razón detrás de encontrar una solución particular para una ecuación diferencial no homogénea

Es esencialmente un resultado del álgebra lineal, utilizando el hecho de que las funciones en cuestión forman un espacio vectorial real y la derivada es un operador lineal. Así que voy a empezar con un poco de álgebra lineal:

Dejar$V,W$ser espacios vectoriales sobre$\mathbb R$o$\mathbb C$(o cualquier campo, en realidad, pero para ecuaciones diferenciales estos dos son de interés), y sea$L:V\longrightarrow W$Sea un mapa lineal. también deja$b\in W$. Si$v\in V$es una solución de la ecuación$L(x)=b$, entonces el conjunto solución de la ecuación es exactamente$v+\ker L:=\{v+x~|~x\in\ker L\}$.

Demostración: primero mostramos que cada elemento de$v+\ker L$es una solución, y luego mostramos que cada solución está en$v+\ker L$. La primera parte es fácil: todos los elementos de ese conjunto son de la forma$v+x$, dónde$x\in\ker L$, eso es$L(x)=0$. Entonces

$$L(v+x)=L(v)+L(x)=b+0=b,$$ así que de hecho tenemos una solución. La segunda parte es un poco más complicada: si$v'$es una solución de la ecuación, entonces$L(v')=b$. Desde$L(v)=b$además, esto nos da$L(v')=L(v)$, y por linealidad obtenemos$L(v'-v)=0$, entonces$v'-v\in\ker L$. Pero entonces$v'=v+(v'-v)$, cual es$v$más un elemento del núcleo, por lo que$v'\in v+\ker L$.

Ahora veamos las ecuaciones diferenciales lineales. son de la forma

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}y-Ay=b,$$ dónde$A$es una matriz y$b$alguna función (la parte no homogénea). Ahora la derivada y la matriz son lineales, por lo que podríamos definir$L:=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}-A$y escribe esto como $$L(y)=b.$$ Desde$L$es lineal, sabemos por la teoría anterior que el conjunto solución es una solución arbitraria más el núcleo de$L$. La solución arbitraria es la solución particular. El núcleo es el conjunto de todas las funciones que satisfacen$L(y)=0$, pero esa es solo la ecuación homogénea, entonces$\ker L$es el conjunto de todas las soluciones de las ecuaciones homogéneas. Se podría decir que es la solución general de la ecuación homogénea. Entonces tomamos una solución particular y agregamos la solución general al problema homogéneo.