¿Qué son las frecuencias de fonones en los sólidos? ¿Cómo se relacionan con los potenciales de interacción entre los átomos constituyentes?

Aunque la página de Wikipedia brinda una buena introducción al concepto de fonones, presenta muy rápidamente la aproximación de las interacciones del vecino más cercano y no brinda algunos de los detalles importantes sobre cómo se calculan las frecuencias de los fonones en términos de los potenciales de interacción.

El artículo citado de Rechtsman, Stillinger y Torquato apareció en Phys Rev Lett, 95, 228301 (2005) y también como preimpresión . Más detalles aparecen en un artículo posterior de los mismos autores Phys Rev E, 73, 011406 (2006) , también disponible como preimpresión . El mismo grupo ha llevado estas ideas más allá en los años posteriores.

El potencial de interacción depende únicamente de la distancia entre los átomos, pero es de una forma no convencional con dos mínimos separados por un máximo.

La idea es "adaptar" el potencial para favorecer una estructura cristalina abierta (en este caso basada en una red de panal). De hecho, esperan que tal entramado se ensamble por sí mismo, dado ese potencial. Por lo tanto, necesitan manejar una red con varios átomos por celda unitaria, y el potencial se extiende más allá de los vecinos más cercanos (aunque no hay términos electrostáticos verdaderamente de largo alcance). Como parte del proceso de "examinar" el potencial, requieren que todas las frecuencias de fonones sean reales; en otras palabras, todas las "constantes de resorte" son positivas. De lo contrario, una simple deformación con el vector de onda correspondiente reduciría la energía potencial, por lo que la estructura cristalina propuesta sería mecánicamente inestable.

Una descripción adecuada de "cómo calcular los fonones" se da en varios libros sobre física del estado sólido, y en ese segundo artículo en realidad se refieren a N Ashcroft y ND Mermin Solid State Physics . Lo siguiente es solo un boceto.

Sea la posición del átomo$k$en celda unitaria$m$ser

$$\mathbf{R}_{mk} = \mathbf{R}_m + \mathbf{r}_k + \mathbf{u}_{mk}$$ dónde$\mathbf{u}_{mk}$es el desplazamiento instantáneo desde la posición ideal de la red, siendo esta última la suma del vector base $\mathbf{r}_k$dentro de la celda, y la posición de la celda$\mathbf{R}_m$. La aproximación cuadrática a la energía de red es $$\Phi = \Phi_0 + \frac{1}{2} \sum_{mk\alpha} \sum_{m'k'\alpha'} \Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}\, u_{mk}^\alpha u_{m'k'}^{\alpha'}$$ dónde$\alpha,\alpha'=x,y,z$(o solo$x,y$en 2D) y $$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'} = \left. \frac{\partial^2\Phi}{\partial u_{mk}^\alpha \partial u_{m'k'}^{\alpha'}} \right|_{0}$$ se evalúa en el equilibrio, todo$u_{mk}^\alpha=0$. No existe un término lineal porque en el equilibrio no hay fuerzas netas sobre ningún átomo. La suma cubre todos los pares de átomos en una muestra grande (macroscópica), pero por supuesto los términos$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}$son distintos de cero solo para pares dentro del rango de interacción; también dependen solo de la diferencia en las posiciones de las celdas unitarias$\mathbf{R}_m-\mathbf{R}_{m'}$, por lo que se pueden escribir$\Phi_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{R}_m-\mathbf{R}_{m'})$. Esto ayuda cuando hacemos la transformada de Fourier.

Introducción a los modos de Fourier$\mathbf{u}_{mk}\propto\sum_{\mathbf{q}}\mathbf{U}_{\mathbf{q}k} \exp(-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}_m)$simplifica la energía para

$$\Phi = \Phi_0 + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{q}} \sum_{k\alpha} \sum_{k'\alpha'} D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q}) \, U_{\mathbf{q}k}^{\alpha} U_{-\mathbf{q}k'}^{\alpha'}$$ dónde $$D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q}) = \sum_{\mathbf{R}} \Phi_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{R}) \exp(-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R})$$ Esto generalmente se normaliza mediante un término que involucra las masas atómicas para dar la matriz dinámica , pero si todos los átomos tienen la misma masa, esto es trivial. Si hay$K$átomos en la celda unitaria, los términos$D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q})$son los elementos de una matriz$\mathbb{D}(\mathbf{q})$cuyo tamaño es$3K\times3K$(o$2K\times2K$en 2D). Determinación de los valores propios de$\mathbb{D}(\mathbf{q})$es la operación clave: si alguno de ellos es negativo, la frecuencia del fonón correspondiente es imaginaria y el cristal será inestable.

Calculador$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}$consiste en mirar todo$K$átomos en la celda unitaria, y examinando la interacción con todos los demás átomos dentro del rango del potencial$v(r)$. Por supuesto,$\mathbb{D}(\mathbf{q})$necesita computación para una gran cantidad de vectores de onda en la zona de Brillouin, pero esto es manejable.