¿Qué representa la fórmula de Peter Parker?

Question

¿Qué representa la fórmula de Peter Parker?

Nikolaj-K

Bien, ya salió el tráiler de la nueva película de Spider Man y, aparentemente, a nuestro amigable físico del vecindario se le ocurrió algo. Sin embargo, no puedo averiguar qué es esto.

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Transcripción:

\begin{aligned} \frac{d Iniciar sesión Φ}{d t} & = α (1 - gramo {(\frac{Φ}{k})}^{β}) \\ Φ & = k \sum_{i} \prod_{j} Exp (\frac{{gramo}^{j} (1 - {mi}_{a})^{j - 1}}{(j - 1)! (1 - (1 - {mi}_{a})^{j})}) Iniciar sesión (\dots \end{aligned}

$\begin{align}\frac{\text d \log\Phi}{\text d t} &= \alpha\Biggl({1 - g{{\biggl( {\frac{\Phi }{K}} \biggr)}^\beta }} \Biggr) \\ \Phi &= K\sum_i\prod_j\exp \Biggl(\frac{g^j(1 - E_a)^{j - 1}}{(j - 1)!\bigl(1 - ( {1 - E_a)^j\bigr)}}\Biggr) \log\bigl( \cdots\end{align}$

(la última parte está oculta)

No creo que sea solo una tontería y, aunque mi primera conjetura fue la física estadística o la teoría de redes, también podría ir en la dirección de la biología.

Manishearth

El texto alrededor del cuadro sugiere biología (citoquinas, células, etc.), pero eso puede no estar relacionado con el contenido del cuadro.

capitán jirafa

Una suma sobre un PI exp (cosas mucho mayores que uno) . no, esto no está dentro del universo físico más que el ackermann. Suponiendo que j es real.

twistor59

¿Función de partición para excitaciones de hemoglobina en humanos con sangre radiactiva?

a la izquierda

@CaptainGiraffe: esas "cosas" no necesitan ser mucho más grandes que uno.

(1 - E_{a})

$(1-E_a)$ ciertamente está en

[0, 1]

$[0,1]$ , lo que queda es

\approx \frac{g^{j}}{j!}

$\approx \tfrac{g^j}{j!}$ que va a 0 rápidamente para grandes

j

$j$ , y el factorial implica que

j

$j$ es un natural El producto se puede sacar en exponencial, si es infinito la suma allí da otra exp. Por supuesto

\exp (e^{g})

$\exp(e^g)$ crece rápido para grandes

g

$g$ , pero no sabemos nada de eso ni de la

i

$i$ -suma. El hecho de que

i

$i$ no aparece en la parte visible me parece lo más sospechoso.

Manishearth

@CaptainGiraffe Números tan grandes entran en su lugar cuando se calculan las posibilidades . Esto es común en la mecánica estadística.

Nikolaj-K

Creo que tal vez algunos de los símbolos que parecen 1 son i. Además, en algún lugar está la función.

\frac{x}{1 - x}

$\frac{x}{1−x}$ , que se siente familiar. Por último, no veo el tiempo en la expresión final. Si el lado derecho de la segunda expresión realmente es independiente del tiempo, entonces el lado derecho de la primera ecuación normaliza la suma. Así que creo que tal vez una evolución de una distribución de probabilidad.

Nikolaj-K

E_{a}

$E_a$ es típico para la energía de activación en la química (cuántica).

Respuestas (4)

¿Qué representa la fórmula de Peter Parker?

El texto alrededor del cuadro sugiere biología (citoquinas, células, etc.), pero eso puede no estar relacionado con el contenido del cuadro.
Una suma sobre un PI exp (cosas mucho mayores que uno) . no, esto no está dentro del universo físico más que el ackermann. Suponiendo que j es real.
¿Función de partición para excitaciones de hemoglobina en humanos con sangre radiactiva?
@CaptainGiraffe: esas "cosas" no necesitan ser mucho más grandes que uno. $(1-E_a)$ ciertamente está en $[0,1]$ , lo que queda es $\approx \tfrac{g^j}{j!}$ que va a 0 rápidamente para grandes $j$ , y el factorial implica que $j$ es un natural El producto se puede sacar en exponencial, si es infinito la suma allí da otra exp. Por supuesto $\exp(e^g)$ crece rápido para grandes $g$ , pero no sabemos nada de eso ni de la $i$ -suma. El hecho de que $i$ no aparece en la parte visible me parece lo más sospechoso.
@CaptainGiraffe Números tan grandes entran en su lugar cuando se calculan las posibilidades . Esto es común en la mecánica estadística.
Creo que tal vez algunos de los símbolos que parecen 1 son i. Además, en algún lugar está la función. $\frac{x}{1−x}$ , que se siente familiar. Por último, no veo el tiempo en la expresión final. Si el lado derecho de la segunda expresión realmente es independiente del tiempo, entonces el lado derecho de la primera ecuación normaliza la suma. Así que creo que tal vez una evolución de una distribución de probabilidad.
$E_a$ es típico para la energía de activación en la química (cuántica).

N. Virgo · Answer 1

Aquí hay un video del asesor científico de la película que explica cuál es la ecuación y cómo se le ocurrió: http://www.youtube.com/watch?v=WjfT6MqTCqQ

Se basa en la ecuación de Gompertz , que es un modelo de las tasas de mortalidad, con algunos "brillos matemáticos" añadidos.

Si bien esta respuesta ciertamente refleja con precisión la psicología del consultor +1, la "ecuación de Gompertz" proporciona una función de distribución acumulativa que obedece a una ecuación logística modificada. Esta ecuación logística modificada es lo que se anotó. La segunda ecuación es todo "brillo matemático" (lo que significa que no tiene ningún sentido en relación con la primera, más allá de ser vagamente combinatoria). Mi respuesta sigue siendo correcta y no se requiere ninguna modificación. Realmente no importa lo que diga el tipo que lo inventó . Tengo que explicar esto porque obtuve un voto negativo en mi respuesta correcta.

Ron Maimón · Answer 2

Las dos ecuaciones no están relacionadas.

Primera ecuación

La primera ecuación es una simple modificación de la ecuación diferencial logística , aunque algo disfrazada. La ecuación logística usual es

\frac{d X}{d t} = X (1 - X)

${dx\over dt} = x(1-x)$

o en términos de la derivada de $\log(x)$ , es la ecuación que escribe Peter Parker, con $\beta=1$ . El factor de K en conjunto con g establece la escala para $\Phi$ , y es irrelevante, el comportamiento cualitativo para diferentes $\beta$ en tiempos largos no se modifica, ya que la posición de equilibrio está en

Φ_{mi q} = \frac{k}{{gramo}^{\frac{1}{β}}}

$\Phi_\mathrm{eq}={K\over g^{1\over\beta}}$

Los valores por encima de este bajan y los valores por debajo de este suben. Además, existe una primera derivada distinta de cero de $\Phi^\beta$ para toda idea razonable de lo que $\beta$ se supone que es, así que esto está describiendo una cantidad $\Phi$ que quiere subir exponencialmente, pero es suprimido por efectos competitivos.

el exponente $\beta$ describe los efectos competitivos. La ecuación logística describe (digamos) bacterias (o glóbulos blancos) que se replican donde dos bacterias compiten por los mismos recursos limitados. En este caso, la competencia es $\beta$ veces, las bacterias se desplazan entre sí peor que cuadráticamente (o menos peor, dependiendo de si $\beta<1$ o $\beta>1$ ).

Esta ecuación es consistente con una interpretación biológica que $\Phi$ es la concentración de algún agente de desplazamiento replicante, como un modelo de enfermedad.

Segunda ecuación

La segunda ecuación está escribiendo $\Phi$ de una forma que depende de g pero no de t. Tiene una K, pero hay una expansión no relacionada de $\Phi$ en términos de $E_n$ 's, por lo que no es la expresión para el valor de equilibrio o la relajación a este valor de equilibrio.

Además, puede manipular la forma exponenciando, expandiendo el denominador en una serie de potencias y realizando la suma en j, para producir una segunda serie infinita, pero solo si asume que la parte oculta del logaritmo no depende de j, sino solo en la variable "i" que hasta ahora no ha sido utilizada.

${\Phi\over K} = \exp(g (\sum_{k=1}^{\infty} \Delta^k e^{g\Delta^k})) \sum_i log(...)$ ps

Dónde $\Delta=(1-E_k)$ , y de la forma, asumiré $0<\Delta<1$ , de modo que $0<E_k<1$ . los $\log$ parte tampoco tiene sentido como un desarrollo de tiempo, este no es el desarrollo de la ecuación logística, o cualquier asintótica razonable de esto, (aunque el símbolo que está parcialmente oscurecido es probablemente un $\alpha$ que solo puede aparecer multiplicado por t en términos dimensionales, por lo que puede suponer que es $\log(\alpha t ...)$ , por lo que solo se puede suponer que los cineastas eligieron una segunda ecuación para lucir impresionante desde un sistema no relacionado.

No lo llamaría una versión de la ecuación logística, ya que no es equivalente a ella. es una variante de la ecuación logística con una ley diferente para la parte de saturación restada.
También obtengo un exponente diferente en tu fórmula para $\ph/K$ . Pero incluso entonces la suma infinita no parece natural.
@ArnoldNeumaier: El exponente diferente en la ecuación. 1 y ec. 2 muestra que no están relacionados, ¿debería haberlo llamado "Ecuación logística con exponente de competencia?" Es la misma idea, con una supresión ligeramente diferente, y asintóticamente, cerca del equilibrio, se convierte en una ecuación logística.
@ArnoldNeumaier: La transformación es expandir el $(1-\Delta)$ en la parte inferior en una serie infinita y resumiendo, estoy bastante seguro de que lo hice bien. ¿Qué arruiné? El punto de la suma infinita es comprobar el caso. $\Delta$ cerca de 0, para ver si hay algún contenido relacionado con la ecuación logística: no lo hay. Esta no es una ecuación sensata en relación con la primera.
El primero $\Delta^k$ en tu ecuación debe ser $\Delta^{k-1}$ , Yo creo. - El término ''ecuación logística'' tiene un significado fijo, mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html , por lo que la designación correcta tendría que ser ''ecuación logística modificada con exponente de competencia''.
Esta fórmula está diseñada para parecer más complicada de lo que es.

Arnold Neumaier · Answer 3

los hechos que

hay una suma encima $i$ pero el producto no implica $i$ ;
el producto es un producto de exponenciales, que como resultado principal (encuadrado y marcado como " NO BORRAR ") normalmente se escribiría como un solo exponencial;
dado que la primera ecuación es una ecuación diferencial, se debe esperar que la segunda ecuación dé $\Phi$ ser una condición inicial (descartada ya que el lado izquierdo no se llama $\Phi(0)$ más o menos) o la solución (descartada como ninguna $t$ ni $\alpha$ ni $\beta$ aparece en el lado derecho);
$E_\alpha$ parece una probabilidad pero no se llama $p$ o $q$ ;
las fórmulas que rodean el cuadro tienen diferentes variables;

Sugiérame que la fórmula está compuesta, una combinación de imaginación junto con la inspiración de la literatura de biología matemática.

@RonMaimon: había votado a favor de su respuesta, pero aún así me pareció apropiado dar mi propia formulación de la respuesta. (Es más corto y pone el énfasis de manera diferente).
parece más como $E_a$ para mí, que representa la energía de activación de una reacción.

ajmeteli · Answer 4

ajmeteli

Supongo $\Phi$ es algo así como la función de partición (¿grandiosa?) de la mecánica estadística, por lo que las fórmulas pueden estar relacionadas con la mecánica estadística (sin equilibrio), tal vez con el cálculo de las velocidades de reacción (químicas).

jerry schirmer

Correcto, y algún tipo de función de partición (gran) razonablemente tendría su registro.

Raskolnikov

@Jerry: ¿Su comentario pretende ser sarcástico? Una función de partición puede verse como una función generadora de momentos, y esta función generadora de momentos está naturalmente relacionada con la función generadora de cumulantes a través de un logaritmo.

jerry schirmer

@Raskolnikov: y por lo tanto, tiene sentido que haya un registro en la pizarra.

Raskolnikov

@Jerry: se puede evitar simplemente multiplicando ambos lados por un factor

Φ

$\Phi$ .

jerry schirmer

@Raskolnikov: y mi comentario solo se habría modificado ligeramente si la ecuación diferencial fuera para

\frac{1}{Φ} \frac{d Φ}{d t}

$\frac{1}{\Phi}\frac{d\Phi}{dt}$ . El registro de algo es igual a algo que es la suma de un producto de un montón de términos grita algo (gran) función de partición.

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a la izquierda

Manishearth

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Ron Maimón

Ron Maimón

Primera ecuación

Segunda ecuación

Ron Maimón

Arnold Neumaier

Arnold Neumaier

Ron Maimón

Ron Maimón

Arnold Neumaier

Saco grande

Arnold Neumaier

Arnold Neumaier

Ron Maimón

mikhailcazi

ajmeteli

jerry schirmer

Raskolnikov

jerry schirmer

Raskolnikov

jerry schirmer