¿Qué significa desacoplar las ecuaciones de Maxwell con el operador rotacional?

Estoy leyendo Introducción a la electrodinámica 4.ª edición de DJ Griffiths donde, después de enumerar las ecuaciones de Maxwell en un espacio vacío (es decir, ρ = 0 , j = 0 , m = m 0 , ϵ = ϵ o ) dice en la página 393:

[Las ecuaciones] constituyen un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas de primer orden para E y B. Se pueden desacoplar aplicando el rotacional a (iii) y (iv):

donde las ecuaciones (iii) y (iv) son:

∇ × mi = − ∂ B ∂ t

∇ × B = − m 0 ϵ 0 ∂ mi ∂ t

Luego, Griffiths aplica el operador rotacional a ambas funciones y llega a la ecuación de onda para las ondas electromagnéticas.

No entiendo por qué usamos el operador curl. Me parece arbitrario sin entender lo que Griffiths quiere decir con PDE acopladas y desacoplarlas usando el operador curl. Sé que las dos ecuaciones dependen una de la otra; un campo afecta al otro y eso se refleja en las ecuaciones, tal vez eso es lo que se entiende por acoplado.

Mi pregunta consta de dos partes:

  1. ¿Qué significa que las ecuaciones estén acopladas y por qué debemos desacoplarlas?

  2. ¿Por qué el uso del operador curl los desacopla?

Toma, por ejemplo, la primera ecuación: tiene la derivada temporal de B, pero la segunda te dice que el rotacional de B está relacionado con E. Entonces, si quieres una ecuación SOLO con el campo E, debes tomar la curl de la primera ecuación y sustituya la relación por curl B proporcionada por la segunda. Es por eso que Griffiths toma el rizo.
Pero, ¿por qué específicamente el rizo?
Puede sonar "tonto", pero la razón es que las ecuaciones ya contienen el rizo: ¿cómo se obtiene una ecuación para E solo con las dos enumeradas? (obtener una sola ecuación para E, o B, solo = desacoplar las ecuaciones).
Bien, ¿es solo que debido a que las ecuaciones tienen un operador rotacional, usar otro rotacional las desacopla , es decir, obtenemos ecuaciones para los campos que no dependen del otro campo?
Exacto, nada "extraordinario" detrás del uso del curl, es solo la forma natural de desacoplar las ecuaciones. Pruebe este juego: coloque otro operador (digamos una operación genérica "L" que conmuta con la derivada del tiempo) en las dos ecuaciones de Maxwell en lugar del rotacional... e intente desacoplarlas. Verás que tienes que aplicar "L".
Bien, supongo que eso responde a mis preguntas. Gracias @Quillo

Respuestas (1)

Acoplamiento significa simplemente que ambas ecuaciones involucran ambos campos, por lo que no se pueden resolver por separado.

Ahora, ambas ecuaciones involucran una relación entre el rotacional de un campo y el otro campo. Entonces, si tomamos la primera ecuación y aplicamos curl, el lado derecho contendrá ∇ × B , que podemos escribir en términos de mi y obtenga una ecuación escrita solo en términos del campo eléctrico: eso es lo que significa desacoplamiento.

El rotacional solo complica una idea simple: si tenemos un par de ecuaciones de primer orden

F ˙ = a gramo gramo ˙ = b F ,

¿Cómo los desacoplamos? ¡Solo toma derivados! Después de un poco de álgebra, eso los convertirá en las dos ecuaciones de segundo orden.

F ¨ = a b F gramo ¨ = a b gramo .

Como nota final, el rizo no es la única opción: también puede tomar derivadas de tiempo, seguir los mismos pasos y llegar al mismo resultado.

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