¿Qué tan equivocadas están las ecuaciones clásicas de Maxwell (en comparación con QED)?

La electrodinámica maxwelliana falla cuando se trata de fenómenos mecánicos cuánticos, del mismo modo que la mecánica newtoniana necesita ser sustituida en ese régimen por la mecánica cuántica. Las ecuaciones de Maxwell realmente no "fallan", ya que todavía hay una versión equivalente en QM, es solo la mecánica misma la que cambia.

Permítanme elaborar sobre eso un poco. En la mecánica newtoniana, tenías una posición y un impulso dependientes del tiempo,$x(t)$y$p(t)$para tu partícula. En mecánica cuántica, el estado dinámico se transfiere al estado cuántico$\psi$, cuyo análogo clásico más cercano es una densidad de probabilidad en el espacio de fase en la mecánica de Liouvillian . Hay dos "imágenes" diferentes en la mecánica cuántica, que son exactamente equivalentes.

• En la imagen de Schrödinger, la evolución dinámica está codificada en el estado cuántico$\psi$, que evoluciona en el tiempo según la ecuación de Schrödinger. La posición y el momento son reemplazados por operadores estáticos.$\hat x$y$\hat p$que actúan sobre$\psi$; esta acción se puede utilizar para encontrar el valor esperado y otras estadísticas de cualquier medida de posición o impulso.

• En la imagen de Heisenberg, el estado cuántico es fijo y son los operadores de todas las variables dinámicas, incluida la posición y el momento, los que evolucionan en el tiempo, a través de la ecuación de Heisenberg.

En la versión más simple de la electrodinámica cuántica, y en particular cuando no están involucrados fenómenos relativistas, las ecuaciones de Maxwell siguen siendo válidas: son exactamente las ecuaciones de Heisenberg sobre los campos eléctrico y magnético, que ahora son operadores sobre el estado del sistema.$\psi$. Por lo tanto, todavía está "usando" formalmente las ecuaciones de Maxwell, pero esto es bastante engañoso ya que la mecánica que lo rodea es completamente diferente. (Además, tiendes a trabajar en la imagen de Schrödinger, pero eso no viene al caso).

Este régimen se utiliza para describir experimentos que requieren la cuantificación del campo en sí, como la interferometría de Hong-Ou-Mandel o experimentos en los que el campo está entrelazado con la materia de forma medible. También hay una gran área gris de experimentos que se describen de manera útil con este formalismo pero que en realidad no requieren un campo EM cuantificado, como los ejemplos mencionados por Anna. (Así, por ejemplo, la radiación de cuerpo negro puede explicarse igualmente bien con niveles de energía discretos en los emisores en lugar de la radiación).

Este régimen estaba, hasta hace poco, limitado en gran medida a la física óptica, por lo que no era realmente algo de lo que un ingeniero eléctrico tuviera que preocuparse. Eso ha comenzado a cambiar con la introducción del circuito QED , que es el estudio de los circuitos superconductores que exhiben un comportamiento cuántico. Este es un campo de investigación nuevo y emocionante y es una de nuestras mejores apuestas para construir una computadora cuántica (o, dependiendo de a quién le pregunte, el modelo utilizado por la computadora cuántica que ya está construida), por lo que es algo para mirar. si estás buscando opciones de carrera ;).

Las cosas realmente locas surgen cuando llevas la electrodinámica a regímenes que son tanto cuánticos como relativistas (donde "relativista" significa que la frecuencia$\nu$de la radiación EM es mayor que$c^2/h$veces la masa de todas las partículas materiales relevantes). Aquí la mecánica cuántica también cambia y se convierte en lo que se conoce como teoría cuántica de campos , y esto introduce una serie de fenómenos diferentes. En particular, la cantidad de partículas puede cambiar con el tiempo, por lo que puede colocar un fotón en una caja y regresar para encontrar un electrón y un positrón (lo que no ocurriría en la EM clásica).

Nuevamente, aquí el problema no es EM en sí mismo, sino la mecánica que lo rodea. QFT se basa en un concepto llamado acción , que determina completamente la dinámica. También puede construir la mecánica clásica en torno a la acción, y la acción de la electrodinámica cuántica es formalmente idéntica a la de la electrodinámica clásica.

Este régimen incluye fenómenos de creación y aniquilación de pares, y también cosas como la dispersión fotón-fotón, que parecen contradecir la EM clásica. Por ejemplo, puede producir dos haces de rayos gamma y hacer que se crucen, y se dispersarán ligeramente entre sí. Esto es inconsistente con el principio de superposición de EM clásico, ya que rompe la linealidad, por lo que se podría decir que las ecuaciones de Maxwell han fallado, pero, como señalé, es un poco más sutil que eso.

Es gracioso que todas las respuestas hasta ahora olvidaron el siguiente criterio simple y elegante: la mecánica cuántica aparece cuando

con$h=2\pi\hbar\approx6,63.10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}$la constante de Planck y$k_{B}\approx1,38.10^{-23}\text{J}\cdot\text{K}^{-1}$la constante de Boltzmann,$\omega$y$T$siendo la frecuencia (angular) y la temperatura, respectivamente.

El criterio entra en juego de la siguiente manera: la constante de Planck es la escala característica de energía (a frecuencia) del mundo cuántico, y la constante de Boltzmann es la escala característica de energía (a temperatura) del mundo estadístico.

En los circuitos eléctricos, la mayoría de las propiedades en las que uno está interesado invocan una bandada de electrones que fluyen de un punto a otro. En realidad, la cantidad de electrones que fluyen es bastante grande, digamos$\left(10^{10}-10^{30}\right)$electrones (ventana grande). La rama de la física que trata los problemas de muchos cuerpos es la física estadística. Por el contrario, la mecánica cuántica (especialmente la óptica cuántica) se construyó con problemas de un solo cuerpo en cabeza (un electrón orbitando alrededor de un núcleo, una partícula haciendo un túnel, ...). Esto sigue siendo cierto (pero tiende a ser menos prominente) en la física de alta energía. La rama de la física que se ocupa de la propiedad cuántica del grupo de electrones que fluyen en la materia se denomina física de la materia condensada.. De hecho, uno no puede entender la mayoría de las propiedades de los materiales sin la mecánica cuántica (teoría de bandas, respuesta óptica de los materiales, ...) Entonces, todos los ingenieros eléctricos usan la mecánica cuántica, el punto es que usan el promedio estadístico de estas propiedades cuánticas, que se comportan bastante bien como en el régimen clásico. Dicho de otra manera, bien podrían ser efectos cuánticos introducidos en el cálculo de la capacitancia, la inductancia y la resistencia de los materiales, pero una vez que conozca estas cantidades, simplemente puede usar las leyes de Kirchhoff.

Ese es el secreto más importante de la física: una teoría siempre es efectiva. Las leyes de Kirchhof son correctas a altas temperaturas (pero no demasiado altas, digamos a temperatura ambiente) y para fenómenos cuasiestáticos (frecuencias bastante bajas). Así es como se derivan de la teoría de Maxwell.

Una propiedad de la materia que no se puede explicar sin la mecánica cuántica, pero que es bien conocida en régimen de microondas, es el magnetismo. Sin embargo, existe una teoría de circuitos para estos materiales llamada teoría de circuitos magnéticos , que realmente se parece a las ecuaciones de Maxwell. Pero para calcular las cantidades macroscópicas que exhiben los materiales se necesita la mecánica cuántica... ¡o para medirlas y tabularlas!

Desde una perspectiva histórica, cuando las personas intentaron aplicar las mismas reglas a los problemas de un solo cuerpo ya los problemas de muchos cuerpos (y también la generalización a los problemas relativistas), comenzaron a construir la teoría cuántica de campos. La mayoría de las respuestas dadas hasta ahora discuten esencialmente la teoría del campo cuántico en el vacío, cuando de hecho las ecuaciones de Maxwell son siempre válidas, siempre que defina los campos eléctricos y magnéticos como promedio sobre las propiedades cuánticas. De hecho, a veces hay que cuantificar el intercambio de excitaciones entre el objeto aislado y los campos ( Anna dio algunos ejemplosde esta cuantificación en su respuesta). Las ecuaciones de Maxwell se recuperan cuando sumas muchas configuraciones de una partícula (para decirlo rápidamente). También a veces esta cuantificación requiere generalizar la simetría de los campos, luego hay una generalización de los campos eléctricos y magnéticos, llamados campos de calibre no abelianos en ese contexto. Pero entonces estamos lejos de la descripción de los electrones en la materia, ya que estas teorías se requieren para discutir los constituyentes elementales del núcleo, ¡algunas escalas de energía de las que la ingeniería eléctrica no se ocupa en absoluto! (Cruzo los dedos porque nunca deberíamos apostar por el futuro tecnológico, digamos al menos durante las próximas décadas...)

Cuando reduce la cantidad de partículas involucradas en los circuitos, cuando disminuye la temperatura y cuando aumenta la frecuencia, los sistemas comienzan a comportarse de manera diferente que en las leyes de Kirchhof. En cierto modo, todas las propiedades cuánticas que estaban ocultas en el promedio estadístico discutido anteriormente comienzan a ser más y más prominentes.

La discusión de las propiedades electrónicas a bajas temperaturas (unos pocos Kelvin), escalas dimensionales bajas (escala nanométrica / micrométrica) y frecuencias altas (megahercios / gigahercios; para los ópticos no es tan alto, pero para los ingenieros eléctricos lo es) son los temas centrales de lo que se llama física mesoscópica , una física intermedia entre el mundo clásico y el cuántico. El circuito QED mencionado por Emilio Pisanty en su respuesta en esta página es solo un subtema de la física mesoscópica. Bien podría ser el "más cuántico", ya que la física clásica no puede describir las propiedades electrónicas de los superconductores, aunque puede corregir las ecuaciones de Maxwell para analizar el electromagnetismo de los superconductores. Este conjunto de leyes modificadas se llamaLas ecuaciones de London , la teoría efectiva de los circuitos superconductores, que no pueden explicar el efecto Josephson. Explorando un poco estas leyes, verás que no son invariantes de calibre... algo que no puedes explicar sin el gran aparato de la teoría cuántica de campos. Se necesitaron entre 10 y 20 años para explicar la teoría de London a partir del cálculo microscópico, y de nuevo 10 años para relacionar el fracaso de la invariancia de medida con el mecanismo de Anderson-Higgs. Mientras tanto, los ingenieros eléctricos aplicaban las ecuaciones de London y tabulaban los superconductores con gran precisión.

Esta respuesta se hizo mucho más larga de lo que pensé cuando comencé a escribir, sin duda porque el tema es fascinante :-)

Me gustaría darle otras perspectivas sobre las ecuaciones de Maxwell y la teoría efectiva. Algunas décadas después de su aparición, la gente pensó que las ecuaciones de Maxwell estaban unificando todas las radiaciones posibles . De hecho, unificaron todas las radiaciones conocidas en ese momento ., que ya eran un gran paso, ¿no? Entonces es la interpretación de la universalidad ingenuamente asociada a las ecuaciones de Maxwell la que falla, no las ecuaciones de Maxwell en sí mismas, ya que fueron discutidas en un claro contexto histórico y experimental. Las ecuaciones de Maxwell tienen que ser corregidas (o cambiadas radicalmente) cuando van a altas frecuencias (lo que significa: a altas energías), o cuando van a bajas temperaturas (lo que significa: a bajas energías). Un punto más sutil (espero explicarlo cuidadosamente arriba) es: las ecuaciones de Maxwell tampoco describen objetos individuales (por ejemplo, fotones individuales). Pero claramente nunca fueron diseñados para esto... y de hecho esa es toda la descripción mecánica que hay que cambiar para llegar a este límite. Emilio discutió esto en detalle.

Un punto importante que quedó en la discusión anterior es: por supuesto, el gran mérito de Maxwell fue unificar la electricidad y el magnetismo, no las radiaciones como dije anteriormente. De hecho, la radiación proviene naturalmente de la teoría electromagnética. Como comentario final, también podría decir que las ecuaciones de Maxwell definen el electromagnetismo. Ese es el punto de vista común, y es por eso que la gente habla de electromagnetismo cuántico cuando usan la versión cuántica de las ecuaciones de Maxwell...

Anna V está equivocada cuando dice que las ecuaciones de Maxwell son inconsistentes con la radiación del cuerpo negro. En la mecánica cuántica, incluso si ignora la radiación, hay una densidad de carga que puede calcular (en principio) a partir de la ecuación de Schroedinger. En un cuerpo caliente, esta densidad de carga fluctúa por un movimiento térmico aleatorio. Si realiza un seguimiento de la evolución temporal de la densidad de carga y luego aplica las ecuaciones de Maxwell, obtendrá el espectro de radiación de cuerpo negro correcto. No es necesario descartar las ecuaciones de Maxwell y no es necesario cuantificar la energía.

Los otros ejemplos de Anna son igualmente falsos. No hay nada en las ecuaciones de Maxwell que prediga un espectro continuo para los átomos. No usas las ecuaciones de Maxwell para calcular el movimiento de carga dentro de un átomo, usas la ecuación de Schroedinger. A partir de ahí, obtienes distribuciones de carga oscilantes. Si luego usa las ecuaciones de Maxwell para calcular el espectro de radiación, obtiene exactamente la respuesta correcta, hasta el ancho de línea.

Lo mismo con los láseres. La ecuación de Schroedinger te da las "inversiones de población", etc., pero las ondas resultantes de las oscilaciones atómicas son completamente clásicas: especialmente la forma en que un resonador, que estimula a un resonador cercano, lo impulsa en fase para que la onda resultante sea coherente. Todo sale de las ecuaciones de Maxwell. No los estados atómicos, por supuesto... esos vienen de Schroedinger. Pero la radiación resultante es toda Maxwell.

EDITAR: Ruslan ha preguntado (en los comentarios) cómo puedo calcular los anchos de línea usando solo Schroedinger + Maxwell. Es un cálculo que he hecho en mi blog. que puedes encontrar aquí . Lo que es fundamental entender es que, si bien nos gusta hablar de cosas como "un átomo de hidrógeno en estado puro excitado", lo que en realidad tratamos normalmente en una situación experimental es un conjunto de un millón de átomos de hidrógeno, algunos (p. 1%) de los cuales se encuentran en estado excitado (100%). En ese caso no puedo hacer el cálculo. Pero no existe una forma experimental de distinguir este conjunto hipotético de un conjunto alternativo en el que todos (100 %) los átomos se encuentran en un estado excitado al 1 %. Y entonces el cálculo es obvio.

Si cree que estos estados son distinguibles, intente escribir la matriz de densidad para ellos.

Las ondas electromagnéticas clásicas emergen de la descripción electrodinámica cuántica subyacente de una manera suave y consistente. El marco cuántico significa que las ondas clásicas se construyen a partir de fotones, y la única vez que uno tiene que preocuparse por más detalles que los que proporcionan las ecuaciones de Maxwell es al nivel de la física de partículas y dondequiera que se haya encontrado la cuantización para eliminar las discrepancias de las predicciones clásicas con datos.

1. los espectros atómicos que muestran líneas inesperadas de las soluciones suaves de ME

2. la radiación de cuerpo negro que necesita cuantización de energía

3. láser y fenómenos similares dependientes de la física atómica

4. situaciones en las que los fotones (partículas) son lo suficientemente energéticos para la creación y aniquilación de partículas, tienen interacciones de fotones de fotones medibles, etc., que no se pueden describir con soluciones de ME.

Las soluciones clásicas de las ecuaciones de Maxwell están bien para la mayoría de las situaciones.

Editar: Al observar la discusión en la respuesta de Marty Green, donde insiste en que las ecuaciones de Maxwell no fallan al usar el átomo de Schrödinger y agitar con la mano la emisión y la absorción en las líneas, creo que en la respuesta completa de Emilio Pisanty arriba de esto se borra:

En la versión más simple de la electrodinámica cuántica, y en particular cuando no están involucrados fenómenos relativistas, las ecuaciones de Maxwell siguen siendo válidas: son exactamente las ecuaciones de Heisenberg sobre los campos eléctrico y magnético, que ahora son operadores en el estado del sistema ψ. Por lo tanto, todavía está "usando" formalmente las ecuaciones de Maxwell, pero esto es bastante engañoso ya que la mecánica que lo rodea es completamente diferente.

La forma es la misma pero la forma en que se aplica en el régimen cuántico es drásticamente diferente, tan diferente como lo son los operadores diferenciales (cuánticos) de las variables reales (clásicas).

La cita aclara lo que señalé a mano como "las ondas electromagnéticas clásicas emergen de la descripción electrodinámica cuántica subyacente de una manera suave y consistente".

EDITAR: como se declaró el duplicado de una pregunta reciente, quiero agregar dos enlaces. Aquí se da la función de onda de Maxwell del fotón. , Lubos Motl tiene esta entrada de blog sobre Cómo los campos clásicos, las partículas emergen de la teoría cuántica

El problema es con una carga en el espacio vacío, incluso si se ejecuta con aceleración, todavía no puede enviar la onda. No puede enviar la radiación. Para que un emisor envíe una onda de radiación, necesita un absorbedor para recibir la onda. Esto es lo que nos dice la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman.

Si asume que una carga siempre puede enviar ondas de radiación incluso sin un absorbente, comete errores. De acuerdo con la teoría de Maxwell, la fuente de corriente siempre envía ondas, eso no es cierto.

De acuerdo con el "principio de energía mutua" y el "principio de autoenergía", solo cuando la onda retardada puede encontrar una onda avanzada emparejada, se puede enviar un fotón. Eso significa que solo la onda retardada y la onda de avance sincronizadas, se puede producir la radiación.

Por lo tanto, deben trabajarse juntos dos grupos de ecuaciones de Maxwell, uno es para la onda retardada, otro es para la onda avanzada.

Sin una onda avanzada emparejada, la onda retardada tal vez también se envíe, pero regresa con un proceso de inversión del tiempo.

Conclusión: las ecuaciones de Maxwell solo son ciertas con cierta probabilidad, dependiendo de si una ola masculina puede casarse o no con una ola femenina. Esa es la razón por la que en QET, la onda es una onda de probabilidad.

Vea mi publicación: http://www.openscienceonline.com/journal/archive2?journalId=726&paperId=4042