¿Qué son las distribuciones de energía térmica?

acabo de recordar

$$\frac{1}{\exp(\beta (E-\mu)) \pm 1}$$ Puede calcular el signo por el hecho de que las distribuciones de Bose-Einstein pueden divergir (por lo que van con el signo -), mientras que Fermi-Dirac está acotada (por lo que van con el signo +). Maxwell-Boltzmann se aplica a los sistemas clásicos, por lo que las estadísticas cuánticas no importan, así que tome el límite de que las dos distribuciones son iguales (así que elimine el $\pm1$).

Estas expresiones representan el número promedio de partículas que ocupan un estado con energía$E$. El potencial químico$\mu$es solo una perilla que le permite ajustar la densidad general. También puede pensar en ello como (aproximadamente) la energía que se necesita para agregar una partícula al sistema. Para encontrar el número total de partículas en el sistema, debe sumar esto sobre todos los niveles de energía. Puede utilizar esta información para encontrar todo tipo de medias térmicas. Por ejemplo:

$$\text{total energy} = \sum_{\text{all energies}} \left(\text{distribution function}\times\text{number of states with a given energy}\right)$$

Esto es esencialmente lo que sucede en la ley de Planck, solo se deja la suma. La ley de Planck es la distribución de Bose-Einstein (con$\mu=0$porque los fotones pueden crearse y destruirse libremente) multiplicado por el número de estados con una energía en un rango pequeño alrededor de$E$. Esto te dice cuánta energía hay en los fotones con energías en ese rango.

La deducción de las distribuciones de energía térmica es más o menos una aproximación de Stirling.$\ln(x!)=x\ln(x)-x$, método de multiplicadores de Lagrange y muchas permutaciones/combinaciones. Puedes verlo en la parte inferior.

Las distribuciones de energía térmica contienen modelos clásicos como las estadísticas de Maxwell-Boltzmann y modelos de física cuántica como las estadísticas de Bose-Einstein y las estadísticas de Fermi-Dirac.

El "classical"término significa modelos como las ecuaciones de Maxwell, modelos de derivaciones parciales, que no contienen la noción de discretización, una gran diferencia con los modelos QM como la regla de Planck.$E=hf$donde se cuantifica la energía de EM .

La luz es un ejemplo de radiación EM. Maxwell se dio cuenta de esto al analizar estudios anteriores de Weber y Kohlrausch aquí y concluyó$c_0=\frac 1 {\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$. Un modelo de luz más realista es un modelo no clásico aquí que no puede describirse con un mecanismo clásico sino con un campo electromagnético cuantificado y mecánica cuántica. El fotón es un bosón, por lo que obedece a las estadísticas de Bose-Einstein, no a la aproximación clásica, es decir, las estadísticas de Maxwell-Boltzmann que solo son realistas con temperaturas extremas, como cerca del cero absoluto o temperaturas muy altas.

Hechos como el efecto fotoeléctrico, la emisión X (opuesta al efecto fotoeléctrico) y la dispersión de Compton demuestran la discretización de la EM que describe QM. El dualismo onda-partícula explica eventos en los que la luz actúa como una onda y como una partícula. Esto es imposible de explicar con las ecuaciones de Maxwell. Ejemplos de tales eventos son el experimento de doble rendija y el experimento de una sola rendija.

Ahora el experimento de la doble rendija conduce a la realización de la incertidumbre. No se puede ver la naturaleza ondulatoria al mismo tiempo que la naturaleza corpuscular. Un ejemplo de esto es el principio de incertidumbre de Heisenberg.$\Delta p\Delta x \geq \frac{h}{4\pi}$eso significa que no puede conocer la ubicación del objeto físico y su impulso al mismo tiempo, si el$\Delta p$está cerca de cero, tienes una partícula, y si el$\Delta p$está cerca de cero, tienes una onda. Bohr generalizó este concepto de eventos complementarios a partir de meras ondas y partículas en su complementariedad aquí donde se dio cuenta

"Es imposible diseñar un dispositivo de medición que demuestre ambos fenómenos simultáneamente, no por falta de creatividad por parte del experimentador, sino simplemente porque tal dispositivo es literalmente inconcebible". (Frase en la Wikipedia sobre la complementariedad)

que en realidad es una declaración que invita a la reflexión. Por ejemplo, entiendo esto para que no puedas tener una cámara que minimice todo tipo de ruidos. Los modelos QM infieren un nuevo tipo de ruido, como el ruido cuántico, también conocido como ruido de disparo, que domina los ruidos de baja relación señal-ruido en ciertas situaciones.

Los documentos de mi conferencia aquí al final son confusos en este punto. Menciona "You cannot force wave nature into particle nature without losing interference."tras mencionar "You will lose interference pattern on the left if you try to find out from which hole the photon went by filling the other hole one-by-one"(no traducción palabra por palabra) pero el significado debe ser el mismo.

Ahora volvamos a las estadísticas.'why are the statistics called "thermal" or "energy"?'

Los modelos QM como Bose-Einstein y Fermi-Dirac describen bosones y fermiones, respectivamente. Los modelos clásicos (término ambiguo pero que ahora significa ecuaciones de Maxwell) son ecuaciones de energía en cierto modo: necesitas energía para ver su funcionamiento. La preparación térmica es un poco extraña, pero tal vez quiere enfatizar la asociación de energía y temperatura. La palabra "distribution"acentúa la connotación estadística.

¡Espero que alguien más experimentado pueda explicar lo que "thermal energy distributions"realmente son! Siento que mi explicación no es exhaustiva.

formalismo matemático

bose-einstein

Tenemos partículas con estados$N_i$y paredes$M$donde las partículas pueden tener el mismo estado cuántico, una gran diferencia con los fermiones donde$(n,s,l,m_l)$no puede ser el mismo. Así que la alineación horizontal

$$W_h^i=\frac{(N_i+M-1)!}{N_i!(M-1)!}$$

donde la alineación total es el producto de toda la alineación horizontal, por lo que la función de probabilidad$P=\Pi_i w_h^i=\Pi_i\frac{(N_i+M_i-1)!}{N_i!(M_i-1)!}$entonces

$$\ln(P)=\sum_i \ln\left[(N_i+M-1)!-\ln(N_i!)-\ln((M-1)!)\right]$$

Ahora usamos el método del multiplicador de Lagrange, por lo que la función F es

$$F=\ln(P)+\alpha (N-\sum_i n_i) + \beta (MU-\sum_i n_i u_i)$$

donde el primero$\alpha$restricción significa que la cantidad de partículas es la suma de todas las partículas en los estados$N=\sum_i n_i$y el segundo$\beta$condición significa que la energía del sistema es la suma de todas las energías en los estados.

Ahora derivamos este con respecto a la variable de estados$n_i$donde necesitamos usar la aproximación de Stirling$\ln(x!)\approx x\ln(x)-x$debido a la gran cantidad de partículas (una pequeña cantidad de partículas requiere un término adicional aquí ). Entonces

$$\ln(M)-\ln(N_i)-\alpha-\beta E_i=0$$

$$N_i=Me^{-\alpha-\beta E_i}$$

Fermi Dirac

El principio de exclusión de Pauli es la diferencia clave. Por lo demás, es la misma deducción que con Bose-Einstein pero$W_h^i=\frac{M!}{N!(M-N_i)!}$dónde$N!$es para estados tripulados "miehitetty" y$(M-N_i)!$para estados no tripulados debido al principio de exclusión de Pauli: ¡no puede tener los mismos dos estados Q con fermiones!

Maxwell Boltzmann

Ahora uso las conferencias 2061 aquí, páginas 63-65. No estoy seguro de esto porque los dos maestros usan notaciones ligeramente diferentes, pero lo entiendo de esta manera.

$$W_h^i =\frac{g_i^{n_i}}{n_i!}$$

dónde$g_i$es el degenerado,$n_i$es la cantidad de estado por lo que la probabilidad$P_{MB}=\Pi_i W_h^i.$Y obtendremos las estadísticas pero tomando el logaritmo y usando multiplicadores de Lagrange. Nuestras condiciones son$N=\sum_i n_i$y$E=\sum_i n_i E_i$.

RESUMEN

La mayoría de los estados están con Maxwell-Boltzman, luego Bose-Eistein y menos estados con Fermi-Dirac debido al principio de exclusión de Walls y Pauli. Tenga en cuenta que no hay "muros" con Maxwell-Boltzmann donde los sistemas como las partículas de gas ideal pueden ocupar el mismo estado cuántico, quizás relacionado con el fenómeno de la superfluidez. Fórmulas de ocupación horizontal para Bose-Einstein, Fermi-Dirac y Maxwell-Boltzman:

$$W_h^i(BE)=\frac{(N_i+M-1)!}{N_i!(M-1)!}$$

$$W_h^i(FD)=\frac{M!}{N_i!(M-N_i)!}$$

$$W_h^i(MB) =\frac{G_i^{N_i}}{N_i!}$$

Preguntas de estudio

1. ¿Los fermiones y los bosones tienen degeneración como un sistema de Maxwell-Boltzmann?

2. En otras palabras, ¿por qué no$G_i$con fórmulas BE y FD?

Hay una visión interesante sobre cómo relacionar las distribuciones de física estadística y el problema de colocar bolas en cajas.

Aquí está el enlace: http://tominology.blogspot.com.br/2014/11/counting-problems-and-statistical.html

Básicamente puedes pensar que:

1. Maxwell-Boltzmann: organice partículas distinguibles dentro de las células donde las células pueden contener múltiples partículas.
2. Bose-Einstein: organiza partículas indistinguibles dentro de las células donde las células pueden contener múltiples partículas.
3. Fermi-Dirac: organiza partículas indistinguibles dentro de las celdas donde cada celda puede contener solo una partícula.