¿Qué tan rápido consumirá la Tierra un agujero negro (relativamente) pequeño?

En el LHC, estamos hablando de mini agujeros negros de masa alrededor$10^{-24}kg$, así que cuando hablas de$10^{15}-10^{20}kg$hablas de algo en el rango de la masa de Deimos (la luna más pequeña de Marte) hasta$1/100$la masa de la Luna. Así que estamos hablando de algo realmente grande.

El radio de Schwarzschild de tal agujero negro (usando el$10^{20}$valor) sería

Podemos considerar que el radio es una medida de la sección transversal que podemos usar para calcular la tasa a la que el BH acumula masa. Entonces, la acreción sería un tipo de acreción de Bondi (acreción esférica) que daría una tasa de acreción

dónde$u$es una velocidad típica, que en nuestro caso sería la velocidad del sonido y$\rho_{earth}$es la densidad media del interior de la tierra. La velocidad del sonido en el interior de la tierra se puede evaluar en promedio algo como

Entonces, la tasa de acumulación es

Esa es una estimación de orden de magnitud que da algo como$\dot{M}=1.7\times10^{-6}kg/s$. Si lo tomamos al pie de la letra, sería algo así como$10^{23}$años para que el BH acumule$10^{24}kg$. Si tenemos en cuenta el cambio en el radio del BH, ese tiempo probablemente sea mucho más pequeño, pero incluso entonces sería algo mucho más grande que la edad del universo.

Pero esa no es la imagen completa. También se debe tener en cuenta la posibilidad de tener una tasa de acumulación más pequeña debido al límite de Eddington. A medida que la materia se acumula en el BH, se calienta más, ya que la energía potencial gravitatoria se transforma en energía térmica (teorema del virial). La materia entonces irradia con cierta luminosidad característica. La radiación extrae cierta fuerza de retorno sobre la materia que se está acumulando, lo que reduce la tasa de acumulación. En este caso, no creo que este efecto particular juegue ningún papel en la evolución del BH.

Esta pregunta se aborda en Giddings y Mangano, http://arxiv.org/abs/0806.3381 . Véase la ecuación. 4.31 y el apéndice A. Para un$10^{20}$kg de agujero negro, la tasa de acreción resulta ser de aproximadamente$10^{13}$kg/s.

Esto es mayor que la estimación en la respuesta de Vagelford por un factor de$10^{18}$. La razón de este factor es que Giddings usa esencialmente la ecuación de Bernoulli para modelar el flujo másico, y en este modelo la masa no fluye simplemente a la velocidad del sonido.$c_s$todo el camino hasta que llega al horizonte de sucesos. Si entiendo bien la esencia del cálculo, la masa fluye a la velocidad del sonido hasta que alcanza cierto radio, que es mayor que el radio de Schwarzschild por un factor de$(c/c_s)^2$. Incluso sin profundizar en los detalles del cálculo, esto tiene sentido. La materia que cae se moverá a velocidades relativistas,$\sim c$, a medida que se acerca al horizonte, no en$c_s$. Se refieren a este radio efectivo como el radio de Bondi, y la diferencia entre su estimación y la de Vagelford es básicamente que usan este radio donde Vagelford usa el radio de Schwarzschild. Esto hace que su tasa de acumulación sea mayor que la estimación de Vagelford por un factor de$(c/c_s)^4$, o sobre$10^{18}$.

Utilizando el resultado de Giddings, el agujero negro tarda del orden de años en duplicar su masa. No he integrado la ecuación diferencial relevante, pero dado que la tasa es como el cuadrado de la masa del agujero negro, parece que solo sería cuestión de décadas antes de que el agujero negro consumiera una fracción significativa de la masa terrestre. (Es posible que no lo consuma todo debido a la conservación del momento angular, la eyección de algo de masa y otros procesos astrofísicos que ocurren cerca del final donde la estructura de la tierra se ve gravemente interrumpida).

Como tengo una respuesta mucho mejor de Vagelford, escribiré mi propia versión.

Cuando la materia cae sobre el agujero negro, se fracciona y se irradia. Hasta donde yo sé (corríjanme si me equivoco) uno puede estimar la energía radiada como$\simeq 0.05mc^2$. Dónde$m$es la masa de la materia que cae.

La materia de la Tierra es atraída por la gravitación del agujero negro y expulsada por la radiación. Además, para el flujo de materia$J$Tenemos un sistema de "retroalimentación negativa":

• más grande$J$-> más radiación -> se "empuja" más materia
• menor$J$-> menos radiación -> se "atrae" más materia

El equilibrio entre esas fuerzas corresponde a la luminosidad de Eddington ya mencionada :
$L (J/s) = 1.3\cdot 10^{21} \frac{M}{M_{sun}}$

equiparar$L=0.05Jc^2$y yendo a$r_{sh}(m) = 3000 \frac{M}{M_{sun}}$, Yo obtengo:

$J (kg/s) = 100 r_{sh}(m)$

Es notable, que la "velocidad de consumo" para el$10^{20} kg$agujero negro ($r_{sh} = 148.5\mu m$, mira aquí ) te dará$1.48\cdot10^{-5}$kg/s. Lo cual es solo un orden de magnitud mayor que la estimación de Vagelford.

Si el agujero negro simplemente absorbió materia y no perdió energía, probablemente no sea un cálculo demasiado difícil, solo suponga que la tierra es una masa sin soporte que cae en el BH, que crece en masa a medida que agrega más cosas. El problema es que sabemos que no es así como sucedería, y una fracción significativa de la masa absorbida se liberará como energía, tal vez de uno a un pequeño porcentaje de mC**2. Entonces, la energía liberada al tragarse la masa es órdenes de magnitud mayor por unidad de masa que una bomba H. Claramente, la mayor parte de la masa de los planetas desaparecería y solo una pequeña cantidad terminaría incorporada al BH. Apuesto a que esto sucedería extremadamente rápido, y la onda de choque que destrozaría el planeta probablemente solo tomaría unos segundos. Tenga en cuenta que el tiempo de caída libre al centro de la tierra es probablemente más como media hora (orden de magnitud),

Tomaría mucho tiempo si hacemos un cálculo del reverso del sobre.

• el agujero negro ejercería una fuerza de 1 g a unos 20 km (suponiendo 10 ^ 20 kg de masa).
• si podemos suponer razonablemente que la masa dentro de esta esfera se absorberá rápidamente, eso significaría que la masa del agujero negro aumenta en consecuencia.
• por otro lado, esta masa adicional también se puede calcular en alrededor de 10 ^ 20 kg. Entonces podemos esperar que el radio de 1g no aumente significativamente.
• Creo que la masa con menos de 1 g de atracción tardará mucho en girar en espiral dentro del agujero negro, ya que su tamaño (radio de Shwartzchild) estaría en la escala del micrómetro y los tamaños involucrados en la escala del kilómetro.

¡Espero que esto ayude!

Solo quiero agregar que las oscilaciones alrededor del centro de la Tierra se amortiguan debido al impulso de la masa entrante.

Las cifras del volumen de la masa devorada continuamente por el agujero negro difieren en órdenes de magnitud según los carteles anteriores. Pero el material consumido a medida que cae dependerá de la sección transversal de este volumen multiplicada por el radio de la Tierra, o la sección transversal multiplicada por la densidad para la densidad de masa lineal del camino de destrucción.

Esa materia tiene energía cinética cero y energía potencial en función de la altura. El campo gravitacional es directamente proporcional al radio (debido a la distribución esférica continua), por lo que la energía potencial es$r^2$función. Escribo el potencial gravitacional de BH como$C R^2 m$donde R es el radio de la Tierra y m es la masa (kg) de BH y C es una constante que no voy a abordar. Denote la densidad lineal del camino de destrucción como$l$(kg/m), e integre$C r^2$potencial para encontrar$1/3 C R^3 l$al centro de la Tierra, o$2/3 C R^3 l$al otro lado de la Tierra.

Suponga que come material perfectamente y que no hay otras interacciones. comienza con$C R^2 m$energía (¡newtoniana!) y masa m. adquiere$2 l R$masa en un viaje (suponiendo que la masa adquirida es pequeña en relación con el total y, por lo tanto, casi toca la superficie nuevamente). Encontramos el déficit de energía potencial específica al final de su viaje: (PE_fin/fin_masa) / (PE_inicio/inicio_masa)-1.

dónde$\alpha = R l/m$parámetro adimensional que representa la fracción de masa inicial añadida por viaje.

Asumimos$\alpha \ll 1$y Taylor se expanden en$\alpha=0$encontrar

Déficit energético específico después de un viaje$= -4/3 \alpha$

Mirando más de cerca a alfa, escriba$\alpha = R A \rho/m$, donde A es el área de la sección transversal a la que me referí y rho es la densidad de la Tierra.

$\alpha = 2 R l/m = 2.56 \times 10^{-13}$(fracción de masa de BHs acumulada en medio viaje, suena bien)

Para el cambio de altura debido al viaje, use mgh aprox. y encuentre

Cae 2,18 micrometros más abajo al final del viaje. Ahora, esto se escala directamente con el área consumida y, por lo tanto, con el cuadrado del radio en el que se captura el material. Para obtener un factor de 1e6, ese radio necesitaría 10 metros contra 1 cm.

Por lo tanto, la amortiguación ES realmente PEQUEÑA, y el destino de la Tierra estaría dictado por la forma en que come materia mientras viaja a altas velocidades a través del núcleo. Voy a decirle a la gente ahora que la razón por la que el LHC está bajo tierra es para que un BH no salga a la superficie si ocurre un accidente. Me encanta difundir desinformación.

Editar: esta fue mi primera respuesta dada sobre física SE, por lo que volví y puse las ecuaciones en el formato correcto, aunque la organización de la respuesta probablemente refleja su extraña historia.

El agujero negro de masa$10^{20}$kilogramos no es tan peligroso como puede parecer. Está$10^{28}$masas de Planck, por lo que el radio es$10^{28}$longitudes de Planck o$10^{-7}$metros La aceleración gravitacional cerca de su horizonte de eventos es$10^{-10}\times 10^{20} / 10^{-14}$cual es$10^{24}$metros por segundo por segundo. Incluso a metros del horizonte del agujero negro, la aceleración alcanza la aceleración de la Tierra en la superficie. A centímetros del horizonte del agujero negro, la aceleración sería suficiente para romper la materia.

El agujero negro obviamente trataría de encontrar el mínimo potencial gravitatorio producido por la Tierra, por lo que se asentaría y eventualmente se estabilizaría en (y oscilaría alrededor) del centro de la Tierra. Si se imaginara que el centro de la Tierra es sólido, me parece plausible que el agujero negro se rompa y se coma algo de materia que está a metros del agujero negro del tamaño de un micrómetro. Y el resto de la Tierra sólida podría simplemente sentarse.

Sin embargo, esto claramente no es lo que sucedería porque el centro de la Tierra es líquido, debido a la inmensa presión. Los metales líquidos de metros alrededor del agujero negro simplemente fluirían hacia el agujero negro a velocidades razonables. El agujero negro bebería mucho de este fluido y su densidad disminuiría en gran parte del núcleo terrestre. Es cuestionable si las capas sólidas del planeta podrían sobrevivir a esta presión reducida. Puedo imaginar que un agujero negro podría estar dentro de la Tierra y beber lentamente el hierro líquido.

Por otro lado, sabemos con certeza que esto no es lo que sucede genéricamente dentro de los cuerpos celestes porque también ocurriría dentro de los planetas gaseosos, y estos podrían ser tragados por completo en un tiempo relativamente más corto, produciendo mucha rotación en el camino.