Esta es una pregunta de examen de calificación divertida y de alta calidad. El álgebra no es difícil; la percepción física requiere un pensamiento real; hay muchas maneras de tener parte de razón. Aquí está mi opinión al respecto.

Aceleración

De la ecuación de Einstein$E^2 = p^2 + m^2$tenemos para cada fotón$E = p = hf_0$(en el marco de referencia del láser). Podemos usar el poder del láser.$P_0$para encontrar la velocidad a la que se emiten los fotones individuales:

$$P_0 = \dot N_0 hf_0.$$ (Perdóname por escribir$\dot N$en vez de$dN/dt$.) La fuerza total ejercida por el láser es la derivada en el tiempo de su impulso, que es la derivada en el tiempo de su energía, que es solo la potencia, $$F = \dot p = \dot E = P_0,$$ y dado que el impulso del láser debe provenir del cohete, tenemos que su aceleración es$a = P_0/m_0$. Tendrás que pegarte un poco$c$s de nuevo para que las dimensiones salgan bien.

Potencia recibida

Si el cohete se aleja de la Tierra a velocidad constante$\beta = v/c$, con el correspondiente factor relativista$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$, hay tres factores que afectan la potencia recibida en la Tierra:

1. La frecuencia de cada fotón se desplaza hacia el rojo a$f = f_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$.
2. El tiempo en el cohete se dilatará, lo que reducirá la velocidad a la que parece que se emiten los fotones para$\dot N = \dot N_0 / \gamma$.
3. Cada fotón emitido por el cohete tiene un poco más de distancia para viajar de regreso a la Tierra. Si el tiempo entre las emisiones de fotones (en el marco de la Tierra) es$\Delta t = 1 / \dot N$, cada fotón tiene que ir$\Delta x = v \Delta t$más lejos que el anterior, agregando un retraso adicional$\Delta x / c$a su viaje. Entonces, el intervalo entre los fotones que llegan a la Tierra es $$\Delta t' = \Delta t \cdot (1 + \beta) .$$ Por lo tanto, la velocidad a la que los fotones llegan a la Tierra es$\dot N' = 1 / \Delta t'$.

Combinando estos tenemos un poder recibido en la Tierra de

$$P' = \dot N' hf = \frac{P_0}{\gamma(1+\beta)}\sqrt\frac{1-\beta}{1+\beta} % = \frac{P_0}{\gamma^2(1+\beta)^2} = P_0 \frac{1-\beta}{1+\beta} .$$

Siempre es posible en problemas de relatividad obtener resultados idénticos usando campos EM clásicos para la luz en lugar de fotones, con vectores de Poynting que transportan impulso, etc. No sabría cómo hacerlo en este caso.

Masa final en reposo

Esta parte no fue inmediatamente obvia para mí. La opción desordenada es intentar integrar la expresión de la sección anterior; eso probablemente requiere suposiciones sobre el perfil de tiempo de la aceleración. Por lo general, cuando solo conoce las condiciones iniciales y finales de un problema, la conservación de la energía es una buena estrategia. Perdí algo de tiempo antes de recordar usar también la conservación del impulso.

Sabemos que la cantidad de movimiento final del cohete es$p_f = \gamma_f v_f m_f$, y que la cantidad de movimiento combinada del cohete y su escape láser, en el marco de reposo inicial, es cero. Luego, usando la ecuación de Einstein nuevamente, tenemos un montón de fotones que van hacia atrás con energía total

$$E_{\text{exhaust}} = \left|-p_f\right|$$ y un cohete con energía total $$E_{\text{rocket}}^2 = p_f^2 + m_f ^2.$$ Si asumimos que nada de la potencia del láser se desperdició en forma de calor, estos componentes deben sumarse a la masa inicial en reposo del cohete,

$$\begin{align} p_f + \sqrt{p_f^2 + m_f^2} &= m_0 \\ m_f \left( \gamma_f v_f + \sqrt{\gamma_f^2 v_f^2 + 1} \right) &= m_0 \\ m_f \left( \gamma_f v_f + \gamma_f \right) &= m_0 \\ m_f &= m_0 \sqrt{\frac{1-v_f}{1+v_f}} \end{align}$$

En realidad, este resultado también es válido si la fuente de alimentación del láser es ineficiente, siempre que el cohete esté aislado térmicamente de modo que los fotones de desecho térmico se emitan en la misma dirección que el escape --- cola del cohete caliente, cabeza del cohete frío. Si hay radiación térmica hacia adelante, se enfocará en la dirección hacia adelante de una manera complicada y el problema se vuelve mucho más difícil.

Editar

Por los comentarios, parece que estaba adoptando una perspectiva clásica e ingenua sobre el impulso, y esta es una respuesta incorrecta. Sin embargo, lo dejo para cualquiera que tenga la tentación de pensar lo mismo.

Original

¿El retroceso? ¿De fotones sin masa? ¿Cómo te imaginas?

a) Aceleración Instantánea:$0\ m/s^2$

b) Poder:$P_0$

c) Nunca llegará$0.9c$, y si lo hiciera, tendría la misma masa en reposo,$m_{rocket}$

Usemos la ecuación del cohete de Tsiolkovski:$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}$ https://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation

Dónde:$v$= velocidad de escape (c),$m_0$= masa inicial,$m_1$= masa final.

Entonces$\Delta v = c \ln \frac {m_{rocket}} {m_{rocket}} = c \ln 1 = c * 0 = 0$

¿O qué hay de la conservación del impulso?

$\Delta Momentum_{laser beam} = \Delta Momentum_{rocket}$

$m_{laser}*\Delta v_{laser} = m_{rocket}*\Delta v_{rocket}$

$0 * c = m_{rocket}*\Delta v_{rocket}$

$\Delta v_{rocket} = 0$

Entonces, si inicialmente estaba en reposo, permanecería en reposo.

La potencia no equivale a empuje; en este caso, el láser solo estaría produciendo calor en lo que respecta al cohete.