¿Es esto una paradoja cinemática?

Me parece que lo que ves es lo que obtienes aquí: esa disposición de engranajes se bloquearía y los ejes no girarían.

En general, si un engranaje grande impulsa un engranaje pequeño, el engranaje más pequeño girará más rápido y viceversa. Si intenta hacer ambas cosas a la vez, su esfuerzo simplemente se centrará en aplicar torsión al eje secundario, que intentará girar a dos velocidades diferentes en las ubicaciones del primer y segundo engranaje.

No es una paradoja en absoluto: simplemente significa que esta configuración de engranajes no girará.

De hecho, hay una "paradoja" relacionada que es extremadamente común en la vida real. Simplemente reemplace su pieza naranja con el suelo e incline un poco la pieza azul, y tendrá un diagrama tosco de un automóvil girando. El mismo razonamiento que diste aparentemente probaría que los automóviles no pueden girar sin que una de las ruedas se deslice en el suelo.

Esta lógica es perfectamente correcta si los ejes del automóvil son objetos rígidos, razón por la cual los autos de juguete no pueden girar. Por supuesto, los autos reales pueden girar, porque el eje se rompe con un diferencial , lo que permite que las ruedas giren a diferentes velocidades angulares.

Este sistema parece contrario a la intuición al principio, pero se puede explicar muy bien una vez que analizamos los pares que actúan en cada uno de los engranajes. Por conveniencia, de ahora en adelante, me referiré al engranaje azul de la izquierda como$A$, engranaje azul a la derecha como$B$, engranaje naranja a la izquierda como$C$y el engranaje naranja a la derecha como$D$.

Ahora imagina rotar el eje naranja y, por un momento, olvidemos el eje azul. A medida que gira el eje naranja, verá que un punto en$C$El límite de 's gira a una velocidad$\omega R$, y un punto en$D$El límite de 's gira a una velocidad$2\omega R$. El movimiento también es similar para el eje azul (en ausencia del eje naranja). Ahora, cuando los ponemos juntos, el escenario cambia inesperadamente.

Digamos que estamos aplicando un par para girar el eje 2 y el eje 1 en ese momento no tiene ningún par externo actuando sobre él. Una vez que el eje 1 comienza a moverse, hay dos escenarios posibles (antes de que los explique, debe saber que no importa con qué precisión diseñe estos engranajes, siempre habrá algún desplazamiento entre ambos pares de engranajes en contacto ($AC$y$BD$), por lo que un par entrará en contacto antes que el otro):

• $D$toca$B$antes$C$toca$A$: En este caso, dado que inicialmente sólo$D$y$B$están tocando, por lo tanto$B$la superficie adquiere una velocidad igual a$D$la superficie de , y la velocidad angular inicial del eje 1 se convierte en$2\omega$(aquí$D$necesita empujar$B$hacia abajo para que se mueva). Sin embargo, poco después del comienzo,$C$también empieza a tocar$A$, pero desde$A$La velocidad de antes de moverse habría sido$4\omega R$, y$C$habría sido$\omega R$, por lo que no podrían moverse juntos después de tocarse (aquí$C$se detiene$A$de moverse empujando$A$arriba ). Así que finalmente tendríamos$D$aplicando una fuerza hacia abajo sobre$B$, y$A$aplicando una fuerza hacia abajo sobre$C$. Entonces, el par neto en el eje 1 debido al eje 2 está en la dirección norte (consulte aquí para obtener más información sobre cómo determinar la dirección del par). Este par está equilibrado por el par proporcionado por la bisagra a la que se une el eje 2.

• $C$toca$A$antes$D$toca$B$: Este escenario es extremadamente similar, así que te dejo que lo analices tú mismo. Después del análisis, podemos ver que el par en el eje 1 debido al eje 2 está en la dirección sur y, nuevamente, este par se equilibra con el par proporcionado por la bisagra a la que está unido el eje 2.

¿Qué pasaría si aplico una gran fuerza para girar el eje 2? ¿Seguiría sin moverse la asamblea?

Bueno, si estamos tratando con objetos reales, entonces, con una cierta intensidad del par/fuerza que aplica, el par resultante en el eje 1 superará la cantidad máxima de par que puede proporcionar la bisagra y, finalmente, la bisagra se romperá. y el eje 1 se desplazaría de su ubicación. En situaciones ideales irrompibles , el sistema permanecerá estático sin importar lo que haga.

Al examinar los engranajes de la izquierda, podemos ver que por cada revolución de 1, 2 debe realizar dos revoluciones. Al examinar los engranajes de la derecha, podemos ver que por cada revolución de 1, 2 deben realizar media revolución. Esto no es posible, por lo que los engranajes no girarán.