Motivo de la propagación del paquete de ondas gaussianas

El paquete de ondas gaussianas solo se propaga en la ecuación libre de Schrödinger. No se propaga en el caso de que tenga un oscilador armónico y el ancho gaussiano sea igual al de la función de onda del estado fundamental. Para otros gaussianos en un oscilador, el ancho oscila, crece y se reduce.

La dispersión en la ecuación de Schrödinger libre es más fácil de entender a partir de las propiedades de analiticidad. La ecuación de Schrödinger está vinculada analíticamente a la ecuación de difusión.

$${d\over dt} \rho = {1\over 2} \nabla^2 \rho$$

La solución fundamental de la ecuación de difusión para condiciones iniciales una función delta en$t=0$y$x=0$es la dispersión gaussiana:

$$\rho(x,t) = {1\over \sqrt{2\pi t}} e^{-{x^2\over 2t}}$$

Puedes ver que esto funciona sustituyendo, pero también es obvio a partir de una integral de trayectoria. Para obtener el paquete de Schrödinger en expansión, sustituya$it$para t.

La respuesta de Ron es (como siempre :-) definitiva, y si vas a aceptar una respuesta, debes aceptar la suya. Sin embargo, pensé que valía la pena intentar una explicación más general.

Recuerde que el paquete gaussiano describe la distribución de probabilidad de la partícula. Cuando el paquete se esparce, no significa que la partícula se hinche y se esparza en algún sentido, significa que la probabilidad de encontrar la partícula se está esparciendo.

La razón de esto es que el gaussiano tiene una dispersión de impulso relacionada con el principio de incertidumbre$\Delta p\Delta x \ge \hbar/2$. Eso significa que hay una dispersión de velocidades y esto significa que el gaussiano tiene que extenderse. Soy reacio a decir que diferentes bits del paquete se mueven a diferentes velocidades porque esto es intentar una analogía clásica que es engañosa, pero espero que les dé una intuición física de lo que está pasando.

(De mi libro http://physics-quest.org/Book_Chapter_Klein_Gordon.pdf )

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Propagación del paquete de ondas de campo libre

La velocidad del paquete de ondas viene dada por la derivada del hamiltoniano frente al impulso.

$$\begin{equation} v ~~=~~ \frac{\partial H}{\partial p} ~~=~~ \frac{\partial E}{\partial p} ~~=~~ \frac{p c^2}{\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}} ~~=~~ \frac{p c^2}{E~} \end{equation}$$

El paquete de ondas no se propagaría en el caso de un solo$v$como en el caso de una partícula sin masa que está representada por una función de onda que se mueve sin cambios a la velocidad de la luz.

Sin embargo, un campo localizado con forma gaussiana tiene (a través de la transformada de Fourier) una distribución gaussiana de$p$en el espacio de momento. La relación

$$\begin{equation}E = \sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}\end{equation}$$

significa que habrá un rango de velocidades en lugar de uno solo y por lo tanto, en general, el paquete de ondas se propagará.

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Figura 1.

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La variación está dada aproximadamente por.

$$\begin{equation} \frac{\Delta v}{\Delta p}~\approx~\frac{\partial v}{\partial p} ~~\longrightarrow~\Delta v ~\approx~ \frac{\partial^2 E}{\partial\,p^2}~\Delta p \end{equation}$$

Dado que la relación de incertidumbre de Heisenberg$\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$se puede derivar mediante el análisis de Fourier, que en el caso de una función de onda con forma gaussiana se convierte en$\Delta x \Delta p = \hbar/2$, el valor mínimo, podemos escribir.

$$\begin{equation} \Delta v ~\approx~ \frac{\partial^2 E}{\partial\,p^2}~\frac{\hbar}{2\Delta x} \end{equation}$$

Dónde$\Delta x$es el ancho. Se puede razonar que la forma general de una función de onda cambia más rápido si$\Delta x$es menor para una variación de velocidad dada$\Delta v$. Podemos definir una forma de cantidad adimensional , que tiene una derivada en el tiempo que nos da una aproximación de la dispersión relativa de la función de onda en el tiempo.

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Big\{ \mbox{shape} \Big\} ~~ \approx ~~ \frac{\Delta v}{\Delta x} ~~ \approx ~~ \frac{\partial^2 E}{\partial\, p^2}~\frac{\hbar}{2(\Delta x)^2} \end{equation}$$

Calcular la derivada de segundo orden nos da.

$$\begin{equation} \frac{\partial^2 E}{\partial\, p^2} ~=~ \frac{(mc^2)^2~c^2}{~\big(~(pc)^2+(mc^2)^2~\big)^{3/2}~} ~=~ \frac{E_o^2\,c^2}{E^3} ~=~\frac{c^2}{E\gamma^2} \end{equation}$$

Lo que nos lleva a nuestra expresión final aquí.

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Big\{ \mbox{shape} \Big\} ~~ \approx ~~ \frac{\hbar\,c^2}{2E(\gamma\Delta x)^2} \end{equation}$$

Si eliminamos los gamma, obtenemos la expresión para el resto del marco.

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Big\{ \mbox{shape} \Big\} ~~ \approx ~~ \frac{\hbar\,c^2}{2mc^2(\Delta x)^2} \end{equation}$$

Podemos resumir los resultados como:

• La propagación de la función de onda es inversamente proporcional a la frecuencia (la tasa de cambio de fase en el tiempo) de la partícula. Las partículas de mayor masa se propagan más lentamente.
• La dispersión de la función de onda es proporcional al cuadrado de la dispersión del impulso. Cuanto más pequeño es el volumen inicial en el que estaba contenida la función de onda inicial, más rápido se propaga y sigue propagándose.

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Figura 2

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De figura. 2 podemos leer el mecanismo matemático que conduce a la propagación. La variación$\Delta p$del impulso se mantiene igual con el tiempo. Es la dependencia de la frecuencia con el impulso.

$E=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}$

lo que conduce a un cambio de fase$p$.

El cambio de fase es opuesto a ambos lados del centro-momentum. Estos cambios de fase conducen a traducciones (opuestas) de la función de onda en el espacio de posición, esta es la propagación. El valor$\Delta x$en nuestra expresión se mantiene constante porque$\Delta p$permanece constante, es el inicial$\Delta x$correspondiente a la Gaussiana pura en$t$=$0$.

Algunas cifras reales de la tasa de aplicación

Podemos elaborar algunos ejemplos numéricos para tener una idea de las tasas de esparcimiento. A partir de la amplia gama de tamaños de longitud de onda, podemos clasificar el radio de Compton como el límite de tamaño pequeño, aunque en principio no existe una barrera real para llegar a paquetes de ondas de tamaño aún más pequeño.

si reemplazamos$\Delta x$con el doble del radio de Compton$r_c=\hbar/mc$luego, asumiendo que nuestra aproximación sigue siendo razonablemente válida en este rango.

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Big\{ \mbox{shape} \Big\} ~~ \approx ~~ \frac{c}{8\,r_c} \end{equation}$$

Si recordamos la frecuencia de reposo de la partícula:$f_o=c/(2\pi\,r_c)$(en el caso del electrón$f_o=1.2355899729\,10^{20}$Hz), entonces vemos que la velocidad de propagación se acerca a la velocidad de la luz en este rango. La dispersión de la cantidad de movimiento es tan grande que incluye velocidades cercanas a$-c$hasta$+c$.

Para confinar un campo de electrones a un volumen similar al radio de Compton, se necesita una carga positiva de$~$137e, Los electrones más internos de los elementos pesados ​​están a punto de quedar confinados en un área tan pequeña. El radio de Compton para los electrones es$3.861592696\,10^{-13}$metro.

Más comúnmente, los electrones liberados de un estado ligado despegan con un radio mucho mayor, comparable al radio de Bohr. ($5.291772131\,10^{-11}$metro) Esto significa que la velocidad de esparcimiento es mucho menor,$v < 0.01c$, pero todavía bastante alto.

El tamaño del paquete de ondas crecerá rápidamente. Por ejemplo, el famoso experimento de interferencia de un solo electrón de Akira Tomomura (ver figura 3), que demostró la acumulación de un solo electrón de un patrón de interferencia, muestra que los campos de electrones en el experimento deben tener al menos varios micrómetros de ancho. Este es un factor 100.000 más amplio que en el confinamiento del radio de Bohr.

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figura 3

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Hans

La explicación es realmente muy sencilla de entender intuitivamente, y muy bonita.

Imagine que una partícula una incertidumbre en su velocidad$v$de$\delta v$. Supongamos que en$t=0$tenemos$x=x_{0}$. Después$t=T$, la ubicación de la partícula estará dada por el rango $(x_{0}+Tv-T\delta v,x_{0}+Tv+T\delta v)$, porque no sabemos la velocidad exacta con la que comenzó la partícula. Es evidente que la probabilidad de encontrar una partícula ha pasado de ser localizada al principio a ser difusa después de un tiempo: esto es propagación de paquetes de ondas.

Tenga en cuenta que el rango (tamaño del paquete de onda) aumenta con el tiempo de forma monótona, esto significa que incluso si comenzamos con una densidad de partículas difusa para el caso general, se volverá mucho más difusa por la extensión del argumento.

Aunque entiendo las matemáticas, no entiendo la explicación física detrás de esto .

Le daré una puñalada.

Para una partícula libre , los estados propios de cantidad de movimiento también son estados propios de energía y, por lo tanto, tienen una dependencia del tiempo simple, una fase dependiente del tiempo con una frecuencia proporcional a la energía del estado.

Una partícula libre con una función de onda gaussiana es entonces una superposición continua de estados propios de impulso y, por lo tanto, de energía.

Dado que la fase de los diferentes estados propios del impulso evoluciona a un ritmo diferente , la forma en que los diversos componentes se suman de manera constructiva/destructiva evoluciona con el tiempo.

Cuando todas las fases se "alinean", obtenemos el paquete de ondas de incertidumbre mínima. A medida que pasa el tiempo, el paquete de ondas se propaga ya que las fases evolucionan a diferentes velocidades.