¿Cuánto tiempo me llevaría viajar a una estrella distante?

Comience considerando lo que ven las personas que lo observan desde la Tierra. Nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz,$c$, por lo que lo más rápido que podría llegar a Kepler 186f sería si viajara en$c$en cuyo caso tomaría 490 años. En la práctica, tomaría más tiempo porque tienes que acelerar desde el reposo cuando dejas la Tierra y desacelerar hasta detenerte nuevamente cuando llegas a tu destino.

Hasta ahora esto no es muy interesante. Lo que hace que el problema sea interesante es que los relojes de los objetos que se mueven rápidamente funcionan más lentos debido a la dilatación del tiempo . Si pudieras viajar cerca de la velocidad de la luz el tiempo que pasaría para ti sería de menos de 490 años, y de hecho puede ser mucho menos, como veremos a continuación.

Primero, tomemos el caso simple en el que viajas a una velocidad constante$v$, y no nos preocuparemos de cómo aceleró a$v$o cómo vas a reducir la velocidad de nuevo. Llamaremos a la distancia a la estrella$d$. Para las personas que miran desde la Tierra, el tiempo que tardan es solo la distancia que recorres dividida por tu velocidad:

$$t = \frac{d}{v}$$

Entonces, si la distancia es de 490 años luz y estás viajando a la velocidad de la luz, el tiempo necesario es de solo 490 años. Pero, ¿cuánto tiempo medirías en tu reloj de pulsera? Para hacer el cálculo correctamente necesitas usar las transformaciones de Lorentz , pero de hecho la respuesta resulta ser muy simple. El tiempo que mides,$\tau$, es dado por:

$$\tau = \frac{t}{\gamma}$$

dónde$t$es el tiempo medido en la Tierra y$\gamma$es el factor de Lorentz y viene dado por:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}}$$

O si desea que se escriba toda la expresión en su totalidad, el tiempo que mide es:

$$\tau = \frac{d}{v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Para darle una idea de esto, hice el cálculo para el viaje de 490 años luz a Kepler 186f y dibujé un gráfico del tiempo que mide en función de su velocidad:

La línea azul es el tiempo de viaje medido en la Tierra, por lo que va a 490 años como$v \rightarrow c$. La línea roja es el tiempo medido en su reloj de pulsera, que va a cero cuando$v \rightarrow c$.

Pero esto no es muy realista ya que ignora la aceleración y la desaceleración. Supongamos que, en cambio, viaja a la mitad del camino hacia la estrella con una aceleración constante, luego da la vuelta y viaja a la mitad del camino con una desaceleración constante. Esto le permite comenzar desde el reposo y terminar en reposo, y también obtiene una agradable gravedad artificial durante el viaje. Pero, ¿cómo se puede calcular la dilatación del tiempo para un viaje que implica aceleración?

Los detalles del cálculo se dan en el Capítulo 6 de Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler . No reproduciré el cálculo aquí porque es sorprendentemente aburrido. Resuelve un par de ecuaciones simultáneas para obtener ecuaciones diferenciales para el tiempo,$t$, y la distancia,$x$, y resuelves estas dos ecuaciones diferenciales para obtener:

$$t = \frac{c}{a} \sinh\left(\frac{a\tau}{c}\right) \tag{1}$$

$$x = \frac{c^2}{a} \left(\cosh\left(\frac{a\tau}{c} \right) – 1 \right) \tag{2}$$

En estas ecuaciones$\tau$es el tiempo medido en su reloj de pulsera,$t$es el tiempo medido por los observadores en la Tierra y$x$es la distancia recorrida medida por los observadores en la Tierra. Los tiempos$t$y$\tau$comience en cero en el momento en que comience a acelerar y abandone la Tierra. Finalmente$a$es su aceleración constante. Tenga en cuenta que$a$es la aceleración que mides, es decir, es la aceleración que muestra un acelerómetro que sostienes mientras estás sentado en el cohete.

Para hacer el cálculo, por ejemplo para el viaje a Kepler 186f, tomas la primera mitad del viaje mientras el cohete está acelerando y poniéndose$x$a esta distancia. Así que para Kepler 186f$x = 245$años luz. Luego resuelves la ecuación (2) para obtener el tiempo transcurrido en el cohete.$\tau$, y finalmente sustituya esto en la ecuación (1) para obtener el tiempo transcurrido en la Tierra. Este es el tiempo de la mitad del viaje, así que solo duplícalo para obtener el tiempo de todo el viaje. He hecho esto para un rango de aceleraciones para obtener este gráfico:

Una vez más, la línea azul es el tiempo medido en la Tierra y la línea roja es su tiempo. Con una aceleración de solo 0,1 g, el tiempo de viaje ya se ha reducido a 76 años (apenas factible en una sola vida) y con una aceleración más cómoda de 1 g, el tiempo de viaje es un poco más de 12 años.

Dado que los valores no son tan fáciles de leer en el gráfico, aquí hay algunos valores representativos:

$$\begin{matrix} a (/g) & \tau (/\text{years}) & t (/\text{years}) \\ 0.01 & 374.9 & 655.9 \\ 0.1 & 76.8 & 509.0 \\ 1 & 12.1 & 491.9 \\ 10 & 1.7 & 490.2 \end{matrix}$$

Notas al pie para no nerds

Asumiendo que tienes más que un interés casual en la física (¡por qué otra razón estarías leyendo esto!), hay muchas más cosas interesantes sobre el movimiento acelerado. Por ejemplo, podría preguntarse cómo la nave espacial que acelera a 1 g puede viajar 490 años luz en 12,1 años si nada puede viajar más rápido que la luz. La respuesta es que la nave espacial no viaja 490 años luz: la contracción de Lorentz causada por su alta velocidad significa que viaja una distancia mucho más corta.

Tenemos las ecuaciones para la distancia y el tiempo arriba, y puedes combinarlas para calcular la velocidad en función del tiempo de la nave espacial.$\tau$. No haré esto ya que es solo álgebra; en su lugar citaré el resultado:

$$v = c \tanh \left( \frac{a\tau}{c} \right) \tag{3}$$

Si la nave espacial viaja a una velocidad$v$en relación con la Tierra y la estrella de destino, entonces la Tierra y la estrella viajan a velocidad$v$en relación con la nave espacial, y la tripulación de la nave espacial ve distancias contraídas por el factor de Lorentz:

$$d’ = \frac{d}{\gamma} = d\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Cuando la nave espacial despega su distancia a la estrella es de 490 años luz, pero a medida que acelera esta distancia disminuye por dos razones. En primer lugar (obviamente) la nave se mueve hacia la estrella, pero en segundo lugar la contracción de Lorentz hace que la distancia restante sea más pequeña.

Para calcular este efecto se calcula$x(\tau)$usando la ecuación (2) para la primera mitad del viaje. Dado que el viaje es simétrico, puede reflexionar sobre el punto medio para obtener$x(\tau)$para la segunda mitad del viaje. Entonces la distancia que queda es solo (para Kepler 186f) 490 años luz -$x$. Calcule la velocidad usando la ecuación (3) (nuevamente para la primera mitad y luego reflexione sobre el punto medio). Calcule el factor de Lorentz a partir de la velocidad y multiplíquelo para obtener la distancia contraída restante. Los resultados para la aceleración de 1 g se ven así:

Para que los datos sean más claros, tracé la distancia restante para la última mitad del viaje en una escala expandida a la derecha. La discontinuidad es donde la nave espacial cambia de aceleración a desaceleración. El gráfico muestra que los ocupantes del barco ven que la distancia que les queda por recorrer se reduce rápidamente a medida que aumenta su velocidad. Por el contrario, a medida que comienzan a desacelerarse, la contracción de Lorentz disminuye y la distancia que queda por recorrer disminuye lentamente hasta que están cerca del destino.

Puedes viajar a una estrella distante muy rápidamente acercándote mucho a la velocidad de la luz... Cuando hagas eso, la cantidad de tiempo que experimentarás será muy baja debido a la dilatación del tiempo.

Por supuesto, una vez que aterrices allí y mires el periódico local, habrá pasado una gran cantidad de tiempo para el resto del mundo, lo cual es desafortunado:/

En cierto modo, la misma cantidad de "tiempo" también pasó para ti, ¡simplemente no lo experimentaste!