalarsson sec. 15.3.

Respuestas (2)

Son escalares de lorentz. Todo escalar es invariante de lorentz.

F m v es un tensor de Lorentz, fácil de ver por ∂ m A v − ∂ v A m , que es una forma 2. Las contracciones de los tensores de Lorentz son tensores de Lorentz. F ~ = ⋆ F es el dual de Hodge de F , que también es una forma de 2, por lo tanto, un tensor de Lorentz, por lo tanto, lo mismo se aplica a sus contracciones. Según estas definiciones, también son tensores en el espacio-tiempo curvo.

Por supuesto, si quieres hablar de formas diferenciales, entonces F m v F m v = ⋆ ( F ∧ ⋆ F ) y F ~ m v F m v = ⋆ ( F ∧ F ) . La traducción entre formas y notación de índice no siempre es tan obvia como uno quisiera. :)
@RobinEkman Sí, es por eso que estoy acostumbrado a combinar los dos, dependiendo de cuál lleve a expresiones más simples. Por ejemplo, nunca he hecho contracciones usando el dual de Hodge y prefiero reemplazarlo con la expresión en términos de tensores.
Sí, ambos tienen sus méritos, un físico que se precie debe sentirse cómodo con ambos.
Razón por la cual FμνFμνFμνFμνF^{\mu\nu}F_{\mu\nu} y F~μνFμνF~μνFμν\tilde{F}_{\mu\nu}F^{\mu\nu} son invariantes de Lorentz
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