¿Razón a la cual la lenteja de un péndulo se desacelera debido a la resistencia del aire?

El arrastre de una esfera es aproximadamente proporcional con la velocidad al cuadrado en un amplio rango de velocidades (siempre que el número de Reynolds sea razonablemente grande) y está dado por

$$F= \frac12 \rho v^2 A C_D$$

Dónde$\rho$es la densidad del medio (alrededor de 1,2 kg/m$^3$para aire),$v$es la velocidad, A el área de la sección transversal ($\pi r^2$) y$C_D$el coeficiente de arrastre que varía con el número de Reynolds pero que se puede aproximar a 0,5 para una amplia gama de velocidades.

Dado que la velocidad al cuadrado es proporcional a la altura desde la parte superior del columpio, esto sugiere que el trabajo realizado por la fuerza de arrastre es aproximadamente proporcional a la altura del columpio multiplicada por el arco del columpio.

Notará de las respuestas y comentarios ya dados que este es un sistema complicado de analizar.

Se han sugerido dos regímenes de fuerza de fricción.

Uno es$F_D= \frac12 \rho v^2 A C_D$siendo la fuerza de fricción proporcional a la velocidad al cuadrado y la otra es$F_D = 6 \pi r v \eta$donde la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad (ley de Stokes).

$r$es el radio de la lenteja,$A=\pi r^2$,$\rho$es la densidad del aire,$C_D$es el coeficiente de arrastre que depende del número de Reynolds (ver más abajo) y$\eta$que es la viscosidad del aire.

Un parámetro adimensional importante en la dinámica de fluidos es el número de Reynolds, que en este ejemplo se puede escribir como$R_e = \dfrac {r v \rho}{\eta}$.

Si el número de Reynolds es grande$(>1000)$entonces predomina el régimen de velocidad al cuadrado mientras que si el número de Reynolds es pequeño$(<1)$entonces predomina el régimen de velocidad.

Tenga en cuenta que para números de Reynolds bajos, el coeficiente de arrastre es inversamente proporcional al número de Reynolds y, por lo tanto, inversamente proporcional a la velocidad. Entonces, el arrastre es nuevamente proporcional a la velocidad en este régimen.

También existe una gran complicación en cuanto a si el flujo de aire que pasa por la lenteja es laminar o turbulento y también la condición de la superficie de la lenteja contribuirá a la complicación.

Ahora, el experimento que ha realizado ha sido realizado por muchos estudiantes y existen variaciones en términos de registro de datos.

Su variación es medir una altura desde la posición de equilibrio que experimentalmente podría ser difícil de hacer con precisión.

Otras variaciones son para medir la amplitud angular de la oscilación$\theta$ya que varía con el tiempo$t$o número de columpios$n$.
Otra variante es medir la amplitud del swing utilizando una regla horizontal. Con esta variación puedes contar el número de oscilaciones a medida que la amplitud desciende progresivamente, digamos, un centímetro.

Hay complicaciones en el sentido de que el período del péndulo simple varía con la amplitud, etc. Esto significa que el tiempo$t$para un número dado de oscilaciones no es proporcional al número de oscilaciones$n$.

El análisis teórico con la suposición de que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad es mucho más fácil (como se describe en uno de los comentarios) que usar la suposición de que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad al cuadrado.

Dadas varias suposiciones, el régimen de velocidad predice una relación de la forma

$A_n=A_o e^{-k n}$o$A(t) = A(0) = e^{-k' t}$

para la variación de amplitud. con número de columpios o tiempo.

Entonces$\ln(A_n) = -k\; n + \ln(A_n)$podría ser una relación razonable si dibujara un gráfico de$\ln(A_n)$contra$n$y obtuvo un gráfico de línea recta.

Aparte, podría ver si el número de Reynolds es bajo en su experimento al sustituir los valores de$v, r \rho$y$\eta$?

Hay extensos (cientos de artículos) iluminados. en la web sobre la resistencia atmosférica y la resistencia en general. Una lenteja esférica y una varilla muy delgada hacen que el problema sea muy simple. Uno puede usar este gráfico:

http://eis.bris.ac.uk/~memag/Teaching/Multi/dragcurve.pdf ,

y luego calculó el número de Reynolds para encontrar la fuerza de arrastre usando la fórmula dada por el primer respondedor (Floris). Usted pregunta por la tasa, esa es la fuerza (que se encuentra arriba) multiplicada por la velocidad. En la región de ángulo pequeño (definido por otro respondedor) y si la pérdida (disipación) es pequeña, es decir, una Q alta, entonces se puede aproximar diferenciando la posición; también dado arriba. Sospecho que desea la pérdida total para cada ciclo (período). Para eso hay que integrar la tasa en el tiempo. Al menos dos textos de ingeniería hacen eso: "Teoría y aplicaciones de la vibración" (Thomson) y "Fundamentos de las vibraciones mecánicas" (KELLY), y he hecho "todo el tinglado" en mi borrador para el Boletín de Ciencias Horológicas. Se puede encontrar aquí:

http://www.cleyet.org/Pendula,%20Horological%20and%20Otherwise/HSN/Drafts/

cuando "llego a" ponerlo allí.

bc, recomienda estudiar la Física/ fundamentos y aplicaciones de Eisberg (y Lerner). Ese texto trata al nivel más simple posible.

El movimiento del péndulo se describe por$\ddot{\theta} + 2 \gamma \dot{\theta} + \omega^2 \sin(\theta)= 0$, dónde$\theta$es el ángulo desde la posición vertical,$\gamma$es el coeficiente de disipación, y$\omega^2 = g/l$. Para ángulos pequeños ($\theta < \sim \pi/6)$, esta ecuación se puede aproximar como$\ddot{\theta} + 2 \gamma \dot{\theta} + \omega^2 \theta= 0$. La última ecuación tiene solución.

$$\theta = e^{-\gamma t} [\theta_0 \cos(\Omega t) + (v_0 + \gamma \theta_0) \sin(\Omega t)/ \Omega],$$ dónde $\Omega = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}$, $\theta(0) = \theta_0$y $\dot{\theta}(0) = v_0$. Una altura desde la posición de equilibrio se encuentra como $h(t) = l [1-\cos(\theta)] \approx l(1-\theta^2/2)$. si tramas $h(t)$, entonces cada máximo par (o impar) da la altura después de un swing, es decir $h_0$, $h_1$, $h_2$, $\dots$Si los ángulos son grandes, hay que resolver la ecuación no lineal. También es posible escribir una solución explícita en este caso, pero es mucho más complicado.