¿Qué implica físicamente la invariancia o no invariancia de escala del electromagnetismo?

La invariancia de escala de una teoría significa que si notamos un fenómeno en una escala (como una onda electromagnética con una longitud de onda de 400 nm), podemos esperar que fenómenos similares sean posibles en cualquier otra escala: 400 m, 400 km, etc. El campo magnético de un imán pequeño tiene exactamente la misma forma que el campo magnético de un imán más grande de la misma forma, pero reescalado. Solo debe recordarse que todas las cualidades relevantes se reescalan apropiadamente. EM se vuelve a escalar bajo la transformación$x \mapsto b x$,$t\mapsto b t$, lo que significa que cuando cambia la escala de las dimensiones espaciales, también debe cambiar la escala del tiempo de forma adecuada. Eso significa que si consideras una onda que es$b$veces más corta en el espacio, también tendrá$b$veces periodos más cortos de oscilaciones en el tiempo, etc. De esta forma no sólo sabrás de la existencia de ondas de otra longitud, sino que también podrás predecir sus propiedades.

La falta de invariancia de escala significa que la observación de un fenómeno no garantiza la existencia de fenómenos similares en otras escalas. Por ejemplo, todos los átomos tienen un tamaño similar (que se puede calcular a partir de la masa y la carga del electrón, y no hay átomos grandes de un metro o un kilómetro. Otro fenómeno está relacionado con la aniquilación de electrones con antielectrones: los fotones creados en el proceso tiene energías (y longitudes de onda) fijas. También hay efectos más sutiles, por ejemplo, a través de la creación de pares virtuales electrón-antielectrón, los fotones pueden interactuar entre sí, y la fuerza de esta interacción depende de su energía/ longitud de onda.

Que una teoría sea invariante en escala significa aproximadamente que no hay una escala de longitud única, que la teoría actúa de la misma manera en todas las escalas de longitud.

Tomemos por ejemplo el electromagnetismo clásico. Uno de los comportamientos bien conocidos es la existencia de soluciones de ondas planas en las que el campo eléctrico es de la forma

$$E(t,x) \sim E_0\mathrm{Re}~e^{i(kx -\omega t)}$$ y hay un campo magnético asociado. El número de onda $k$está relacionado con la longitud de onda$\lambda$de la onda vía $$k = \frac{2\pi}{\lambda}.$$ La longitud de onda es una longitud de onda característica de este tipo de fenómenos. Pero en la EM clásica, hay soluciones de ondas planas para todos los valores de$\lambda$. Todas las ondas planas actúan de la misma manera, independientemente de cuán larga o corta sea su longitud de onda. En este sentido, la EM clásica es invariante de escala.

Ahora en QED, las cosas son diferentes. La energía$\epsilon$de un fotón está relacionado con su longitud de onda a través de:

$$\epsilon = \hbar\omega = h f = \frac{hc}{\lambda}.$$ Si la longitud de onda es lo suficientemente corta como para que $$\epsilon>2m_ec^2,$$ dónde$m_e$denota la masa del electrón, este fotón tiene suficiente energía para crear un par de electrones y positrones. Si choca con otro fotón con energía arbitrariamente baja, existe la posibilidad de que un electrón y un positrón salgan de la colisión. Entonces, en QED, los fotones de diferentes longitudes de onda hacen cosas diferentes. En este sentido, la teoría no es invariante en escala.