¿Hasta dónde llegaría una flecha en una estación espacial y seguiría siendo mortal?

¿Qué distancia recorrería antes de detenerse y flotar en el aire?

Ofreceré una segunda opinión. En algún momento, la flecha se detendrá efectivamente, e incluso después de una cantidad infinita de tiempo, la flecha solo habrá viajado una distancia finita.

La suposición de que la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad se aplica solo a números de Reynolds altos, donde la turbulencia domina sobre la viscosidad. (Aparte: ni siquiera se aplica del todo entonces. Hay una serie de suposiciones que intervienen en esta derivación. El coeficiente de arrastre no es constante. En cambio, depende de la velocidad).

La turbulencia es esencialmente inexistente con números de Reynolds bajos, lo que significa que todos los diferentes términos que conducen a un término de arrastre (aproximadamente) de velocidad al cuadrado desaparecen. El arrastre viscoso, también conocido como arrastre de Stokes, es la fuente dominante de arrastre en regímenes de bajo número de Reynolds. Aquí, la resistencia es (aproximadamente) proporcional a la velocidad en lugar del cuadrado de la velocidad:

$$\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -k\frac{dx}{dt}$$

Esto significa que si un objeto sujeto a arrastre viscoso tiene una velocidad relativa al fluido, el objeto se detendrá (en$t=\infty$) después de haber recorrido una distancia de$\frac v k$.

Cuál es la distancia exacta donde el objeto se ha detenido es un problema de ingeniería más que de física. Lo mismo ocurre con la primera pregunta, la distancia a la que la flecha ya no es fatal.

La fuerza de arrastre en una flecha es proporcional al cuadrado de la velocidad para alta velocidad y proporcional a la velocidad misma para baja velocidad. Suponiendo que la velocidad inicial$v_0$es alto, podemos despreciar el arrastre proporcional a$v$y la ecuación de movimiento,$\vec F=m\vec a$, es simple

$$\frac{dv}{dt}=-\frac{b_2}{m}v^2,$$ por una flecha de masa $m$en el $Ox$eje. Integramos esta ecuación $$\int_{v_0}^v\frac{dv}{v^2}=-\frac{b_2}{m}\int_0^t dt,$$ para obtener $$v(t)=\frac{mv_0}{m+v_0b_2t}.$$

Observe que la velocidad tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito, es decir, la flecha en realidad nunca se detiene.

Escribiendo$v=dx/dt$podemos integrar la ecuación anterior,

$$\int_0^x dx=\int_0^t \frac{mv_0}{m+v_0b_2t}dt,$$ lo que da $$x=\frac{m}{b_2}\ln\frac{m+v_0 b_2t}{m}.$$ Si quieres saber la distancia $x$en función de la velocidad $v$solo eliminas $t$de las dos ecuaciones. Luego, sabiendo cuál es la velocidad necesaria para matar a alguien (que creo que está fuera de tema), conecta los números y obtiene la distancia.

Editar: cuando la flecha ha alcanzado una velocidad baja, la fuerza de arrastre es proporcional a$v$. La ecuación de movimiento dice

$$\frac{dv}{dt}=-\frac{b_1}{m}v,$$ cuya solución es $$v=v_0e^{-b_1t/m}.$$ Integrando una vez más obtenemos $$x=\frac{mv_0}{b_1}\left( 1-e^{-b_1t/m}\right).$$ La distancia total recorrida en el límite de bajas velocidades ( $v\ll b_1/b_2$) es, por lo tanto $mv_0/b_1$.