¿Qué temperatura puedo alcanzar usando una lupa por la noche?

RESPUESTA ACTUALIZADA SIGNIFICATIVAMENTE
TL; DR: puede llegar a casi 200 ° C porque el componente de la luz solar reflejada agrega una potencia significativa. Este cálculo contradice la afirmación "no más caliente que la luna", lo que lo llevaría a 123°C. Muchas gracias a @JánLalinský que me empujó en los comentarios a pensar más profundamente sobre esto.

Lo mejor que puede esperar hacer con un sistema óptico es hacer que parezca que su objeto está completamente rodeado por lo que está imaginando. Si lo que está imaginando es un radiador de cuerpo negro puro, la temperatura que puede alcanzar es la temperatura del objeto que está imaginando. Ahora la luna no es solo un cuerpo negro, también refleja un poco de radiación solar, lo que complica las cosas.

Pero como primera aproximación, podemos observar la temperatura de la superficie de la luna. Según este enlace , la superficie de la luna puede alcanzar los 123 C. Eso establece un límite inferior a la temperatura que puede alcanzar con un sistema óptico que rodea un objeto con radiación lunar desde todos los lados. La luz del sol reflejada agregará un poco a esto. Podemos tratar de estimar eso.

La intensidad de la luz solar en la superficie de la luna, comparada con la intensidad en la superficie del sol mismo, es igual al cuadrado de la distancia sol-luna dividido por el radio del sol (en efecto, la luz que se concentró sobre la superficie del sol ahora se extiende sobre una esfera que es aproximadamente del tamaño de la órbita terrestre). De esta luz incidente, una pequeña fracción se refleja mientras que el resto se absorbe. El albedo de la luna es de aproximadamente 0,12 (en realidad es gris oscuro).

Con esta suposición, podemos usar la Ley de Planck para calcular el "espectro de brillo" aparente de la superficie de la luna debido a la emisión del cuerpo negro (porque la luna es cálida) y debido al reflejo parcial de la luz solar. Escribí un pequeño programa en Python para calcular esto y tracé un gráfico del resultado (nota: el gráfico superior muestra un eje de longitud de onda lineal; de esto se obtiene la sensación de que la luz del sol es brillante, pero en un rango estrecho de longitudes de onda; el el diagrama inferior usa un eje logarítmico: esto le permite ver mejor la forma de las curvas, pero pierde su capacidad de "integrar a simple vista").

Integrando estas dos curvas, obtuve el notable resultado de que las áreas bajo las dos curvas (la potencia debida a la luz solar reflejada y la radiación del cuerpo negro de la luna) son casi idénticas (proporción luna/sol = 0,97). Creo que es una coincidencia. Si la luna no girara, esperaría que siguiera calentándose más (tenga en cuenta que la luna, al ser una esfera, no estará uniformemente a 123 C en el lado soleado: estará más caliente en las partes que dan al sol directamente, y más caliente nuevamente en aquellas partes que estuvieron expuestas a la luz del sol por más tiempo; la suposición aquí de que la luna se ve como un disco uniforme es una simplificación significativa que puede conducir a errores del 50% más o menos, pero dado que 123 C es el máximo dado, Creo que, en el mejor de los casos, esto sobrestima la temperatura que se puede alcanzar;

Si la luz solar incidente estuviera perfectamente en equilibrio con la luna (sin rotación), la velocidad a la que se absorbe la luz solar tendría que ser la misma que la velocidad a la que la luna pierde calor, por lo que

Dónde$a$es el albedo (y si$a$es reflejado,$(1-a)$es la cantidad de energía absorbida). Con un albedo de 0.12, uno esperaría que la intensidad de la luz de la luna en equilibrio fuera$\frac{0.88}{0.12}=7.3$donde estamos viendo una proporción de casi exactamente 1.0, de lo cual concluyo que la luna podría calentarse más si pudiera pasar más tiempo bajo la luz del sol (pero la conductividad de la roca lunar y el tiempo de exposición no permite que se produzca el equilibrio).

El código utilizado para generar esto está aquí:

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Simple program to compare components of moonlight
Black body radiation at 123 C
And reflected sunlight

Both with albedo of 0.12 - which is a simplification

@author: floris
"""

import math
from scipy.constants import codata
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

D = codata.physical_constants

h = D['Planck constant'][0]
k = D['Boltzmann constant'][0]
c = D['speed of light in vacuum'][0]

def planck(T, l):
    p = c*h/(k*l*T)
    if (p > 700):
        return 1e-99 # hack to prevent underflow
    else:
        return (h*c*c)/(math.pow(l, 5.0) * (math.exp(c*h/(k*l*T))-1))        

albedo=0.12
Tvec=[123+273, 5777] # temperature of moon, sun
Rsun=696.e6   # radius of sun in km
Rsm = 150.e9  # average distance sun to moon

fsun = (Rsun*Rsun)/(Rsm*Rsm) # fractional power of sunlight on moon surface
                             # vs at the surface of the sun itself
                             # this shows the reflected sunlight to be a "weak sun"

emVec = [1.0, fsun] # relative intensity of BB radiation

Lvec = np.linspace(1,30000, 30000)*1e-9  # wavelengths: 1 nm - 30 um

# create two figures with an axis, so we can do both lin and log plots
plot1 = plt.figure()
axLin = plot1.add_subplot(211)
#axLin.subplots_adjust(bottom=0.66)
axLog = plot1.add_subplot(212)
plot1.tight_layout(h_pad=2.9)
plot1.subplots_adjust(bottom=0.1)

# create a semitransparent "rainbow plot" to show where visible range is:
axLin.imshow(np.tile(np.linspace(0,1,100),(100,1)), extent=[400, 800, 0, 30000000], aspect='auto', cmap='rainbow', alpha = 0.4)
axLog.imshow(np.tile(np.linspace(0,1,100),(100,1)), extent=[400, 800, 0, 30000000], aspect='auto', cmap='rainbow', alpha = 0.4)

# compute Planck for a range of wavelengths
rmax = 0
R=[]
for ti,T in enumerate(Tvec):
    r = []
    for l in Lvec:
        r.append(planck(T, l))
    r = np.array(r)
    R.append(r*albedo*emVec[ti])
    if rmax==0:
        rmax = np.max(r)
        imax = np.argmax(r)
        r1 = 1.0*r
    #plt.semilogy(Lvec*1e9, r/np.max(r),label='T=%d'%T)
    axLog.semilogx(Lvec*1e9, albedo*emVec[ti]*r,label='T=%d'%T)
    axLin.plot(Lvec*1e9, albedo*emVec[ti]*r,label='T=%d'%T)
axLog.set_xlabel('lambda (nm)')  
axLin.set_xlabel('lambda (nm)')  
axLog.set_title('Moonlight components')
axLin.set_title('Moonlight components')
axLog.set_xlim((100,30000))
axLog.legend()
axLin.legend()

plot1.show()

# rudimentary integration... sufficiently fine sampling that we can ignore
# the errors for the purpose of this calculation

i_moon = np.sum(R[0])
i_sun = np.sum(R[1])

print('relative intensity moon/sun =  %.2f'%(i_moon/i_sun))

Así que obtenemos cantidades aproximadamente iguales de energía de la luz solar reflejada y del calor de la luna. Esto significa que la densidad de energía total de la luna es como la de un objeto que está ligeramente más caliente que el valor de 123 C utilizado; de hecho, un objeto con esa densidad de energía tendría que estar a una temperatura de$\sqrt[4]{2}*(123+273)-273=198°C$.

Ahora, un sistema óptico que logra obtener una imagen de la luna de tal manera que ilumina todos los lados del objetivo (en efecto, haciendo que el objetivo parezca que está rodeado por todos lados por ese objeto, momento en el que terminará en equilibrio térmico con ese objeto) puede calentar ese objetivo a la temperatura del objeto que se está calentando.

Lo que hace que la respuesta a su pregunta sea 198°C. Esto es más alto que la temperatura de la superficie de la luna debido al componente de luz solar reflejada que tiene el mismo poder espectral. Este argumento no tiene en cuenta la absorción de ciertas partes del espectro por la atmósfera; además, parece contradecir el cálculo en este hipotético que básicamente afirma (sin cálculo) que el componente de la luz solar reflejada no juega ningún papel.

Por supuesto, es bastante difícil configurar una matriz de espejos que lo lleve a un nivel completo$4\pi$iluminación de su objetivo, pero eso es lo mejor que puede hacer, y luego podría hervir agua.

Consulte también esta respuesta anterior que profundiza un poco más en la estimación de la temperatura cuando tiene una serie de espejos.

Según algún hilo del foro, se necesitan ~ 70 mW para encender un fósforo. Y de acuerdo con la respuesta dada en la pregunta relacionada (encontrada por John Rennie) la luna llena da$0.1mW$usando celda solar y espejo con$1m^2$área de superficie. No estoy seguro de por qué tomó una celda solar, pero su espejo parece tener 30 m de diámetro.

Allí, en el hilo de comentarios, un tipo J... dice que el equivalente a una lente de 25 mm de diámetro durante el día es una lente de 17 m de diámetro bajo la luz de la luna. La lente de 25 mm bajo el sol me parece lo suficientemente grande como para quemar cualquier cosa que la gente use para quemar, así que digamos que para encender el fósforo necesitaríamos una lente de 10 m por la noche.

Pero de lo que acabo de darme cuenta es que la Luna tiene un diámetro angular de unos 30' y la tangente correspondiente es de alrededor de 0,009, lo que significa que a una distancia de 5 metros (distancia media desde la superficie del reflector hasta la cerilla) la imagen de la Luna proyectada sería de unos 50 mm de diámetro, que es ~ 200 más débil que si se concentrara completamente en la cabeza del fósforo. Para compensar eso, necesitamos tomar un reflector 15 veces más grande (150 m de diámetro), pero el haz reflejado también sería 15 veces más largo, eso significa... no importa qué tan grande sea el reflector que tomemos, solo obtendremos el 0,5 % de la potencia necesaria. para encender el fósforo usando la luz directamente . Probablemente por eso el que tomó la célula solar.

Pero esto todavía no responde mi pregunta exacta: ¿qué temperatura puedo obtener?