¿Qué tan rápido podemos llegar a Alpha Centauri?

Supongamos que en un futuro cercano enviamos un cohete de antimateria que es capaz de 1 gramo aceleración a nuestra estrella más cercana, Alpha Centauri, 4.3 años luz de distancia y supongamos que queremos que la nave espacial llegue a su destino en el menor tiempo posible. Esto significa que la nave espacial acelerará a 1 gramo hasta el punto medio y luego desacelerar en 1 gramo por el resto del viaje.

Usando la mecánica newtoniana he encontrado que todo el viaje tomará 4 años medidos desde la Tierra con una velocidad máxima de v metro a X = 6.31 ∗ 10 8 metro s − 1 ( 2.1 C - más rápido que la velocidad de la luz) en el punto medio. Sin embargo, nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, por lo que aplicando la fórmula

v ( t ) = a t 1 + a 2 t 2 C 2 ,
dónde v ( t ) es la velocidad en el tiempo t , a es la aceleración de 1 gramo y t es el tiempo medido desde la Tierra hasta el modelo, obtengo una velocidad máxima de v metro a X = 2.7 ∗ 10 8 ( 0.9 C ).

¿Y si estamos en el cohete? Nuestro destino aparecerá más cerca de nosotros debido a la contracción de la longitud, no solo eso, sino que debido a la dilatación del tiempo, nuestro viaje tomará aún menos tiempo.

1) ¿Cómo aplico la contracción de longitud y la dilatación de tiempo al modelo?

2) ¿Hay otros efectos especiales de relatividad que debería implementar en el modelo?

Necesitas integrar tu v ( t ) Llegar X ( t ) para que puedas encontrar lo que t marcas X igual 4.3 li.
@ PM2Ring He mirado el enlace. ¿Cómo derivan la ecuación del cohete? T = C a pecado ⁡ a t C ? Además, ¿por qué la ecuación de dilatación del tiempo Δ T = γ Δ t no dar las mismas respuestas?
@ G.Smith lo he hecho. Creo que todos mis resultados todavía están en el marco de descanso. ¿Cómo calculo los resultados en el marco de referencia del cohete?

Respuestas (1)

cambiaste T & t en tus ecuaciones en el comentario; T es el momento adecuado en el marco de la nave.

Para obtener la ecuación de t en términos de T no podemos simplemente multiplicar, porque γ no es constante Necesitamos integrar d t = γ d T . muestro como encontrar v en términos de T desde los primeros principios hacia el final de esta respuesta . El resultado es

v = C bronceado ⁡ ( a T C )

Ahora podemos usar

γ = 1 1 − ( v / C ) 2
para obtener γ = aporrear ⁡ ( a T / C )

Ahora integramos t = ∫ γ d T , lo que nos da

t = C a pecado ⁡ ( a T C )

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