¿Qué mide exactamente un acelerómetro angular y cómo se puede obtener una Rotación SO(3) a partir de dichas medidas?

Question

¿Qué mide exactamente un acelerómetro angular y cómo se puede obtener una Rotación SO(3) a partir de dichas medidas?

Física
cinemática
mecanica clasica
cinemática-rotacional

Damián

tl; dr

Si uno tiene un acelerómetro angular, ¿cuál es el movimiento que realmente mide?

Si tenemos un acelerómetro angular de 3 ejes perfecto (es decir, sin ruido, sin errores, perfectamente alineado, ...), dadas las condiciones iniciales apropiadas, ¿cómo se obtiene una rotación SO(3) a partir de la (doble) integración de dichas medidas?

Antecedentes y detalles

Si uno abriera prácticamente cualquier libro de texto de navegación inercial , describiría un sensor de velocidad angular que mide ${\omega}_{ib}^{b}$ - es decir, la tasa angular del cuerpo con respecto al marco de inercia, resuelta en los ejes del marco del cuerpo.

Se puede obtener una matriz de rotación SO(3) a partir de dichas mediciones de giroscopio utilizando la conocida ecuación diferencial:

$\mathbf{\dot{R} }_b^i = \mathbf{R}_b^i [{\omega}_{ib}^{b}]_\times$

dónde $\mathbf{R}_b^i$ es la rotación del marco del cuerpo al marco inercial y $[{\omega}_{ib}^{b}]_\times$ es una matriz simétrica sesgada construida a partir de las medidas del giroscopio. La ecuación diferencial tiene una solución bien conocida para la velocidad angular constante durante un intervalo de muestreo:

$\mathbf{R}_{b(k+1)}^i = \mathbf{R}_{b(k)}^i \operatorname{expm}(\Delta t [{\omega}_{ib}^{b}]_\times)$

Usando una notación similar, ¿cuál sería la cantidad que mide un acelerómetro angular (por ejemplo, un dispositivo de ejemplo )? ¿Cómo se relacionan tales medidas con las medidas de velocidad angular? ¿Cómo se resolvería esta (presumiblemente) ecuación diferencial para obtener una tasa angular y una matriz de rotación?

Tenga en cuenta que esto no pretende ser una discusión sobre la practicidad de tal solución: los problemas son bien conocidos (por ejemplo, consulte la página 38 de Lawrence ).

(Nota para los moderadores: la aceleración angular sería una etiqueta ideal para la pregunta, pero desafortunadamente no existe tal etiqueta)

Selene Routley

Presumiblemente por su última oración, esta no es una pregunta de tecnología. ¿No puedes hacer que el fabricante responda esto? Si la salida del sensor es

\dot{ω}

$\dot{\omega}$ , entonces simplemente integrará esto con las medidas apropiadas de minimización de ruido y el valor inicial para

ω

$\omega$ Llegar

ω (t)

$\omega(t)$ . Luego, usará el producto discretizado de exponenciales que cita o el Teorema 1.5 de Rossmann para integrar

ω (t)

$\omega(t)$ a

α (t)

$\alpha(t)$ , donde la rotación es

\exp (α (t))

$\exp(\alpha(t))$ como se describe en mi respuesta aquí: physics.stackexchange.com/a/288904/26076

Respuestas (1)

¿Qué mide exactamente un acelerómetro angular y cómo se puede obtener una Rotación SO(3) a partir de dichas medidas?

Presumiblemente por su última oración, esta no es una pregunta de tecnología. ¿No puedes hacer que el fabricante responda esto? Si la salida del sensor es $\dot{\omega}$ , entonces simplemente integrará esto con las medidas apropiadas de minimización de ruido y el valor inicial para $\omega$ Llegar $\omega(t)$ . Luego, usará el producto discretizado de exponenciales que cita o el Teorema 1.5 de Rossmann para integrar $\omega(t)$ a $\alpha(t)$ , donde la rotación es $\exp(\alpha(t))$ como se describe en mi respuesta aquí: physics.stackexchange.com/a/288904/26076

Selene Routley · Answer 1

¿Qué es la detección del sensor?

Después de pensarlo un poco, aquí hay una suposición de lo que está sucediendo.

La forma más obvia de medir la aceleración angular es, de manera análoga, con la aceleración lineal de muchos acelerómetros, a través de las tensiones que induce un cambio de estado de movimiento en una masa / inercia de prueba, y es una buena apuesta que al menos algunos acelerómetros angulares funcionen. Por aquí.

Sin embargo, las tensiones no siempre son proporcionales a la aceleración angular, en contraste con un acelerómetro lineal, en el que las tensiones de la masa de prueba son directamente proporcionales a la aceleración lineal. Sin embargo, podemos, con la simetría correcta del sensor, disponer la aceleración angular para que sea proporcional a la tensión.

He esbozado la noción de tal dispositivo arriba. La inercia de prueba es un buje pesado que está encamisado en un eje, y el cambio en el estado de movimiento del buje requiere que se transmita un par desde el eje interior. Podría construir un sensor sensible al componente de par a lo largo del eje del eje, por ejemplo , mediante sensores de tensión en las caras de una chaveta/chavetero que impida el movimiento relativo entre el buje y el eje.

Debido a que el eje del componente está cambiando, debemos tener en cuenta el marco de referencia giratorio mediante, por ejemplo, las ecuaciones de Euler. Organizaríamos el eje en el boceto anterior para que esté a lo largo de uno de los ejes principales de inercia del buje (como de hecho está en el boceto). Con $I$ el tensor de inercia, el par neto sobre el buje es:

\begin{matrix} (1) & τ = I \dot{ω} + ω \times (I ω) \end{matrix}

$\tau = I\,\dot{\omega} + \omega\times (I\,\omega)\tag{1}$

de modo que el componente de torque a lo largo del eje sensado es:

\begin{matrix} (2) & τ_{z} = I_{z z} \dot{ω_{z}} + (I_{y y} - I_{X X}) ω_{X} ω_{z} \end{matrix}

$\tau_z = I_{zz}\,\dot{\omega_z} + (I_{yy}-I_{xx})\,\omega_x\,\omega_z\tag{2}$

que es la razón de mi comentario de que las tensiones no siempre son proporcionales a la aceleración angular. Sin embargo, si colocamos el buje de prueba para que sea rotacionalmente simétrico con respecto al eje sensible (como en el esquema), entonces $I_{yy}=I_{xx}$ y así (2) se convierte en la ecuación conveniente:

τ_{z} = I_{z z} \dot{ω_{z}}

$\tau_z = I_{zz}\,\dot{\omega_z}$

de modo que la salida del sensor es de hecho proporcional al componente de la tasa de cambio de $\omega$ en la dirección detectada.

Pero, por supuesto, el eje detectado está cambiando de dirección, por lo que debemos transformar lo anterior en coordenadas no inerciales antes de la integración en la matriz de rotación.

Integración a Matriz de Rotación

Continuará (cuando haya resuelto mi confusión en las transformaciones de cuadros relevantes)

¿Qué mide exactamente un acelerómetro angular y cómo se puede obtener una Rotación SO(3) a partir de dichas medidas?

Damián

Selene Routley

Respuestas (1)

Selene Routley

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