¿Qué sucede cuando un rayo láser queda atascado entre dos espejos y la distancia entre ellos disminuye gradualmente? Principio de incertidumbre de Heisenberg

Agregaré otra respuesta, que sería la más precisa para su descripción de un rayo láser que rebota entre 2 espejos (si comienza desde distancias "macro"), aunque mi falta de tiempo hará que mi respuesta no sea exhaustiva.

Lo que describes no es otro que un interferómetro Fabry-Perot, o un resonador. En este caso, dentro de las paredes del espejo, las únicas longitudes de onda permitidas son aquellas que son un múltiplo de$2L$dónde$L$es la distancia entre los espejos. Todas las demás longitudes de onda se irradian fuera de la cavidad debido a la interferencia destructiva en el interior y la constructiva en el exterior. Lo que significa que, cualquiera que sea la frecuencia de fotones con la que comience, si primero en resonancia, a medida que mueve los espejos, se filtrará inmediatamente fuera de su cavidad (en el caso de un resonador de muy alta finura o una reflectividad cercana al 100%).

Además, en otras palabras, lo más corto que puede confinar un fotón en un resonador es un resonador que tiene la mitad del tamaño de la longitud de onda. Más pequeño y siempre se escapará.

La característica de onda (compleja) de los campos eléctricos gana en este escenario, por lo que no es posible confinar espacialmente lentamente un láser de frecuencia$\nu$dentro de una cavidad.

Un experimento similar es lo que yo llamo mosca cuántica . El clásico problema de la mosca es bien conocido:

Del punto A y del punto B parten simultáneamente dos trenes uno hacia el otro por la misma vía con velocidades$u_A,u_B$. Una mosca parte del parabrisas del tren A, vuela hacia el parabrisas del tren B a una velocidad$v$, vuelve hacia el tren A, y así sucesivamente, hasta que es aplastado por los dos trenes que chocan. ¿Cuál es la distancia recorrida por la mosca?

En el caso cuántico, estamos hablando de un pozo de potencial, cuyas paredes colapsan, y un electrón en este pozo. ¿Qué le pasará?

Por supuesto, depende de los detalles del problema, pero se pueden conjeturar algunas cosas de inmediato:

• Como sabemos por la solución para el pozo independiente del tiempo, si es demasiado estrecho, sus niveles se separarán por una energía cada vez mayor. Si el pozo es finito, terminará sin ningún estado ligado. es decir, el electrón será expulsado - ¡la mosca no muere!
• A partir de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo, también podemos conjeturar que los trenes agregarán energía al electrón, ya que se excita a estados de energía cada vez más altos. Si el pozo es infinito, eventualmente se excitará a una energía infinitamente alta.

Etcétera. Tenga en cuenta que gran parte de este razonamiento se puede adaptar para un fotón en una cavidad que se encoge.

Observación sobre las relaciones de incertidumbre de Heisenberg
Tenga en cuenta que, si las paredes son realmente infinitamente altas, la relación de incertidumbre no depende del ancho del pozo ( consulte esta respuesta para obtener una derivación completa ):

Nota: lo siguiente fue pensado como una respuesta a una pregunta planteada en los comentarios de una respuesta anterior ( "¿por qué aumenta la fuerza cuando movemos los espejos juntos?" ), no como una respuesta completa. En particular, he ignorado la capacidad de los fotones para escapar del confinamiento del espejo.

El rayo láser ejerce una fuerza sobre los espejos,$F = P/c$donde P es potencia.

Para juntar los espejos debes hacer trabajo, lo que aumenta la potencia, lo que aumenta la fuerza, que es una recursión, que probablemente necesite una solución numérica con una computadora.

Puede haber algún truco para resolver esto elegantemente, pero no lo sé, así que lo seguiré hasta el punto en que deje que una computadora haga el resto por mí.

Problema 1: trabaje con fotones, ignore el haz

Hacer trabajo sobre el haz es hacer trabajo sobre los fotones.

La energía cinética del fotón es$T = h \nu$entonces cuando trabajas en n fotones$W = n\int_0^{x'} dT/dx$, aumentas la frecuencia de tal manera que$\nu_f = \nu_0 + W/hn$

Esto explica la conservación de la energía: cuando realiza un trabajo en el haz (con espejos perfectamente reflectantes), debe aumentar la energía del haz. Recuerda que en realidad no sabemos qué es W, porque W es una función de F, que es una función de P que cambia con W.

Problema 2: aumentar la densidad de energía, ignorar el trabajo

Además, suponga que la distancia entre los espejos era inicialmente D. Entonces la energía del haz era:

Conserve energía y omita la conservación de la energía para hacer trabajo, ya lo hemos tenido en cuenta aumentando la energía de los fotones. Así que trata a E como una constante. Cuando juntas las vigas distancia$x'$a E constante, debemos aumentar P:

$P = cE_0/(D-x')$

Juntar los resultados

Sabemos que la potencia del haz se escala linealmente con la energía de los fotones, por lo que solo podemos multiplicar nuestro resultado para el problema 2 por la relación de las energías cinéticas de los fotones.

$T/T_0 = \nu_f/\nu_0 = 1 + W/nh\nu_0$

$P = \frac{cE_0}{D-x'} + \frac{cE_0W/nh\nu_0}{D-x'}$

Permítanme proponer que desde un punto de vista matemático esta pregunta no tiene nada que ver con la mecánica cuántica. Tiene una onda estacionaria entre dos límites fijos (una cuerda que vibra es una imagen perfectamente válida) y el "principio de incertidumbre" dice que existe una relación entre la frecuencia (que en la mecánica cuántica es proporcional a la incertidumbre del momento del fotón) y el distancia entre los límites (que dan la incertidumbre en la posición). Concretamente la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda (con la velocidad de propagación de onda invariable como factor de conversión), y esta última no puede exceder el doble de la distancia entre los límites para una onda estacionaria.

Ahora, ¿qué sucede cuando acercas los límites, como en un glissando ascendente? Aunque el cambio de posición límite a velocidad finita perturbará la solución de la onda estacionaria de manera complicada, parecería que en el límite de cambio lento lo que sucede esencialmente es que la frecuencia de la vibración aumenta inversamente proporcionalmente a la distancia restante. En la imagen del fotón*, los espejos (teóricamente infinitamente duros) al moverse juntos ejercen un trabajo sobre los fotones, que por lo tanto ganan energía y frecuencia y, por lo tanto, incertidumbre de momento. El principio de incertidumbre sigue siendo válido.

* Podría agregar que hablar de fotones no tiene sentido aquí; los fotones solo son una noción relevante cuando hay intercambio de forma de energía, lo que solo puede ocurrir en cuantos. En la situación descrita, la imagen de onda es completamente suficiente, no se necesita una vista de partículas.

Como todo, el diablo está en los detalles de cómo configuraste exactamente este experimento. Pero en términos generales, después de una cierta cantidad de tiempo, encontrará que 1. La cantidad de fuerza que se necesita para empujar los espejos muy cerca se vuelve muy alta. Y 2. Encontrarás que el fotón no siempre se queda entre los espejos.

Me gustaría abordar algo interesante que las otras respuestas no mencionan, es decir, que no hay espejos perfectos, y la interacción entre los átomos en el espejo y los fotones sí importa:

1. reflexión (dispersión elástica)

2. absorción (calentando el espejo), el fotón transfiere su energía al sistema átomo/electrón absorbente y el fotón deja de existir

Ahora, en su caso, ambos suceden, es solo que la probabilidad de reflexión es mucho mayor, pero incluso entonces, algunos fotones serán absorbidos por el espejo y calentarán el espejo (tenga en cuenta que es posible en este caso que el átomo volverá a emitir el exceso de energía, pero eso podría ser en una dirección aleatoria, y en un nivel de energía diferente/o cascadas, por lo que no contribuye a su ejemplo de rayo láser).

En el mundo real, los espejos no se reflejan perfectamente, por lo que debe suministrar energía para compensar la energía perdida por la absorción en los espejos (esto también termina calentando el láser).

¿Por qué es necesario suministrar electricidad constante para que un láser funcione?

A medida que mueve los espejos más y más cerca, el número de interacciones aumenta por unidad de tiempo (habrá más y más interacción en el mismo período de tiempo) y, en sentido absoluto, habrá más y más absorciones. Por lo tanto, mucho antes de que tenga que considerar el HUP, se quedará sin fotones en su rayo láser, porque todos serán absorbidos por los átomos de los espejos y su energía calentará el espejo.

Entonces, la respuesta a su pregunta es que eventualmente toda la energía en su rayo láser se transferirá al espejo (lo calentará) antes de que los espejos estén demasiado cerca para considerar el HUP.

La mayoría de las respuestas abordan el problema clásico descrito en la primera parte de la pregunta que involucra un láser y espejos. Me voy a centrar en la parte de la pregunta sobre el principio de incertidumbre.

pozo cuadrado infinito

Hay un sistema de "juguete" que estudian muchos estudiantes de introducción a la mecánica cuántica. El sistema es una sola partícula cuántica atrapada en una caja rígida 1D . La energía potencial de la partícula se describe como un pozo cuadrado infinito.

La función de onda de posición de la partícula es exactamente cero fuera de la caja, por lo que la partícula permanece atrapada. Los fotones no tienen masa, pero por el momento, imaginemos una partícula masiva en la caja. Los estados propios de energía del sistema son

En un estado propio de energía, la energía de la partícula se conoce exactamente, pero su posición está en un estado de mezcla. La función de onda de posición es distinta de cero en muchos lugares dentro de la caja. Podríamos aproximar la incertidumbre de la posición, el ancho de la función de onda, como el tamaño de la caja:

(Es posible calcular exactamente$\Delta x$, y el artículo de Wikipedia vinculado anteriormente lo resuelve)

Si la partícula está en un estado de energía definido, entonces su energía se conoce exactamente. Desde$E = \frac{p^2}{2m}$podría parecer que su impulso también debe conocerse exactamente. Pero debido a que la cantidad de movimiento está al cuadrado en la ecuación, su cantidad de movimiento puede ser positiva o negativa. La partícula podría estar moviéndose hacia la izquierda o hacia la derecha. En el estado fundamental

Podemos aproximar la incertidumbre del momento como

(nuevamente, el artículo de Wikipedia lo resuelve exactamente)

Usando nuestras aproximaciones:

El tamaño de la caja$L$cancelado No importa cuán pequeña sea la caja, se mantiene la relación de incertidumbre.

En la ecuación de la energía podemos ver que si disminuimos$L$, la energía mínima aumenta. Esto a su vez aumenta la incertidumbre del impulso. Cuando disminuimos la incertidumbre de la posición, la incertidumbre del impulso crece para compensar.

Como otros señalan, hay un costo de energía para encoger la caja. Disminuir$L$, debemos aumentar la energía de la partícula. Como$L$se vuelve más y más pequeño, el costo de la energía se dispara. Se necesitaría una cantidad infinita de energía para disminuir$L$a cero. Simplemente no podemos hacerlo.

un fotón en una caja

La misma idea vale para un fotón. El pozo cuadrado infinito es una caja perfectamente reflectante.

La función de onda del fotón es una onda estacionaria para los estados propios de energía, por lo que$L = \frac{n}{2}\lambda_n$. Los estados propios de energía son

Usamos la relación relativista entre la energía y el momento de una partícula. Para un fotón sin masa, vemos

De hecho, usando nuestra aproximación simple, obtenemos el mismo