En el movimiento circular uniforme, ¿por qué la aceleración normal no aumenta la magnitud de la velocidad?

Question

En el movimiento circular uniforme, ¿por qué la aceleración normal no aumenta la magnitud de la velocidad?

Física
cinemática
mecanica clasica
cinemática-rotacional

shivams

Esta pregunta muy simple fue planteada por un estudiante de secundaria en la clase.

Considere una partícula que se mueve en un movimiento circular uniforme ( uniforme implica que la velocidad es constante). Sabemos que hay una aceleración centrípeta en cada punto del movimiento, que cambia la dirección de la velocidad.

Ahora, considere un período de tiempo infinitesimal dt para este movimiento en algún instante dado. Digamos que la velocidad inicial es $v_1\vec{i}$ en dirección X. Entonces, la aceleración sumará una componente $a.dt\vec{j}$ a esta velocidad. Sumar estas 2 cantidades debería darnos nuestra velocidad final $\vec{v_2}$ . Vea este diagrama:

Ahora, es claro de este razonamiento que $|\vec{v_2}| > v_1$ . ¡Entonces, la magnitud de la velocidad debería aumentar!

Ahora, sé que esto está MAL. Simplemente no sé dónde está la falla. Claramente, hay alguna falla en el modelo matemático hecho aquí.

Estoy pensando que debe haber alguna falla en el modelo de causalidad. La aceleración no está CAUSANDO el cambio de velocidad. Es un EFECTO del cambio de velocidad. Esa es probablemente una respuesta. Pero me gustaría que arrojaras más luz sobre este enigma. ¿Cómo se debe explicar esto a un chico de secundaria?

Steven

d t

$dt$ es insignificantemente pequeño. Y también lo es esta diferencia de velocidad. Simplemente desaparece si te encoges.

d t

$dt$ volverse muy, muy pequeño.

Selene Routley

O, para decir el comentario de @Steeven de una manera diferente.

v_{2}

$v_2$ es mas grande que

v_{1}

$v_1$ . Pero la cantidad por la que es más grande varía como

δ t^{2}

$\delta t^2$ , de modo que cuando divides la diferencia por

δ t

$\delta t$ , el cambio de velocidad promedio varía como

δ t

$\delta t$ . Entonces se desvanece en el límite. ¿Cómo explicarle esto a un estudiante de secundaria? Igual que arriba. Es muy extraño al principio, así que anímelos a observar detenidamente la definición del límite, no solo a dejarse llevar por la intuición esquemática. El comentario a hacer es que así es como funciona cuando definimos la derivada como lo hacemos - es algo a lo que uno necesita acostumbrarse...

Selene Routley

... en el desarrollo de una intuición para el cálculo diferencial. +1 para una pregunta que a menudo surge de los adolescentes que aprenden cálculo: todos los maestros deben estar preparados para esta y tener su propia comprensión ordenada.

Pirx

Una alternativa para explicar el cálculo correctamente sería simplemente representar el vector de velocidad en un sistema de coordenadas polares, en cuyo caso el resultado se vuelve obvio sin cálculo.

Respuestas (2)

En el movimiento circular uniforme, ¿por qué la aceleración normal no aumenta la magnitud de la velocidad?

$dt$ es insignificantemente pequeño. Y también lo es esta diferencia de velocidad. Simplemente desaparece si te encoges. $dt$ volverse muy, muy pequeño.
O, para decir el comentario de @Steeven de una manera diferente. $v_2$ es mas grande que $v_1$ . Pero la cantidad por la que es más grande varía como $\delta t^2$ , de modo que cuando divides la diferencia por $\delta t$ , el cambio de velocidad promedio varía como $\delta t$ . Entonces se desvanece en el límite. ¿Cómo explicarle esto a un estudiante de secundaria? Igual que arriba. Es muy extraño al principio, así que anímelos a observar detenidamente la definición del límite, no solo a dejarse llevar por la intuición esquemática. El comentario a hacer es que así es como funciona cuando definimos la derivada como lo hacemos - es algo a lo que uno necesita acostumbrarse...
... en el desarrollo de una intuición para el cálculo diferencial. +1 para una pregunta que a menudo surge de los adolescentes que aprenden cálculo: todos los maestros deben estar preparados para esta y tener su propia comprensión ordenada.
Una alternativa para explicar el cálculo correctamente sería simplemente representar el vector de velocidad en un sistema de coordenadas polares, en cuyo caso el resultado se vuelve obvio sin cálculo.

usuario1583209 · Answer 1

Tiempo después $dt$ , la partícula se habrá movido una distancia $v_1 dt$ por lo que los dos vectores de velocidad no deben comenzar en el mismo punto. Si haces un dibujo adecuado y tomas el límite $dt\to 0$ , como deberías, si estás hablando de un tiempo infinitesimal, ves que $v_2 \to v_1$

En tu boceto (Pitágoras):

v_{2} = v_{1} \sqrt{1 + {(\frac{a d t}{v_{1}})}^{2}} = v_{1} (1 + . . . d t^{2} + . . . d t^{4} + . . .)

$v_2=v_1\sqrt{1+\left(\frac{adt}{v_1} \right)^2}=v_1\left(1+... dt^2+...dt^4+...\right)$ es cuadrático en

d t

$dt$ . Si tuviera la aceleración en la dirección de la velocidad, obtendría la corrección lineal en

d t

$dt$ . Por eso en el límite

d t \to 0

$dt\to 0$ ,

\frac{d v}{d t} = \frac{v_{2} - v_{1}}{d t}

$\frac{dv}{dt}=\frac{v_2-v_1}{dt}$ desaparece para su caso, pero no desaparece para la aceleración paralela a la velocidad.

desafortunadamente, esta afirmación seguiría siendo la misma incluso si la aceleración y la velocidad no son perpendiculares. Pero la magnitud de la velocidad cambia en este caso.

Lesnik · Answer 2

El problema aquí es que tomas un tiempo pequeño pero aún no cero y piensas que la aceleración es constante durante este tiempo. Esto no es verdad. Así que lo que obtienes es una aproximación. Debido a que esta es una aproximación, no obtiene la respuesta correcta "la magnitud de la velocidad permanece constante". Obtiene una respuesta aproximada "la magnitud de la velocidad aumenta ligeramente".

Lo que debes hacer es estimar cuánto aumenta la velocidad según tus cálculos aproximados. Luego, debe aumentar la precisión de su aproximación: digamos que divida el período de tiempo por 1000, tendría 1000 pasos ahora, y debe tener en cuenta que durante cada paso la aceleración es diferente. Verás, cuanto más cortos sean tus pasos, más cerca estará tu respuesta aproximada de la correcta. La diferencia de velocidad estaría cada vez más cerca de 0.

En el movimiento circular uniforme, ¿por qué la aceleración normal no aumenta la magnitud de la velocidad?

shivams

Steven

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Lesnik

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