Campo eléctrico en un campo magnético variable en el tiempo uniforme

La razón principal por la que este argumento está dando resultados contrarios a la intuición es, como sugieren los comentarios, las condiciones de contorno. En términos generales, considerar que los dominios son infinitos en el estudio de ecuaciones diferenciales da lugar a funciones de "mal comportamiento": discontinuidades, deltas de Dirac y otros objetos no diferenciables se obtienen fácilmente al diferenciar funciones que viven en dominios infinitos. (Un ejemplo clásico es$\nabla^2 \frac{1}{r} = -4\pi \delta^3(\vec{r})$).

Esencialmente, el problema es que la solución de una ecuación diferencial no es realmente una función . En general, no tienen la propiedad de que pueda evaluarlos en un punto, por lo que tratar de pensar en cuál es el valor de las soluciones siempre dará resultados confusos. En este caso, para resolver tu problema, queremos un campo eléctrico tal que$\nabla \times E = -f'(t)\hat{z}$, o mejor

En primer lugar, tenga en cuenta que la solución para$E$no es único - agregando cualquier campo irrotacional$\vec{F}$al campo eléctrico globalmente no cambia esta ecuación. Una solución es$\vec{E}^{(1)} = \hat{x}yf'(t)$- no hay nada de malo en eso, pero recuerda que$\vec{E}^{(2)} = -\hat{y}xf'(t)$. es igual de bueno.

Esto es un pequeño problema, ya que los campos eléctricos se pueden medir directamente, por ejemplo, con una carga de prueba. Para decidir cuál de este conjunto infinito de soluciones es físico, debe especificar una condición de contorno en el campo eléctrico.

Sin embargo, aún puede obtener resultados físicos sin especificar las condiciones de contorno. Mire la forma integral de las ecuaciones de Maxwell, donde todas las divergencias escalares y deltas de Dirac se han integrado implícitamente.

Dónde$A_\perp$define el área de la sección transversal de la superficie$S$eso es 'enfrentarse' al$z$eje.

Entonces tenemos un resultado claro: la señal de CA que captará un bucle de alambre es una medida directa de la derivada del tiempo de$f$, amplificado por el área$A_\perp$. Esta es la física relevante.

Ninguno de estos problemas surge si mantiene su sistema de cargas y corrientes finito, de modo que las soluciones que obtenga estén bien definidas y tengan sentido físico.

Debido a la simetría traslacional, se podría argumentar que si$\vec{E}$es distinto de cero en un punto, debe ser distinto de cero en todas partes.

No podemos, porque no sabemos nada sobre la simetría de traslación del campo eléctrico en este sistema. El sistema no se especifica con suficiente detalle. Por ejemplo, no sabemos dónde están los cargos.

Solo conocemos el campo magnético en detalle. Sin embargo, a partir de las ecuaciones de Maxwell podemos inferir algunas restricciones sobre el campo eléctrico. Para el rotacional del campo eléctrico, tenemos

ya que el campo magnético es uniforme.

Entonces, el campo eléctrico es constante en el tiempo y sabemos que su rotacional no es cero. Pero de esto no podemos derivar$\mathbf E$únicamente Hay infinidad de campos eléctricos válidos que obedecen a estas condiciones y estos campos no tienen necesariamente la simetría de traslación mencionada.

¿Es que un campo magnético variable en el tiempo perfectamente uniforme es inconsistente con las ecuaciones de Maxwell? ¿O tiene algo que ver con que la invariancia de Lorentz/Poicarré sea la simetría adecuada del sistema?

No y no.

Mi primer pensamiento fue que el campo no puede ser uniforme y dependiente del tiempo al mismo tiempo porque lleva tiempo que el cambio en el campo se propague...

Matemáticamente, el campo magnético puede ser tanto uniforme como dependiente del tiempo. En realidad, no conocemos tal sistema y no esperamos encontrar uno nunca; todos los sistemas de campo magnético tienen un campo que varía en el espacio y decae con la distancia a las fuentes.

El campo magnético uniforme infinito es un caso especial matemático, no un campo EM realista.