¿Qué son matemáticamente los campos cuánticos?

La definición de un campo cuántico depende ligeramente del formalismo que adopte, pero globalmente, los campos cuánticos se definen como distribuciones con valores de operador. Es decir, si tienes un campo cuántico$\Phi$, se define como

Mapea funciones suaves con soporte compacto en la variedad de espacio-tiempo a operadores lineales en el espacio de Hilbert donde se define su teoría cuántica. Por algún abuso de notación, a veces lo escribimos como$\Phi(x)$, aunque esto solo está bien definido si la distribución es también una función suave.

Esto tiene algunas dificultades asociadas (ya que las distribuciones no se pueden multiplicar fácilmente y QFT involucra muchos productos de campos), lo que significa que uno tiene que usar métodos como conjuntos de frentes de onda y renormalizaciones para darle sentido a todo.

Las respuestas que sugieren que la respuesta a "¿Qué es un campo cuántico?" no está claro o incluso abierto están mal.

La impresión de que esto podría no estar claro se debe a que los libros de texto estándar se apegan a la heurística que ayudó a Tomonaga-Schwinger-Feynman-Dyson a adivinar la teoría hace muchas décadas, pero la naturaleza matemática de la teoría cuántica de campos realista se entendió por completo a mediados de los años 70. y más desarrollado desde entonces. Un estudio del estado del arte está en

• PhysicsFormums-Insights -- Introducción a la teoría cuántica perturbativa de campos

En primer lugar, vale la pena darse cuenta de que existe una diferencia entre una configuración de campo y un observable en el espacio de todas las configuraciones de campo.

Un campo en sí mismo, ya sea en la física clásica o en su cuantización, es simplemente una función en el espacio-tiempo, asignando a cada punto del espacio-tiempo el "valor" de ese campo en ese punto. O más bien, de manera más general, es una sección de un paquete en el espacio-tiempo, llamado paquete de campo. Por ejemplo, si el haz de campo es un haz de espín, entonces el campo es un espinor, si es el haz de forma diferencial, entonces el campo es un potencial de calibre como para el electromagnetismo, etc.

Ahora bien, de la densidad lagrangiana se obtienen dos cosas: las ecuaciones de movimiento, así como una forma presimpléctica en el espacio de todas aquellas historias de campos que resuelven las ecuaciones de movimiento. Esto se llama el espacio de fase covariante de la teoría.

Un observable es una función en este espacio de fase covariante. Envía cualquier historial de campo a un número, el "valor de ese observable en ese historial de campo". Pero dado que el espacio de fase covariante es en sí mismo un espacio de funciones (o más bien secciones), una función en él es un funcional .

Entre estos se encuentran los "funcionales de evaluación de puntos", es decir, los observables cuyo valor en la historia de un campo es el valor de ese campo en un punto dado. El asunto de las distribuciones es simplemente que en estos funcionales de evaluación de puntos no se define el paréntesis de Peierls-Poisson (solo se define su núcleo integral, que es lo que se ve en los libros de texto). Así que uno se restringe a aquellos observables que son funcionales en el espacio de las historias de campo en las que realmente cierra el corchete de Poisson. Estas son manchas de los funcionales de evaluación de puntos por funciones de espacio-tiempo compatibles de forma compacta. Entonces, un punto funcional de evaluación se convierte en un mapa que, una vez que se ha especificado una función de mancha, produce un observable. De esta manera, los observables de campo de evaluación de puntos ya clásicos son distribuciones: "

Ahora todo lo que sucede en la cuantización es que el álgebra de producto puntual de funcionales en el espacio de fase covariante se deforma a un álgebra no conmutativa. Es tradicional exigir representar este álgebra dentro de un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert, pero en su mayor parte esto es una pista falsa. Lo que cuenta es el álgebra no conmutativa de los observables cuánticos. Para calcular las predicciones de la teoría, sus amplitudes de dispersión, en realidad no es necesario representar esto mediante álgebra de operadores.

De todos modos, te guste o no representar el álgebra no conmutativa de los observables cuánticos mediante operadores, en cualquier caso, el resultado ahora es que un punto funcional de evaluación es algo que lee en una función difusa y luego produce el observable correspondiente, exhibido ahora como un elemento de un álgebra no conmutativa. De esta manera, los observables cuánticos en campos son distribuciones valoradas por elementos de álgebra (por ejemplo, valoradas por elementos de álgebra por operadores).

Y, sí, para los campos libres esto produce los operadores familiares de aniquilación de creación, para obtener detalles sobre cómo funciona esto, consulte

• en el nLab en Wick álgebra .

Hay una exposición detallada de estas preguntas en

• geometría de la física: una primera idea de la teoría cuántica de campos

En la actualidad esto se escribe a la altura de la historia clásica. Para la teoría cuántica, visite el sitio nuevamente dentro de dos meses a partir de ahora.

Todavía no existe una formulación matemáticamente sólida de QFT realista, por lo que en este momento no tenemos una respuesta real a su pregunta. La QFT que usan los físicos para hacer predicciones está en la llamada formulación Lagrangiana, que es un marco heurístico para obtener expansiones perturbativas usando diagramas de Feynman. También está la QFT algebraica o axiomática , matemáticamente bien definida pero hasta ahora confinada a teorías libres y modelos de juguete. La idea es que QFT debe satisfacer una lista de axiomas, siendo los axiomas de Wightman los más utilizados, y el desafío es construir teorías realistas que los satisfagan. Construir matemáticamente una teoría de Yang-Mills con una brecha de masa es uno de los problemas de Millenium.

En QFT algebraica, los campos se identifican con distribuciones valoradas por operadores, y la imagen del espacio de Fock es una representación dual de ellas. Esta dualidad es similar a las imágenes de Schrödinger vs Heisenberg en mecánica cuántica. La idea es que el espacio de Hilbert de campos cuánticos, como distribuciones asociadas a regiones localizadas del espacio-tiempo, sea unitariamente equivalente al espacio de Fock, donde se definen operadores de creación y aniquilación, y que es mucho más utilizado en la práctica. Ese es el espacio de Fock de la segunda cuantificación, por lo que esos operadores no son los mismos que los operadores de campo, que son versiones cuantificadas de campos clásicos (intuitivamente, los operadores de espacio de Fock son "globales" mientras que los operadores de campo están "localizados"):

Afortunadamente , los operadores en un espacio de Hilbert QFT incluyen un conjunto de operadores de campo. Si una ecuación de onda en particular es satisfecha por un campo clásico$\phi(x)$, también será satisfecha en forma de ecuación de operador por un conjunto de operadores$\widehat{\phi}(x)$en el espacio de estado de la versión cuantizada de la teoría de campos. Hablando algo imprecisamente,$\widehat{\phi}(x)$actúa como un campo de operadores, asignando a cada punto x un operador con valor esperado$(\psi,\widehat{\phi}(x)\psi)$. A medida que el estado evoluciona dinámicamente, estos valores esperados evolucionarán como los valores de un campo clásico. El conjunto de operadores de campo a veces se denomina campo cuántico valorado por operadores . Una advertencia que será importante más adelante: estrictamente hablando, no podemos construir un campo no trivial de operadores$\widehat{\phi}(x)$definido en los puntos. Pero es posible definir un campo cuántico "borroso" por convolución con funciones de prueba.

[...] Necesitamos una interpretación de los estados teóricos de campo para determinar qué hechos físicamente contingentes representan. En QM de una sola partícula, un estado es una superposición de estados con valores determinados para los observables de la teoría (p. ej., posición y momento)... en las teorías de campo estamos interesados ​​en sistemas que toman valores para algún campo$\phi(x)$y su momento conjugado$\pi(x)$. Por lo tanto, al cuantificar una teoría de campos, deberíamos hacer con el campo lo que hicimos con el sistema mecánico para generar QM. Imponer relaciones de conmutación en$\phi(x)$y$\pi(x)$, y movemos nuestros estados al espacio de Hilbert de funcionales de onda ($\Psi(\phi)$) que describen superposiciones de diferentes configuraciones de campos clásicos.

La equivalencia con la imagen del espacio de Fock se puede probar para QFT libre, pero QFT axiomático tiene dificultades para incorporar interacciones o definir operadores de posición. Debido a esto, algunos argumentan que ni el campo cuántico ni las interpretaciones de espacio/partículas de Fock pueden sobrevivir en una QFT matemáticamente madura, véase, por ejemplo , Interpretaciones contra el campo de la teoría cuántica de campo de Baker , de donde se toma la cita anterior.

Wallace tiene una buena reseña En defensa de la ingenuidad: el estado conceptual de la QFT lagrangiana que analiza la estructura matemática de la QFT tal como se practica, y argumenta, por el contrario, que puede verse como una aproximación válida de lo que la QFT algebraica puede producir algún día. . Si ese es el caso, las distribuciones valoradas por operadores y los estados del espacio de Fock, interpretados como estados de partículas, serán realizaciones efectivas de lo que "son" los campos cuánticos a niveles de energía bajos:

" Hemos argumentado que tales QFT pueden convertirse en teorías cuánticas perfectamente definidas siempre que nos tomemos absolutamente en serio el corte de alta energía; que las múltiples formas de hacer esto no están en conflicto siempre que las entendamos como aproximaciones a la estructura de alguna teoría más profunda, aún desconocida; que la existencia de representaciones no equivalentes no es un problema; que se puede definir un concepto de localización para tales teorías que sea adecuado para analizar al menos algunos de los problemas prácticos con los que nos enfrentamos; y que la inexactitud inherente a ese concepto no es exclusiva de la mecánica cuántica relativista ni problemática en modo alguno.