Soy un estudiante de primer año. Tengo mi vista en la física matemática. Me encantan las matemáticas pero no tengo el talento ni la inclinación por las matemáticas puramente abstractas. También amo la física.
La única matemática para la física que conozco es el cálculo del libro de cocina 1. (Tengo un profundo interés en las matemáticas, he terminado una introducción al libro de pruebas, algo de teoría introductoria de conjuntos, cardinalidad de conjuntos infinitos. En este momento estoy trabajando en lógica matemática .)
Tengo esta compulsión de probar cada resultado y entender por qué algo matemático se define así. Como tal, soy muy lento en aprender métodos matemáticos. El cálculo del libro de cocina apesta. Pero de donde vengo ahora se nos permite tomar clases de matemáticas. Me preocupa que si no estudio la versión matemática pura del cálculo, podría perder algún resultado importante o la comprensión que podría ser realmente útil.
El estudio de las matemáticas realmente lleva tiempo. Quiero ser lo más eficiente posible.
Mi pregunta es, ¿cómo debo aprender las matemáticas detrás de los métodos matemáticos? ¿Qué matemáticas debo aprender para la física matemática? ¿Aprender las matemáticas es realmente tan importante?
Si es posible, recomiende algunos buenos libros.
Salte al último párrafo para la línea de fondo, de lo contrario siga leyendo:
Primero debe tomar más de la secuencia matemática central para aprender el cálculo vectorial, y en cada oportunidad que tenga, debe tratar de profundizar su intuición (qué significa físicamente cuando evalúa la divergencia de un campo vectorial, etc.). Entonces es probable que desee tomar clases (a menudo requeridas) en álgebra lineal, métodos de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y las aplicaciones de análisis de Fourier a casi cualquier cosa que pueda encontrar (incluida su aplicación a las soluciones de diferencial ecuaciones). No importa qué tipo de física haga, conocer esos temas fríos será crucial. También es útil familiarizarse con conjuntos especiales de funciones ortonormales que surgen a menudo en soluciones de ecuaciones diferenciales (Legendre, Bessel, Hermite, etc.).
En general, le recomiendo que domine las matemáticas mencionadas hasta ahora en el contexto de las aplicaciones de física, antes de sumergirse en el ámbito más abstracto si le interesa, al menos, así es como aprendo mejor, al ver primero las aplicaciones concretas antes de abstraer. La mayoría de los libros con títulos en la línea de "métodos matemáticos en física" son buenos para este propósito, solo siga algunas recomendaciones y luego elija su favorito según su propia experiencia. Secundaré la recomendación de Boas en el comentario de Alexander.
En este punto, probablemente tendrá una base suficiente en métodos matemáticos para trabajar en muchas áreas de la física, pero aún así sería una buena inversión aprender algo de álgebra abstracta y teoría de grupos en particular, idealmente con énfasis en los grupos de Lie. Esto es crucial para obtener una comprensión más profunda de la mecánica cuántica, y será útil independientemente de si realiza experimentos o teorías en física de partículas, materia condensada / estado sólido o física / óptica atómica. Una vez más, te recomiendo que primero busques clases en la línea de "teoría de grupos para físicos", aunque si realmente te gusta, probablemente también podrías beneficiarte de una clase adicional desde la perspectiva matemática pura. Las ideas elementales en lo que se conoce como teoría de la representación surgen con frecuencia aquí y es bueno estar al tanto de las conexiones.
A continuación, si está pensando en trabajar en física de partículas o gravedad, puede considerar una clase de geometría diferencial (o mejor aún, tomar Relatividad general, ya que las primeras semanas de una clase GR son típicamente un curso acelerado en geometría diferencial ) Probablemente ya haya aprendido algunas partes de este tema (es decir, qué es una variedad, de su cálculo vectorial o si ha aprendido sobre los grupos de Lie), pero un curso en dif. La geometría puede ayudar a unir las cosas y enseñarle nuevos conceptos.
Para ese momento, tendrá una mejor idea de qué es lo que desea investigar y podrá planificar futuras clases de matemáticas (o la falta de ellas) en consecuencia. Las opciones populares son temas más especializados en teoría de la representación, topología y topología algebraica. Y estoy seguro de que otras personas podrían intervenir con sus asignaturas optativas de matemáticas favoritas.
En pocas palabras: más allá de las clases básicas de cálculo y el álgebra lineal, recomendaría tomar clases de métodos matemáticos del departamento de física primero antes de asignar demasiado tiempo para estudiar por su cuenta y, en general, su conocimiento de cómo las matemáticas "realmente funcionan" solo crecerá con la experiencia. Si su departamento no ofrece una clase de métodos matemáticos, asegúrese de tener acceso a un libro de texto de métodos matemáticos para consultar a medida que surjan cosas nuevas. Para aprender temas más avanzados (teoría de grupos, teoría de la representación, otras partes del álgebra abstracta, geometría diferencial, topología y topología algebraica), busque nuevamente las clases antes de ir solo, pero ahora algunas de ellas podrían estar de vuelta en el departamento de matemáticas. Una última cosa a tener en cuenta: probablemente también querrá desarrollar habilidades de programación de computadoras.
Si realmente desea comprender la física en el nivel fundamental, comience con Teoría y topología de grupo. De hecho, diré que no hay otra forma de hacer esto. Esta es mi opinión (¡traiga los votos negativos!) Y me apego a ella. :)
En cuanto a los libros para comenzar: (barato y bueno)
También es posible que desee echar un vistazo a "Métodos matemáticos para la física y la ingeniería" de Riley, Hobson y Bence (ISBN 978-0521679732). Se puede usar como referencia; e incluye un manual de solución para estudiantes que se compra por separado.
Digo mirarlo antes de comprarlo / usarlo. Y no use ningún libro solo; tomar clases es invaluable, porque a veces puedes leer un capítulo / párrafo una y otra vez y confundirte y, por lo tanto, hacer que alguien más supere un obstáculo puede ser muy útil.
Alejandro
Ron
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Qmechanic ♦