¿Qué me dice la relación de conmutación canónica (CCR) sobre la superposición entre las bases de posición y momento?

I) Aquí trabajaremos en la figura de Heisenberg con operadores autoadjuntos dependientes del tiempo$\hat{Q}(t)$y$\hat{P}(t)$que satisfacen la relación canónica de conmutación de tiempo igual

$$[\hat{Q}(t),\hat{P}(t)]~=~ i\hbar~{\bf 1}, \tag{1}$$

y dos conjuntos completos de estados propios instantáneos$^1$ $\mid q,t \rangle$y$\mid p,t \rangle$, que satisfacen

$$\begin{align} \hat{Q}(t)\mid q,t \rangle ~=~&q\mid q,t \rangle, \cr \hat{P}(t)\mid p,t \rangle ~=~&p\mid p,t \rangle ,\end{align}\tag{2}$$

$$\begin{align}\langle q,t \mid q^{\prime},t \rangle~=~&\delta(q-q^{\prime}), \cr \langle p,t \mid p^{\prime},t \rangle~=~&\delta(p-p^{\prime}),\end{align}\tag{3}$$

$$\begin{align}\int_{\mathbb{R}} \!dq~ \mid q,t \rangle\langle q,t \mid~=~&{\bf 1}, \cr \int_{\mathbb{R}} \!dp~ \mid p,t \rangle\langle p,t \mid~=~&{\bf 1},\end{align} \tag{4}$$

II) Nos gustaría dar un argumento$^2$que la superposición buscada es de la forma

$$\langle p,t \mid q,t \rangle~=~\frac{f(q,t)g(p,t)}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{pq}{i\hbar}\right), \tag{5}$$ dónde$f$y$g$son dos factores de fase$|f|=|g|=1$.

En otras palabras, podemos definir nuevos estados propios instantáneos

$$\begin{align} \mid q,t )~:=~&\frac{1}{f(q,t)} \mid q,t \rangle \cr\text{and}& \cr \mid p,t )~:=~&g(p,t) \mid p,t \rangle , \end{align}\tag{6}$$

tal que la superposición toma una forma estándar

$$( p,t \mid q,t )~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{pq}{i\hbar}\right). \tag{7}$$

Las raíces cuadradas en las ecs. (5) y (7) se deben a factores de normalización estándar en el análisis de Fourier.

III) Prueba esbozada: Como todo aquí se referirá al mismo instante$t$, no escribamos$t$explícitamente a partir de ahora. Defina por conveniencia un operador anti-autoadjunto

$$\hat{D}~:=~\frac{\hat{P}}{i\hbar}, \tag{8}$$

por lo que la ec. (1) se convierte

$$[\hat{Q},\hat{D}]~=~ {\bf 1} , \tag{9}$$

o

$$[\hat{Q},e^{a\hat{D}}]~=~ae^{a\hat{D}} , \tag{10}$$

dónde$a$es un número real. De (10) se sigue que el estado$e^{a\hat{D}}\mid q \rangle$debe ser proporcional a$\mid q+a \rangle$, es decir, existe una función$f(q,q+a)$de dos argumentos tales que

$$e^{a\hat{D}}\mid q \rangle ~=~f(q,q+a)\mid q+a \rangle.\tag{11}$$

Ya que$e^{a\hat{D}}$es un operador unitario, la función$f(q,q+a)$debe ser un factor de fase$|f(q,q+a)|=1$. O uno puede usar eso

$$\begin{align}\delta(q-q^{\prime})~\stackrel{(3)}{=}~& \langle q \mid e^{-a\hat{D}}e^{a\hat{D}}\mid q^{\prime} \rangle \cr ~\stackrel{(11)}{=}~&\overline{f(q,q+a)}f(q^{\prime},q^{\prime}+a) \langle q+a \mid q^{\prime}+a \rangle \cr ~\stackrel{(3)}{=}~& |f(q,q+a)|^2\delta(q-q^{\prime}). \end{align}\tag{12}$$

del hecho de que

$$e^{a\hat{D}} e^{b\hat{D}}~=~ e^{(a+b)\hat{D}},\tag{13}$$

deducimos del uso repetido de la ec. (11) que

$$f(q,q+b)f(q+b,q+a+b)~=~f(q,q+a+b). \tag{14}$$

Ajuste$q=0$en la ec. (14) rendimientos

$$\begin{align} f(b,a+b)~=~&\frac{f(0,a+b)}{f(0,b)} \cr \Updownarrow~& \cr f(q,q+a)~=~&\frac{f(0,q+a)}{f(0,q)}. \end{align}\tag{15}$$

Por lo tanto, definamos

$$\mid q ) ~:=~f(0,q) \mid q \rangle , \tag{16}$$

por lo que la ec. (11) se convierte

$$e^{a\hat{D}}\mid q ) ~\stackrel{(11,15,16)}{=}~\mid q+a ).\tag{17}$$

En otras palabras, podemos identificar$^3$el operador$\hat{D}$con el operador de diferenciación$\frac{\partial}{\partial q}$.

$$\begin{align} \exp\left(\frac{ap}{i\hbar}\right)\langle p \mid q) ~\stackrel{(8)}{=}~& \langle p \mid e^{a\hat{D}}\mid q )\cr ~\stackrel{(17)}{=}~& \langle p \mid q+a ),\end{align}\tag{18}$$

o en el limite$a\to 0$,

$$\begin{align} \frac{p}{i\hbar}\langle p \mid q) ~=~& \langle p \mid \hat{D}\mid q )\cr ~=~& \langle p \mid \frac{\partial}{\partial q} \mid q )\cr ~=~&\frac{\partial}{\partial q} \langle p \mid q ).\end{align}\tag{19}$$

De la ODE (19) en$q$, deducimos que

$$\langle p \mid q) ~=~g(p)\exp\left(\frac{pq}{i\hbar}\right), \tag{20}$$

dónde$g(p)$es una constante de integración que puede depender del parámetro$p$. No es dificil ver eso

$$|g(p)|~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}.\tag{21}$$

Utilice, por ejemplo, que

$$\begin{align} \delta(p-p^{\prime})~\stackrel{(3,4)}{=}~& \int_{\mathbb{R}} \!dq~ \langle p \mid q)(q \mid p^{\prime} \rangle\cr ~\stackrel{(20)}{=}~&\overline{g(p)}g(p^{\prime}) \int_{\mathbb{R}} \!dq~\exp\left(\frac{(p-p^{\prime})q}{i\hbar}\right)\cr ~=~~&2\pi\hbar|g(p)|^2\delta(p-p^{\prime}). \end{align}\tag{22}$$

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$^1$Los estados propios instantáneos se introducen a menudo en los libros de texto de mecánica cuántica para derivar el formalismo de la integral de trayectoria del formalismo del operador en los casos más simples, véase, por ejemplo, JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Sección 2.5. Tenga en cuenta que los autoestados instantáneos$\mid q,t \rangle$y$\mid p,t \rangle$son estados independientes del tiempo (como deberían ser en la imagen de Heisenberg).

$^2$Aquí solo trabajaremos en el nivel físico de rigor, ignorando varias sutilezas matemáticas relacionadas con operadores ilimitados . También ignoramos cualquier aspecto topológico del espacio de fase canónico, como, por ejemplo, si la posición$q$sería una variable periódica.

$^3$Tenga en cuenta que el$q$-representación del operador de cantidad de movimiento$\hat{P}=i\hbar\frac{\partial}{\partial q}$en kets tiene el signo opuesto al que tiene en bras y funciones de onda, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

Esas cosas seguramente no son suficientes para encontrar el producto interno.$\langle q|p\rangle$únicamente Por ejemplo, a partir de lo convencional$Q,P$, puede redefinirlos mediante una transformación canónica, por ejemplo, mediante

$$Q\to Q'=Q, \quad P\to P'= P + Q^3$$ Después $P', Q'$obedecer las cuatro condiciones de la misma manera que $P,Q$. También tienen estados propios y $|p'\rangle$Los estados son algo más que $|p\rangle$. De hecho, los estados propios con un valor propio grande $P'$están cerca de $Q$estados propios porque $Q^3$domina fácilmente. El producto interior, que no es más que la función de onda de la $P'$autoestado escrito en el $Q$representación- terminará siendo diferente. Será una solución complicada de la ecuación para $\psi$diciendo que es un $P+Q^3$estado propio.

Las condiciones que escribiste solo pueden decirte que

$$\langle q | PQ | p \rangle = \langle q | QP | p \rangle - i\hbar \langle q | p \rangle = (qp - i\hbar )\langle q | p \rangle$$ así que solo son suficientes para decir cómo $Q$actúa sobre el $p$estados propios y viceversa, en esta combinación. Pero el producto interno en sí mismo no está relacionado consigo mismo en ningún sentido, por lo que no se puede determinar.

Permítanme mencionar que incluso si impusieran condiciones adicionales, eso diría que$P$y$Q$son físicamente lo que deberían ser, por ejemplo, que escalan correctamente bajo la escala de$Q,P$– el producto interno aún estaría indeterminado porque al menos la fase del$|p\rangle$y$|q\rangle$estados propios es arbitrario. De hecho, incluso la parte del "valor absoluto de la" normalización es una cuestión de convenciones que podría modificarse.

De manera más general, y diría que este punto a menudo se pasa por alto, muchas propiedades de las "funciones de onda" similares a sus productos internos son cantidades intermedias, dependientes de convenciones y representaciones que no tienen un impacto físico directo (es decir, un vínculo directo con cantidades observables). Son realmente las propiedades de los observables, como las cuatro condiciones que describiste, las que pueden considerarse hechos objetivos.