Radiación de Hawking como M(t)→0M(t)→0M(t) \rightarrow 0

la luminosidad$P$de un agujero negro de Kerr-Newman con carga$Q$y momento angular$J$es dado por

$$\begin{equation} P = \frac{1}{240} \frac{\hbar c^6 \left( 1 -\frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M^2} -\left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2\right)^2 }{ \pi G^2 M^2 \left( 2 +2 \sqrt{ 1 - \frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M^2} - \left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2 }-\frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M} \right)^3}. \end{equation}$$ Para un agujero negro de Schwarzschild, establecemos $Q = 0$y $J = 0$: $$\begin{equation} P = \frac{\hbar c^6}{15360 \pi G^2 M^2}. \end{equation}$$ Además, a través de la equivalencia masa-energía, $P$da la tasa $\dot{E}$en el que la energía se irradia en partículas de masa $m$(aquí suponemos que todas las partículas creadas tienen masa $m$): $$\begin{align} P & = \frac{dE}{dt} \\ & = \frac{d}{dt} \frac{Nmc^{2}}{\sqrt{1-\beta^2}}, \end{align}$$ dónde $N$es el número de partículas creadas. Dado que $N \propto A$(y a la vez $N \propto M^2$), nosotros escribimos $$\begin{equation} N = kA = 16\pi k \frac{G^{2}M^{2}}{c^{4}}, \end{equation}$$ dónde $k$es una constante de proporcionalidad arbitraria. Por eso, $$\begin{align} P & = 16\pi k \frac{G^{2}M^{2}}{c^{4}} mc^{2} \frac{v}{\left ( 1 - \beta^2 \right )^{3/2}} \frac{dv}{dt} \\ \frac{\hbar c^8}{245 760 \pi^2 k m G^4 M^4} & = \frac{v}{\left ( 1 - \beta^2 \right )^{3/2}} \frac{dv}{dt}. \end{align}$$ Es claro que como $M \rightarrow 0$, $\beta^2 \rightarrow 1$y por lo tanto $v \rightarrow c$. ¿Lo que da?

Tenga en cuenta que el tiempo de evaporación$t_{ev}$

$$t_{ev} = \frac{5120\pi G^2M_{0}^3}{\hbar c^4}$$ es finito Dado el tiempo suficiente, $M_{0}$se irradia en su totalidad. Pero esto significaría que el agujero negro produciría una radiación masiva con $v = c$, que está prohibido. Si se emitieran fotones, entonces $\lambda \rightarrow 0$, lo cual no tiene sentido. ¿Este problema tiene que ver con el hecho de que no sabemos cómo se comportaría la radiación de Hawking en la escala de Planck? ¿Esperaríamos que hubiera un límite inferior en la masa de los agujeros negros en una teoría cuántica de la gravedad?