¿Qué tiene de malo mi cálculo del potencial gravitacional de una esfera uniforme?

Esto es realmente vergonzoso, pero no estoy muy seguro de dónde me estoy equivocando... ¿Por qué es incorrecto este cálculo del potencial gravitacional dentro de una esfera con una distribución de masa uniforme?

Configuración

Digamos que la esfera tiene masa.$M$y radio$R$(y densidad de masa uniforme$\mu$), y lo que queremos encontrar es el potencial a cualquier distancia$r$del centro de la esfera, donde$r<R$. Normalizamos el potencial a cero en el infinito.

Cálculo

El potencial$\phi(r)$es igual al potencial justo fuera de la esfera, más la diferencia de potencial entre algún punto dentro de la esfera y un punto justo fuera.

$$\phi(r)=\phi_0-\int_R^r \frac{\mu G}{r}dV$$

(Perdón por usar$r$tanto para el límite superior de la integral como para la variable en el integrando. Esperemos que esto no cause confusión).

Ahora para averiguar los diferentes aspectos de la ecuación anterior. El potencial justo fuera de la esfera es:

$$\phi_0=-\frac{MG}{R}$$

El elemento de volumen diferencial se puede expresar como el área superficial de la capa esférica de potencial constante multiplicada por el ancho diferencial de la capa:

$$dV=4\pi r^2 dr$$ Y un último detalle, la densidad de masa de la esfera: $$\mu=\frac{3M}{4\pi R^3}$$

Usando esta información,

$$\phi(r)=-\frac{MG}{R}-\frac{3MG}{R^3}\int_R^r r dr$$

$$\phi(r)=-\frac{MG}{R^3}\left[R^2+\frac{3r^2}{2}-\frac{3R^2}{2}\right]$$

$$\phi(r)=-\frac{MG}{2R^3}(3r^2-R^2)$$

Conclusión

Este resultado no está de acuerdo con algunos lugares que he visitado, como este , que establece que el resultado correcto (en términos de las variables que he usado) es

$$\phi(r)=-\frac{MG}{2R^3}(3R^2-r^2)$$

Ambos resultados dan el mismo potencial en$r=R$, obviamente, pero mi resultado comienza a parecer ridículo para valores como$r=R/2$.

La única parte de mi cálculo que me parece incompleta es la primera ecuación, donde hablo de la diferencia de potencial en los puntos dentro y fuera de la esfera; No sé si es correcto estar dividiendo por$r$en el integrando... O tal vez cometí un estúpido error de álgebra en alguna parte.

¿Qué hice mal?