Demostrar que E2−B2E2−B2\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2 y E⋅BE⋅B\mathbf{E}\cdot\mathbf{B} son las dos únicas cantidades invariantes de Lorentz independientes [duplicar ]

No estoy muy familiarizado con el grupo de Lorentz, pero este tipo de preguntas es definitivamente para la teoría de grupos. De wikipedia concluyo que el tensor de campo electromagnético se transforma bajo$(1,0)\oplus(0,1)$representación. La idea general es encontrar cuántos invariantes (es decir,$(0,0)$) se puede formar a partir de dos valores que se transforman bajo$(1,0)\oplus(0,1)$. Entonces, necesitamos encontrar el resultado de los productos directos.$\left[ (1,0)\oplus(0,1) \right] \otimes \left[ (1,0)\oplus(0,1) \right]$.

Basado en la explicación dada aquí , concluyo que es igual a

El número de escalares ($(0,0)$representación) en el producto es 2. Entonces, podemos construir solo dos escalares a partir del producto de dos tensores de campo electromagnético.

$\vec{E}$y$\vec{B}$son vectores, y geométricamente solo hay 3 combinaciones cuadráticas escalares de estos campos:$E^2$,$B^2$y$(\vec{E}, \vec{B})$. El último es invariante de Lorentz por sí mismo, mientras que para obtener el invariante del resto, hay que restar uno del otro. También hay combinaciones cúbicas.$\epsilon_{ijk}E^i E^j B^k$,$\epsilon_{ijk}E^i B^j B^k$, etc., pero todos ellos se desvanecen debido a la antisimetría de$\epsilon$-tensor.