¿Qué tan rápido bajaría la temperatura corporal en el espacio?

Aquí hay una aproximación rápida y sucia:

Aproximar a un humano con una esfera de agua de radio$r$. Suponga que la circulación sanguínea mantiene la temperatura corporal homogénea y que la piel evita que el agua hierva (esto no es realista, pero supuse que este era el tipo de situación en la que estaba pensando). Si asumimos que la esfera es un cuerpo negro perfecto, la pérdida de calor debido a la radiación térmica viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann:

$$P_r=\sigma T^4\cdot A=\sigma T^4\cdot 4\pi r^2$$

dónde$T$es la temperatura del agua y$A$es el área superficial de la esfera. La tasa de cambio de temperatura será:

$$\frac{dT}{dt}=-\frac{P_r}{mC}=-\frac{P_r}{\rho VC}=-\frac{3P_r}{4\pi r^3\rho C}=-\frac{3\cdot\sigma T^4\cdot 4\pi r^2}{4\pi r^3\rho C}=-\frac{3\sigma T^4}{r\rho C}$$

dónde$m$es la masa de la esfera,$C$es la capacidad calorífica específica del agua,$\rho$es la densidad del agua y$V$es el volumen de la esfera. Por lo tanto, obtenemos una ecuación diferencial de la forma:

$$\frac{dT}{dt}=-\frac{3\sigma T^4}{r\rho C}$$

Si hacemos el ansatz:

$$T(t)=a(t+b)^n$$

y lo ponemos en la ecuación anterior, obtenemos:

$$an(t+b)^{n-1}=-\frac{3\sigma a^4(t+b)^{4n}}{r\rho C}$$

lo que da:

$$n-1=4n\Rightarrow n=-\frac{1}{3}$$

y

$$an=-\frac{3\sigma a^4}{r\rho C}\Rightarrow a=\left(-\frac{nr\rho C}{3\sigma}\right)^\frac{1}{3}=\left(\frac{r\rho C}{9\sigma}\right)^\frac{1}{3}$$

si asumimos$r$es 0.5 m, obtenemos:

$$a=\left(\frac{0.5\cdot 1000 \cdot 4200}{9\cdot 5.67\cdot 10^{-8}}\right)^\frac{1}{3}\approx 1.6\cdot 10^4$$

Por lo tanto, T cambiará como:

$$T(t)=1.6\cdot 10^4(t+b)^{-\frac{1}{3}}$$

Si suponemos que la temperatura a$t=0$es$37$grados C, que es aproximadamente$310 K$, usted obtiene:

$$310=1.6\cdot 10^4b^{-\frac{1}{3}}\Rightarrow b=\left(\frac{1.6\cdot 10^4}{310}\right)^3\approx 1.38\cdot 10^5$$

lo que da:

$$T(t)=1.6\cdot 10^4(t+1.38\cdot 10^5)^{-\frac{1}{3}}$$

Aquí he trazado la evolución temporal de la temperatura según esta fórmula:

Como ves, la esfera tarda aproximadamente 65000 s (casi 18 horas) en congelarse. Obviamente, esto es algo así como el peor de los casos. No he incluido el efecto del calor producido por el cuerpo humano, la radiación (solar) entrante, la emisividad menos que perfecta, el posible aislamiento, etc. Esto podría hacer que se tarde mucho más o incluso evitar el enfriamiento, según las suposiciones.

La respuesta de jkej es buena. Agregaré a la discusión usando software numérico. Aquí está la sintaxis en Maple que resuelve la ecuación ya discutida.

dsolve({diff(T(t),t)=-alpha*T(t)^4,T(0)=T0}) assuming alpha>0, T0>0;

La respuesta es:

$$T(t) = \left( 3 \alpha t + T_0^3 \right)^{-\frac{1}{3}}$$

Esto es consistente con la otra respuesta. Para referencia,$\alpha=1/(3 a^3)$. Como tenemos un valor para$a$podemos obtener alfa trivialmente. ¡Ahora intentémoslo con la producción de calor! Esto es resolver la siguiente ecuación diferencial.

$$\frac{d T}{dt} = - \alpha T(t)^4 + \beta$$

Como el tiempo se limita al infinito, esperamos que la función se estabilice en$(\beta/\alpha)^{1/4}$. Si supone que la producción de calor es de 100 vatios, entonces:

$$\beta = \frac{P_p}{m C} = \frac{ 100 W}{( 1 \frac{g}{cm^3}) \frac{4}{3} \pi (0.5 m)^3 (4,186 \frac{J}{kg K} ) } = 4.56 \times 10^{-5} \frac{K}{s}$$

$$T_{\infty} = \left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^{1/4} = \left( 3 \beta a^{3} \right)^{\frac{1}{4}} = 153.8 \text{ Kelvin}$$

La sintaxis para resolver la ecuación diferencial es:

dsolve({diff(T(t),t)=-alpha*T(t)^4+beta,T(0)=T0});

Obtener la respuesta en un formato coherente requiere un poco de álgebra. Para simplificar, recopilé términos para insertar la temperatura final calculada antes. La "solución" de la ecuación diferencial es entonces:

$$0 = -4 t \beta+ T_{\infty} \ln{ \left( \frac{T(t)+T_{\infty}}{T(t)-T_{\infty}} \frac{T_0-T_{\infty}}{T_0+T_{\infty}} \right) } + 2 T_{\infty} \left( \arctan{ \frac{T(t)}{T_{\infty}} } - \arctan{ \frac{T_0}{T_{\infty}} } \right)$$

Esto tiene que ser resuelto en cada paso de tiempo. Esto es lo que produje:

El marco de tiempo sigue siendo más o menos el mismo. Nada realmente interesante de lo que hablar. Cabe señalar que la masa del astronauta sale como$520 kg$, que es bastante poco realista. Ese es un factor importante para que los marcos de tiempo sean tan largos.

En el gráfico anterior, el astronauta se congela en unas 11 horas. Si bien se necesita alguna corrección para el área radiativa expuesta al espacio, la dimensión lineal del astronauta excede un metro en la vertical, por lo que hay correcciones en ambas direcciones. Si bien el área radiativa efectiva probablemente aún debería revisarse a la baja, no se comparará con la revisión a la baja de la masa. Entonces, en la práctica, se congelará antes. Tal vez te congeles en 4 horas más o menos. Estarás comatoso a 31 grados C , que interpolado linealmente, solo toma alrededor del 13% del tiempo, o 39 minutos. La hipotermia solo debe tomar de 12 a 13 minutos. Pérdida de esperanza, probablemente antes.

Esto me hizo pensar: si estás varado flotando en el espacio, acurrúcate en posición fetal para que no irradie calor tan rápido.

---

Me di cuenta de que el gráfico anterior es técnicamente incorrecto. Después de que cruza el punto de congelación, la producción de calor se detiene. Porque estarías muerto.