¿Cuáles son las aplicaciones de los potenciales de la función delta?

¿Existen aplicaciones reales para usar los potenciales de la función delta en la mecánica cuántica (aparte de usarlos como un modelo de juguete que se puede resolver exactamente en los libros de texto de mecánica cuántica de pregrado introductorios)?

Cualquier aplicación en la vida real será una aproximación... dado que, d -Las funciones aparecerán cuando una partícula quede atrapada en una caja (por ejemplo)
Googleando encontré este ejemplo

Respuestas (2)

El mejor ejemplo que se me ocurre es el modelado de un cristal a través de una serie de funciones delta igualmente espaciadas . Este conjunto de funciones delta espaciadas se denomina peine Delta y tiene varias aplicaciones no solo en mecánica cuántica :-).

Aplicaciones hay muchas, aunque sueles verlas algo disimuladas.

  • La ecuación no lineal de Schrödinger en 1d: esta es una teoría cuántica de campos que describe gas de partículas que interactúan entre sí con potenciales de función delta. Este es un modelo teóricamente importante, ya que Bethe-Ansatz puede resolverlo, y se usa experimentalmente para modelar ciertos sistemas ópticos.
  • El cuanto relativista ϕ 4 modelo: en el límite no relativista, esta es una ecuación de Schrödinger no lineal, por lo que es lo más cercano que puede llegar a un gas relativista de partículas con repulsión delta. El estudio de la versión N-copia de esto le dice las estadísticas de caminatas aleatorias que evitan a sí mismas en 2d y 3d, y esto se puede considerar como un camino con una repulsión de función delta infinita hacia sí mismo y hacia otros caminos del mismo tipo. El análisis de este modelo y su conexión con la autoevitación de polímeros se atribuye a deGennes.

Entonces, se puede pensar que el bosón de Higgs tiene una repulsión de función delta a otros bosones de Higgs en el modelo estándar, o el análogo relativista más cercano. Además de esto, hay un resultado de universalidad simple

  • La dispersión de cualquier potencial localizado en asíntotas 1d a la dispersión de un potencial delta para longitudes de onda largas.

Esto también es cierto en dimensiones superiores, si se califica apropiadamente. En 2d y superior, hay un factor de escala adicional que indica que la dispersión se atenúa en longitudes de onda largas. Puede pensar en esto como la probabilidad de que la integral de la ruta aleatoria encuentre la región de interacción. La atenuación es por un factor que es análogo al tiempo de recurrencia de un paseo aleatorio, es logarítmico en |k| (para pequeños |k|) 2d y por una potencia de k en dimensiones superiores. Esto significa que es un modelo de juguete útil para la renormalización.

Por esta razón, el potencial delta es específico de 1-d. Si intenta definir un potencial delta dimensional más alto, debe volver a normalizar el coeficiente en el límite de la función delta para obtener una energía de estado fundamental fija y, en realidad, en 3d y superior, no tiene un estado fundamental sensible. Puede ver esto haciendo el problema inverso --- comience con un ansatz de estado fundamental (realmente positivo)

ψ 0 ( X ) = mi − W

y encuentre el potencial que hace de W un estado fundamental:

V ( X ) = 1 2 | ∇ W | 2 + 1 2 ∇ 2 W

En 1d, puedes ver que hacer W = | X | da la función delta (del segundo término). En dimensiones superiores, obtienes la fuerza de Coulomb del mismo ansatz. Entonces, el pozo delta es un análogo 1d del pozo de Coulomb en esta forma de pensar.

Incluso solo para 1d, puede usar el pozo delta para describir un potencial de enlace de superficie, ya que el movimiento en la dirección perpendicular está limitado. Es un modelo muy importante, ya que es el punto límite universal.

Bien, entonces los 2 primeros puntos parecen aplicaciones de materia condensada, ¿podría proporcionar algunas referencias? Además, no obtuve la parte sobre el bosón de Higgs (una referencia aquí estaría bien). Gracias.
@Revo: el bosón de Higgs es autointeractivo cuartico, por lo que experimenta una repulsión de función delta de otros bosones de Higgs. No creo que haya una referencia, hice el ejemplo para responder a su pregunta. Solo trato de hacer declaraciones que no se encuentran en las referencias (o al menos, rara vez se encuentran en las referencias). Una excelente referencia para la ecuación de Schrödinger no lineal es "Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación" de Korepin/Bogoliubov/Izergin.
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