¿Qué es realmente la dilatación del tiempo?

Introducción

Esta respuesta utilizará las ideas discutidas en las respuestas a ¿Qué es el tiempo, fluye y, de ser así, qué define su dirección? , por lo que realmente necesita leer las respuestas a esa pregunta antes de abordar esta.

El concepto clave que necesita para comprender la dilatación del tiempo es que un reloj no mide el flujo del tiempo: el tiempo no fluye en relatividad (consulte la pregunta ¿Qué es el tiempo...? para obtener más información al respecto). Un reloj mide distancias. Para explicar lo que quiero decir, utilizaré la analogía del cuentakilómetros de tu coche. Si empiezas en algún momento$A$y conducir a algún punto$B$luego, el odómetro te dice qué tan lejos en el espacio te has movido. Así que el cambio en la lectura del odómetro es la distancia en el espacio$A-B$medido a lo largo de la ruta que tomó. El reloj de tu coche mide la distancia en el tiempo entre los puntos del espacio-tiempo .$A$y$B$es decir, el cambio en el reloj mide la cantidad de segundos entre su punto de partida$A$y llegando al punto$B$, y el número de segundos también se mide a lo largo de la ruta que tomó en el espacio-tiempo . Este último punto es importante porque, como veremos, la distancia en el tiempo que te mueves depende de tu ruta, al igual que la distancia que recorres en el espacio.

La razón por la que tenemos que tratar el tiempo como una distancia es porque en la relatividad no existe una distinción clara y precisa entre el tiempo y el espacio. Puede dividir el espacio-tiempo en tres dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo, pero un observador diferente podría hacer esta división de una manera diferente y ustedes dos no estarían de acuerdo sobre qué era el tiempo y qué era el espacio. En relatividad tenemos que tratar la dimensión del tiempo como las dimensiones del espacio. Es solo una coordenada que va desde (en principio)$-\infty$a$\infty$al igual que el$x$,$y$y$z$las coordenadas van desde$-\infty$a$\infty$. Consulte la sección ¿Qué es el tiempo...? pregunta para más sobre esto.

El punto de todo esto es que nos da una definición muy específica de la dilatación del tiempo. Si dos observadores diferentes miden la distancia entre dos puntos del espacio-tiempo$A$y$B$entonces esta distancia será un cuatro vector con componentes temporales y espaciales. La dilatación del tiempo simplemente significa que diferentes observadores no estarán de acuerdo sobre la magnitud del componente de tiempo de esta distancia, es decir, observarán una cantidad de tiempo diferente entre los dos puntos.

Un ejemplo de dilatación del tiempo.

Para explicar por qué sucede esto, tomemos un ejemplo específico. Supón que te estoy viendo moverte, entonces en mis coordenadas tu trayectoria es una línea en el espacio-tiempo. Como no puedo dibujar gráficos de cuatro dimensiones , supongamos que solo se está moviendo a lo largo de la$x$eje así que todo lo que tengo que dibujar es tu trayectoria en$x$y$t$(tiempo). Supongamos que su trayectoria se ve así:

Figura 1

Así que ambos comenzamos en el punto$A$. Debido a que estoy estacionario en estas coordenadas, mi trayectoria es hacia arriba en el eje del tiempo para$B$, mientras que su trayectoria (la línea roja) se dirige a aumentar$x$, luego se detiene, da la vuelta y vuelve a mi posición. La distancia que me he movido en el tiempo es solo la distancia hacia arriba en el eje del tiempo desde$A$a$B$— llamaremos a esta distancia$t_{ab}$. La distancia que te has movido en el tiempo es, bueno, veamos cómo calcular eso.

La figura 1 muestra lo que sucede en mi sistema de coordenadas, pero ahora dibujemos el mismo diagrama en tu sistema de coordenadas, es decir, las coordenadas en las que permaneces estacionario en el origen y yo me muevo:

Figura 2

En tus coordenadas, soy yo el que se mueve (mostrado por la línea negra) y tú permaneces estacionario, por lo que en tus coordenadas, tu trayectoria (la línea roja) es recta hacia arriba en el eje del tiempo y la distancia que te mueves es solo la distancia en el tiempo entre$A$y$B$. Llamaremos a esta distancia$\tau_{ab}$.

Ahora bien, este es el punto donde las cosas se ponen raras, pero en realidad es el único punto donde las cosas se ponen raras, así que si puedes pasar este punto, estás en casa. La distancia$\tau_{ab}$en la figura 2 tiene un significado especial en la relatividad. Se llama el tiempo propio, y es un principio fundamental de la relatividad que el tiempo propio es un invariante . Esto significa que el tiempo adecuado es el mismo para todos los observadores y, específicamente, es el mismo para usted y para mí. Esto significa que, y este es el punto clave:

La longitud de la línea roja es la misma tanto en la figura 1 como en la figura 2

Volvamos a la figura 1 por un momento y veamos por qué esto significa que debe haber dilatación del tiempo:

figura 3

La longitud de mi línea desde$A$a$B$,$t_{ab}$, es obviamente diferente de la longitud de la línea roja de$A$a$B$,$\tau_{ab}$. Pero ya hemos acordado que la longitud de la línea roja es el tiempo que mides entre los dos puntos, y eso significa el tiempo que yo mido entre$A$y$B$es diferente del tiempo que mides entre$A$y$B$:

$$t_{ab} \ne \tau_{ab}$$

Y eso es lo que entendemos por dilatación del tiempo.

Si mi objetivo era dar una idea intuitiva de cómo surge la dilatación del tiempo, probablemente haya fallado porque está lejos de ser intuitivamente obvio por qué la longitud de la línea roja debería ser la misma en la figura 1 y la figura 2. Pero al menos yo Lo hemos reducido a un paso poco intuitivo y, si está preparado para aceptarlo, el resto sigue de forma sencilla. Para hacer esto cuantitativo y explicar exactamente lo que quiero decir con la longitud de la línea roja , necesitamos atascarnos en algunas matemáticas.

Y ahora un poco de matematicas

La situación que he dibujado en las figuras 1 y 2 es en realidad algo complicada porque implica aceleración, es decir, aceleras alejándote de mí, desacelera hasta detenerte y luego aceleras de regreso hacia mí. Para comenzar, usaremos el caso más simple en el que solo se dirige a una velocidad constante y no acelera. Nuestros dos diagramas de espacio-tiempo se ven así:

Figura 4

En mi marco estás viajando a gran velocidad$v$, así que después de un tiempo$t$medido en mi reloj tu posición es$(t, vt)$. En tu marco estás estacionario, así que después de un tiempo$T$medido en su reloj su posición es$(T, 0)$. Y recuerda que dijimos que la longitud de la línea roja debe ser la misma para ti y para mí.

Para calcular la longitud de la línea roja usamos una función llamada métrica. Probablemente recuerdes que te enseñaron el teorema de Pitágoras en la escuela. Lo que te dice para el triángulo rectángulo:

la longitud de la hipotenusa viene dada por:

$$s^2 = a^2 + b^2$$

Esta ecuación le dice a uno cómo medir distancias totales (es decir, en este caso diagonales ), dados los desplazamientos en cada dirección coordenada. Esa es precisamente la información contenida en una métrica: Te dice cómo medir distancias. La ecuación anterior hace esto al dar una fórmula explícita para la longitud de una línea, que resulta de los desplazamientos de coordenadas en las direcciones horizontal y vertical (llamémoslas$x$y$y$). Ahora, por supuesto, también se puede pensar en distancias infinitesimales (infinitamente pequeñas, en un sentido limitante). La fórmula entonces simplemente se convierte en

$$\mathrm ds^2=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2$$

Esto se denomina elemento de línea para el espacio euclidiano bidimensional y codifica la métrica (euclidiana) correspondiente. Para la relatividad especial necesitamos extender esta idea para incluir las tres dimensiones espaciales más el tiempo. Hay varias formas de escribir el elemento de línea para la relatividad especial y, para los fines de este artículo, lo escribiré como:

$$\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 +\mathrm dz^2$$

dónde$\mathrm dt$es la distancia recorrida en el tiempo y$\mathrm dx$,$\mathrm dy$,$\mathrm dz$son las distancias recorridas en el espacio.

Esta ecuación codifica la métrica de Minkowski y la cantidad$\mathrm ds$se llama la distancia adecuada. Se parece un poco al teorema de Pitágoras, pero tenga en cuenta que no podemos simplemente sumar el tiempo a la distancia porque tienen diferentes unidades, segundos y metros, por lo que multiplicamos el tiempo por la velocidad de la luz.$c$entonces el producto$ct$tiene unidades de metros. También tenga en cuenta que le damos$ct$un signo menos en la ecuación; como verás, este signo menos es lo que explica la dilatación del tiempo. Como solo estamos considerando dos dimensiones, nuestra ecuación se convierte en:

$$\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2$$

Bien, hagamos el cálculo. Dado que todo el movimiento es en línea recta, no necesitamos el elemento de línea infinitesimal y, en su lugar, podemos usar:

$$\Delta s^2 = -c^2\Delta t^2 + \Delta x^2$$

Comience en su marco: no se mueve en el espacio, por lo que$\Delta x = 0$y te mueves una distancia$\tau$en el tiempo, así$\Delta t = \tau$, dándonos:

$$\Delta s^2 = -c^2 \tau^2$$

Ahora hagamos el cálculo en mi marco. En mi marco te mueves una distancia en el espacio$\Delta x=vt$y una distancia en el tiempo$\Delta t = t$entonces la ecuación para la longitud de la línea roja es:

$$\Delta s^2 = -c^2t^2 + (vt)^2 = -t^2c^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)$$

Dado que las longitudes$\Delta s$son iguales en ambos marcos combinamos las dos ecuaciones para obtener:

$$-c^2 \tau^2 = -t^2c^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)$$

Y reordenando da:

$$\tau = t\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{t}{\gamma}$$

dónde$\gamma$es el factor de Lorentz :

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Y ese es el resultado que necesitamos mostrando la dilatación del tiempo. La distancia que has recorrido en el tiempo$\tau$es menor que la distancia que me he movido en el tiempo$t$por un factor de$\gamma$.

Apéndice - movimiento acelerado

Comencé la respuesta principal con este diagrama de espacio-tiempo:

Figura 1

pero luego cambió a un ejemplo más simple cuando se trataba de hacer las matemáticas. Esto se debe a que no quería distraer la atención del mensaje principal de mi respuesta; sin embargo, si alguien está interesado, explicaré cómo lidiamos con el movimiento acelerado ahora.

Por cierto, escuchará a la gente afirmar que la relatividad especial no puede lidiar con el movimiento acelerado, pero como está a punto de ver, esto simplemente no es cierto. El principio básico es el mismo: la longitud de la trayectoria es la misma para todos los observadores. Es solo que calcular la longitud de la trayectoria es un poco más difícil.

El cálculo que vamos a hacer es el mismo que antes, es decir, calcularé la distancia desde$A$a$B$a lo largo de mi trayectoria, luego calcule la distancia a lo largo de su trayectoria, y la dilatación del tiempo será la diferencia entre ellos. La distancia a lo largo de mi trayectoria es obviamente solo la distancia hacia arriba$t$(tiempo), pero para usted tenemos que calcular la longitud de la curva roja.

Hacemos esto dividiendo la curva en líneas rectas " infinitesimales ":

Figura 2

Si aproximamos la curva roja por una serie de rectas de longitud$\mathrm ds$entonces la longitud total de la curva,$\Delta s$, será simplemente la suma de las longitudes de todas estas líneas rectas. Dejamos los largos$\mathrm ds$ir a cero y reemplazar la suma por una integral:

$$\Delta s = \int_A^B \,\mathrm ds \tag{1}$$

y la longitud$\mathrm ds$viene dada por la misma ecuación que usamos en la respuesta principal:

$$ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 \tag{2}$$

El truco que usamos es notar que si te mueves una distancia$dx$en un tiempo$dt$entonces tu velocidad es$v = {\mathrm dx}/{\mathrm dt}$, porque así es exactamente como definimos la velocidad. Reorganizando esto da:

$$\mathrm dx = v\,\mathrm dt$$

Y podemos sustituir esto en la ecuación (2) para obtener:

$$\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + v^2(t) \mathrm dt^2$$

dónde$v(t)$es su velocidad en función del tiempo medido en mi marco. Ahora pon esto en la ecuación (1) y obtenemos:

$$\Delta s = \sqrt{-c^2} \int_A^B \, \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\, \mathrm dt \tag{3}$$

Finalmente, notamos que en su marco, la distancia que se mueve todavía está dada por la misma ecuación que antes, por lo que:

$$\Delta s = \sqrt{-c^2}T_{AB}$$

dónde$T_{AB}$es el tiempo transcurrido registrado en su reloj, e igualando estos da:

$$T_{AB} = \int_A^B \, \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\,\mathrm dt$$

Para hacer el cálculo, necesitamos conocer la ecuación de su velocidad en función del tiempo, y esto depende de cómo acelere. En realidad, hacer las sumas se vuelve bastante complicado con bastante rapidez, por lo que no entraré en detalles. Sin embargo, podemos ver de inmediato que hay una dilatación del tiempo y que usted mide menos tiempo transcurrido que yo.

Si su velocidad$v(t)$es positivo o negativo el cuadrado,$v^2(t)$siempre es positivo, y eso significa que el factor en la raíz cuadrada siempre es menor que 1:

$$1 - \frac{v(t)^2}{c^2} \lt 1$$

Así que estamos integrando una función que siempre es menor que uno de$t = t_A$a$t = t_B$y eso significa que el resultado debe ser menor que$t_B - t_A$, eso es:

$$T_{AB} \lt t_B - t_A$$

Así que tu tiempo transcurrido,$T_{AB}$siempre es menor que mi tiempo transcurrido,$t_B - t_A$, sin importar cómo cambie su velocidad durante su viaje de ida y vuelta.

Y a estas alturas ya deberías haberte dado cuenta de que esta es solo la paradoja de los gemelos disfrazada. Esto muestra que el tiempo transcurrido para el gemelo acelerado siempre es menor que el tiempo transcurrido para el gemelo estacionario, aunque hay más detalles que tendrán que esperar para otra publicación en otro día.

Apéndice: ¿qué observó el gemelo?

Los más atentos habrán notado algo que dejé fuera de mi cálculo en la última sección de la respuesta principal . Di esta figura que muestra los diagramas de espacio-tiempo:

Luego hice el cálculo de la longitud de la línea roja en mi cuadro y mostré que su tiempo transcurrido es menor que el mío. Todo bastante correcto, por supuesto, pero espera, ¿no es simétrica la dilatación del tiempo? ¿No deberías observar mi tiempo para ser dilatado? Sí, de hecho, y el propósito de este apéndice es explicar lo que está pasando.

Si miramos mi diagrama de espacio-tiempo notamos que tú y yo no terminamos en los mismos puntos. viajaste desde$A$a$B$mientras viajaba desde$A$a$C$. En mi marco los puntos$B$y$C$son simultáneos, es decir, tienen la misma coordenada de tiempo,$t_B = t_C$, y por eso puedo afirmar que hay dilatación del tiempo. Mi afirmación es que ambos empezamos al mismo tiempo$t=t_A$y los dos terminamos al mismo tiempo$t=t_B=t_C$pero nuestros relojes midieron diferentes tiempos transcurridos mientras lo hacíamos. Por lo tanto, debe haber dilatación del tiempo.

Pero mi afirmación de que los puntos$B$y$C$son simultáneos solo es cierto en mi marco, y en todos los demás marcos$B$y$C$no son simultáneos. Esto significa que diferentes observadores no estarán de acuerdo con mi cálculo de la dilatación del tiempo, y es por eso que tú y yo podemos pensar que el tiempo de la otra persona está dilatado. Veamos cómo funciona esto.

Voy a abreviar muchas matemáticas y simplemente les diré que para encontrar dónde están los puntos del espacio-tiempo en diferentes marcos, usamos un par de ecuaciones llamadas transformaciones de Lorentz . Estos son:

$$\begin{align} t’ &= \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \\ x’ &= \gamma\left(x - vt \right) \end{align}$$

toma el punto$B$, que en mis coordenadas es$(t,vt)$. Para encontrar el punto correspondiente$B’$en sus coordenadas simplemente enchufe$t = t$y$x = vt$en las ecuaciones para obtener:

$$\begin{align} t’ &= \gamma\left(t - \frac{v(vt)}{c^2}\right) = \gamma t \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = \frac{t}{\gamma} \\ x’ &= \gamma\left(vt - vt \right) = 0 \end{align}$$

Así que en tu marco el punto$B = (t/\gamma, 0)$. Pero esto ya lo sabíamos. En su marco, está estacionario en el origen, por lo que su posición$x$siempre es cero, y ya hemos calculado que su tiempo transcurrido es$T = t/\gamma$. Entonces, las transformaciones de Lorentz nos dicen lo que ya sabíamos, ¡lo cual es realmente bueno!

Pero ahora toma el punto$C$, cual es$(t, 0)$en mi marco, y veamos dónde está en tu marco. Nuevamente, simplemente tapone estos valores para$t$y$x$en las transformaciones de Lorentz y obtenemos:

$$\begin{align} t’ &= \gamma\left(t - \frac{v\,0}{c^2}\right) = \gamma t \\ x’ &= \gamma\left(0 - vt \right) = -\gamma vt \end{align}$$

Dibujemos nuestros marcos con todos estos puntos en ellos:

Entonces, en mi marco, el intervalo de tiempo medido en mi reloj mientras me muevo de$A$a$C$es$t$, pero en tu marco el intervalo de tiempo mientras me muevo de$A$a$C$es la distancia$AD$es decir, es$\gamma t$. Y desde$\gamma t \gt t$observas mi tiempo dilatarse de la misma manera que yo observo tu tiempo dilatarse. Es solo que no estamos de acuerdo sobre nuestros puntos de inicio y finalización.

Comparación cuadro a cuadro de diagramas e intervalos

Este es un complemento de la discusión principal de John Rennie en la que examinamos la clásica paradoja de los gemelos dibujando explícitamente el diagrama de espacio-tiempo de las rutas de ambos gemelos en dos marcos diferentes y calculando sus intervalos explícitamente en ambos sentidos para mostrar que el resultado no es el mismo. dependen del marco (único, inercial) desde el que se ve el experimento.

El escenario muestra aquí a la gemela viajera (Heidi) haciendo$0.5c$en relación con la Tierra en ambas etapas de su viaje, y visitando un objeto objetivo a un año luz de la Tierra sin escala. El gemelo que se queda en casa (Hans), por supuesto, permanece en la Tierra esperando ansiosamente su reencuentro.

Como suposición simplificadora aquí, se supone que la aceleración es lo suficientemente rápida como para que no necesitemos molestarnos en mostrarla o agregarla a nuestros cálculos.

marco de la tierra

En el marco de la Tierra, ambas etapas del Viaje toman dos años, haciendo el diagrama

La espera de Hans es

$$\begin{align*} \tau_\text{Hans} = -\frac{\sqrt{\Delta s^2_\text{Hans}}}{c} &= \frac{\sqrt{c^2(4\,\text{years})^2 - (0\,\text{light years})^2}}{c}\\ &= \frac{\sqrt{(4\,\text{light years})^2}}{c} \\ &= 4\,\text{years}\;, \end{align*}$$ lo que significa que Hans ha esperado 4 años. Tenga en cuenta que$c$es simplemente 1 año luz por año.

Para Heidi la situación es un poco más complicada, se embarca en dos viajes inerciales y es fácil medir el tiempo adecuado en cada uno, y luego sumarlos

$$\begin{align*} \tau_\text{Heidi} &= \tau_\text{out-bound} + \tau_\text{in-bound} \\ &= \frac{\sqrt{c^2(2\,\text{years})^2 - (+1\,\text{light years})^2}}{c} + \frac{\sqrt{c^2(2\,\text{years})^2 - (-1\,\text{light years})^2}}{c}\\ &= \frac{2\sqrt{3\,(\text{light years})^2}}{c}\\ &= 2\sqrt{3}\,\text{years} \end{align*}$$

En su reunión, Heidi tiene seis meses y medio menos que Hans.

Trama saliente

Eso es genial, pero una de las desventajas de usar un diagrama de Minkowski (a diferencia de un diagrama de Loedel ) es que parece darle un lugar especial al marco con los ejes verticales.

Así que elijamos un marco de referencia diferente y rehagamos todo el trabajo para ver si obtenemos la misma respuesta.

En este caso voy a utilizar el marco de referencia en el que la pierna de salida de Heidi está en reposo. Esto significa que la Tierra se mueve hacia atrás a$0.5c$en este marco.

Para dibujar esta figura, necesitaríamos encontrar las coordenadas de la llegada de Heidi al objeto objetivo y regresar a la Tierra en este marco. Esto se puede hacer mediante la aplicación directa de la Transformada de Lorentz a las coordenadas conocidas de esos puntos en el marco vinculado a la Tierra, o sabiendo que un impulso de$beta = v/c$hace oscilar una línea en un diagrama a través de un ángulo de$\alpha = \tan \beta$y hace que la línea se escale por un factor de

$$s = \frac{\sqrt{1 + \beta^2}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \;$$ que podría reconocer como el factor de desplazamiento Doppler de la luz.

De cualquier manera, el tiempo de llegada al objeto de destino es$t_a = 1.73\,\text{years}$, el tiempo del regreso a la Tierra es$t_r = 4.62\,\text{years}$, y la ubicación del regreso a la Tierra es$-2.31\,\text{light years}$.

Esta vez conseguimos

$$\begin{align*} \tau_\text{Hans} &= \frac{\sqrt{\Delta s^2}}{c} \\ &= \frac{\sqrt{c^2(4.62\,\text{years})^2 - (-2.31\,\text{light years})^2}}{c} \\ &= 4\,\text{years} \;. \end{align*}$$

Asimismo, para Heidi obtenemos

$$\begin{align*} \tau_\text{Heidi} &= \tau_\text{out-bound} + \tau_\text{in-bound} \\ &= \frac{\sqrt{c^2(1.73\,\text{years})^2 - (0\,\text{light years})^2}}{c} + \frac{\sqrt{c^2((4.62-1.73)\,\text{years})^2 - (-2.31\,\text{light years})^2}}{c}\\ &= 3.466\,\text{years} \approx 2\sqrt{3}\,\text{years} \;, \end{align*}$$ donde la discrepancia muy pequeña al final es solo un error de redondeo debido al truncamiento de las cifras a medida que avanzábamos. (¿Te diste cuenta de que$1.73 \approx \sqrt{3}$? Eso no es casualidad, el intervalo de cada tramo del viaje de Heidi tiene que ser el mismo en cada marco de referencia).

En resumen, el mismo resultado.

Marco entrante o algún marco no vinculado a ningún gemelo.

Queda como ejercicio. Vale la pena pasar por todo el trabajo nuevamente y ver que continúas obteniendo los mismos resultados en otros marcos.

Resolviendo la paradoja

La paradoja se resuelve por completo al aceptar que el momento adecuado$\tau$es (dentro de un signo y un factor de$c$) la raíz cuadrada del intervalo. Una vez que acepta esto (tanto la declaración como el esquema por el cual se calcula el intervalo), todo lo demás es solo dibujar rutas y sumar el tiempo adecuado.

¿Por qué es importante aceptar el esquema computacional? En geometría ordinaria, una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos. En la geometría de Minkowski la diferencia de signo entre$(\Delta t)^2$y$(\Delta x)^2$significa que una línea recta es el tiempo propio más largo entre dos eventos.

Debo mencionar el papel de la aceleración porque a menudo se trata como una especie de polvo de hadas que resuelve la paradoja.

Lo que significa aceleración es que la pendiente de una línea universal está cambiando: es decir, esta línea universal no es recta. Y dado que no es recto, no es el tiempo propio más largo entre dos eventos. Entonces, la aceleración tiene ese efecto no porque haya algo mágico en experimentar una aceleración, sino porque hace que la línea del mundo se desvíe. Los esquemas de manipulación en los que se pasa un mensaje para que ninguna 'cosa' sufra aceleración no cambia el hecho de que su mensaje toma una línea de mundo no recta entre eventos.

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Las imágenes aquí contenidas son mi trabajo original y fueron preparadas por primera vez (en LaTeX , usando TikZ ) para una breve nota sobre el intervalo de espacio-tiempo utilizado en mi clase de Física Moderna.

¿Qué es realmente la dilatación del tiempo?

Una tasa reducida de movimiento local. Vea ¿Qué es el tiempo, fluye y, de ser así, qué define su dirección? Como decía Einstein, el tiempo es lo que miden los relojes . Y si echas un vistazo empírico científico a lo que realmente hace un reloj, verás que en realidad no mide la distancia en el tiempo entre los puntos del espacio-tiempo A y B. Simplemente presenta un cristal que vibra, un balancín o un péndulo, y algún tipo de engranaje o electrónica para contar o traducir este movimiento local cíclico regular para proporcionar algún tipo de visualización acumulativa. Un reloj marca el movimiento local, eso es todo. Y cuando el reloj va más lento es porque ese movimiento local va más lento.

Por favor, ¿alguien podría explicar qué es realmente la dilatación del tiempo y cómo ocurre?

Como arriba, la dilatación del tiempo es una tasa reducida de movimiento local. Ver Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento donde Einstein habló sobre el tiempo:

Ahora debemos tener muy en cuenta que una descripción matemática de este tipo no tiene significado físico a menos que tengamos muy claro lo que entendemos por "tiempo". Hemos de tener en cuenta que todos nuestros juicios en los que interviene el tiempo son siempre juicios de hechos simultáneos. Si, por ejemplo, digo: “Ese tren llega aquí a las 7 en punto”, quiero decir algo como esto: “La señal de la manecilla pequeña de mi reloj a las 7 y la llegada del tren son eventos simultáneos”.

Esta definición operativa del tiempo no es más que la posición de las manecillas, que es solo una versión acumulativa de todo el movimiento local cíclico regular dentro del reloj. El mecanismo interno de un reloj no se llama movimiento por nada. Einstein habló más tarde sobre el "tiempo" requerido por la luz para viajar de A a B, lo que se relaciona muy bien con la simple inferencia de la dilatación del tiempo en Wikipedia:

^{imagen de dominio público por Mdd4696}

Esto presenta luz moviéndose en un reloj de luz de espejo paralelo. El tiempo no es más que el número de veces que la luz se ha reflejado en los espejos. La dilatación del tiempo ocurre cuando el conjunto se mueve rápido porque la luz toma un camino en zigzag en lugar de un camino recto hacia arriba y hacia abajo. Pero si se acercara a través del cielo despejado de la noche y pudieras observarlo a través de tu telescopio gedanken, tendrías que desplazarte para mantenerlo en tu campo de visión. Y en ese campo de visión, el haz de luz parecería moverse hacia arriba y hacia abajo, a un ritmo más lento de lo normal. Esa es la dilatación del tiempo de la relatividad especial. Eso es todo. Es así de simple. El factor Lorentz

$$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ se deriva simplemente del teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa es la trayectoria de la luz y la base es la velocidad como una fracción de c. La altura da el factor de Lorentz, y empleamos un recíproco para distinguir la dilatación del tiempo de la contracción de la longitud.

Hay muchas preguntas y respuestas sobre cómo calcular la dilatación del tiempo, pero ninguna que brinde una sensación intuitiva de cómo sucede.

Creo que el artículo de Wikipedia es lo suficientemente bueno para la relatividad especial. Es muy simple. La tasa de movimiento local necesariamente se reduce por el movimiento macroscópico a través del espacio porque la tasa máxima de movimiento es c. Esta dilatación del tiempo se aplica no solo a la luz, sino también a todas las cosas materiales.

Preguntado por Lucas :

No sé nada de relatividad pero no puedo aceptar que exista un fenómeno llamado dilatación del tiempo. Sin embargo, no tengo ningún problema con eso debido a las matemáticas detrás de él. No tengo ningún problema si el tiempo se dilata, porque no sé qué es el tiempo. Pero me pregunto cuando dicen que un reloj funcionará más lento con respecto al otro mismo reloj si su velocidad es mayor.

1. ¿A qué tipo de relojes se refieren? Reloj analógico, reloj digital, etc.

2. Por lo que sé, algunos relojes mecánicos funcionan con un resorte de torsión en su interior. Entonces, ¿cómo sabe el material del resorte que debe desenrollarse lentamente a mayor velocidad? ¿Una mayor velocidad cambia la estructura química o las propiedades físicas del material del resorte?

Respondido por Gennaro Tedesco:

Evidentemente, el reloj ni se ralentiza ni se acelera. Esa es una terminología desafortunada que significa que los intervalos de tiempo dependen del marco de referencia y diferentes observadores en diferentes marcos de referencia pueden medir diferentes intervalos de tiempo si están en movimiento relativo entre sí.

Tenemos una noción bien definida del tiempo en física simplemente porque se encuentra experimentalmente que las velocidades relativas de los procesos físicos son las mismas siempre bajo las mismas condiciones. Por lo tanto, elige un proceso físico periódico cuya velocidad está influenciada por factores que pueden controlarse fácil y repetiblemente, y lo usa como un reloj. Es decir, mide el tiempo transcurrido contando los períodos de este proceso estándar y compara todos los demás procesos físicos con este. Vea mi respuesta aquí para más detalles.

Uno de los factores que se encuentra experimentalmente que influye en las tasas relativas de los procesos físicos es la velocidad relativa entre los marcos de inercia en los que ocurren los procesos físicos comparados. Es decir, el factor de dilatación del tiempo y la transformación de Lorentz nos permiten calcular la tasa relativa para dos procesos en marcos inerciales diferentes si conocemos su velocidad relativa cuando ocurren en el mismo marco.

Eso es todo, la dilatación del tiempo es: un cambio en las tasas relativas de los procesos físicos que se observa que surge del movimiento relativo entre diferentes procesos físicos. Una vez que pierde el bagaje cultural sobre el "Tiempo", esta diferencia no es sorprendente: si cambia un factor en un experimento, el cambio en el resultado experimental es completamente la norma, o al menos extremadamente común.

Bueno, desafortunadamente no puedo comentar @Rennie, pero me gustaría agregar a la buena respuesta de John Rennie que no es correcto decir eso:

la cantidad d$s$ se llama la distancia adecuada

¡Porque eso simplemente no es cierto!

distancia adecuada,$σ$, en SR es análogo al tiempo propio$\tau$. Es el intervalo invariable similar al espacio entre dos eventos A y B en lugar de un intervalo similar al tiempo.

La diferencia es que la distancia adecuada se define entre dos eventos espacialmente separados (o a lo largo de una ruta espacial), mientras que el tiempo adecuado se define entre dos eventos separados en el tiempo (o a lo largo de una ruta en el tiempo).

con d$s$yd$s^2$el elemento de línea y nada más se entiende en relatividad. Y con$Δs$o$Δs^2$en lugar de d$s$o d$s^2$, se trata de un intervalo de espacio-tiempo.

Y:

este signo menos es lo que explica la dilatación del tiempo

Es un poco engañoso en mi opinión. No explica la dilatación del tiempo. En absoluto, físicamente.

El signo menos tiene que ver, por ejemplo, con una geometría hiperbólica (como la del espacio de Minkowski), de lo contrario las matemáticas no serán correctas, pero desde el punto de vista físico no explica nada en absoluto.

Nuevamente, se trata solo de la dilatación del tiempo cinemática (simple) para las personas que primero intentan comprender o aprender un poco sobre la relatividad. Pero luego pienso, especialmente para ellos, que nada de eso debería conducir a posibles malentendidos obstinados.

Así que no es una crítica, pero.. "además", tratando de ser útil.

El tiempo mismo no se ralentiza ni se siembra. Desaceleramos o aceleramos en el tiempo al acelerar (o desacelerar) en el espacio.

Si alguna vez alcanzamos la velocidad de la luz en el espacio, nuestra velocidad en el tiempo llegará a cero y la dilatación del tiempo será infinita.

Si nos consideramos estacionarios en el espacio, nuestra velocidad en el espacio se considerará cero, por lo que nuestra velocidad en el tiempo será igual a la velocidad de la luz. Por tanto podemos considerar que envejecemos a máxima velocidad.

Leí las respuestas aquí, y creo que podría proporcionar otra perspectiva.

Volvamos a finales del siglo XIX, cuando de todas las fuerzas fundamentales que conocíamos solo estaban el electromagnetismo y la gravedad. Olvidémonos de la gravedad y solo miremos las ecuaciones de Maxwell , e imaginemos que el mundo entero está gobernado por ellas. Todas las estructuras que uno ve en ese mundo son solo algunas manifestaciones de soluciones a las ecuaciones de Maxwell.

Consideremos un reloj C en tal mundo. El reloj es una especie de estructura localizada particular, probablemente basada en un oscilador, que satisface las ecuaciones de Maxwell. Asumiremos que sabemos cómo se ve el reloj cuando no se mueve en el espacio, y trataremos de " derivar " cómo se ve un reloj en movimiento . El juego es, teniendo una configuración inmóvil (en promedio) de las ecuaciones de Maxwell, construir una configuración móvil correspondiente. En general, para una ecuación diferencial parcial arbitraria, es un trabajo complicado. Por ejemplo, no puede construir una solución "móvil" para una ecuación de difusión. Sin embargo, puede construir una solución móvil para las ecuaciones de Navier-Stokes (dinámica de fluidos), mediante un cambio de coordenadas

$$x' =x-vt,$$ ¡pero tal cambio no funciona para las ecuaciones de Maxwell!

Lorentz y Larmore descubrieron un hecho crucial (ver Una nota sobre la relatividad antes de Einstein ) que la forma de las ecuaciones de Maxwell permanece invariable bajo las transformaciones de Lorentz:

$$\begin{array}[c]\\ x' =(x-vt)\gamma,\\ t' =(t-vx)\gamma, \end{array}\tag{1}$$ (aquí se supone que la velocidad de la luz es igual a 1)

¿Por qué es importante la invariancia? Porque nos permite hacer un reloj en movimiento a partir de un reloj estacionario. Imagina que hiciste un reloj estacionario y aplicas la transformación de Lorentz (1) a todas sus partes. ¿Qué vas a conseguir? Obtendrá un reloj en movimiento que se aprieta$x$y eso marca más lento. Vamos a hundirnos: (1) Las ecuaciones de Maxwell siguen siendo válidas en las nuevas coordenadas; (2) tenemos un reloj que funciona con los mismos principios que los originales pero (a) se mueve, (b) se aprieta$x$(c) hace tictac más lento. ¡Y eso es exactamente lo que queríamos! Si sabe cómo se ve un reloj estacionario, ¡sabe cómo se verá el correspondiente reloj en movimiento! Y esto, por supuesto, es cierto no solo para los relojes, sino también para cualquier construcción. Teniendo una configuración estacionaria del campo, podemos hacer una configuración en movimiento aplicando la transformación de Lorentz.

Ahora, los relojes reales no están hechos de soluciones a las ecuaciones de Maxwell, sino que involucran muchas otras cosas. La idea crucial de Einstein era que las transformaciones de Lorentz no solo dejan invariantes las ecuaciones de Maxwell, sino que dejan invariantes todas las leyes del universo, lo que significa que puedes hacer un reloj en movimiento a partir de cualquier tipo de reloj estacionario aplicando la transformación (1).

Para resumir, los relojes se ralentizan porque las leyes del universo son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz, lo que nos dice cómo hacer un reloj en movimiento a partir de uno estacionario.

La dilatación del tiempo no es una desaceleración del tiempo. En SR, el tiempo pasa a la misma velocidad en cada punto de cada marco de referencia inercial.

Sin embargo, los planos de tiempo constante en cualquier marco de referencia están inclinados en relación con los de cualquier otro marco de referencia que se mueva en relación con el primero (el grado de inclinación aumenta con la velocidad a la que los dos marcos se mueven entre sí). Esto significa que un segmento de tiempo horizontal a través de un marco de referencia, es decir, un plano en el que es el mismo tiempo en todas partes de ese marco, corresponde a un plano inclinado en el otro marco, sobre el cual el tiempo se eleva cada vez más hacia el futuro en la dirección de movimiento y cayendo cada vez más en dirección contraria.

Esto significa que a medida que te mueves en relación con algún marco, estás pasando continuamente por la pendiente, por así decirlo, a puntos en ese marco donde el tiempo avanza progresivamente más. Aunque su tiempo transcurre a un ritmo normal, se está moviendo a puntos adelante en el tiempo en el otro marco, por lo que el intervalo de tiempo por el que se mueve en ese marco es mayor que el tiempo que ha experimentado en el suyo propio.

Para tomar un ejemplo concreto, supón que te mueves a cierta velocidad, comenzando a las 12:00 tanto en tu marco como en el marco por el que te estás moviendo. Después de cinco minutos en su reloj, se ha elevado por el plano inclinado del tiempo en el otro cuadro hasta un punto que está adelantado un minuto en comparación con el punto en el que comenzó, por lo que su reloj mostrará las 12:05 y la hora en el cuadro. marco estacionario en el que se encuentra ahora es 12:06. Después de otros cinco minutos en su reloj, se ha movido hacia arriba en el plano inclinado del tiempo en el otro cuadro hasta un punto que está adelantado otro minuto más, por lo que ahora ve las 12:10 en su reloj y las 12:12 en un reloj adyacente en el marco estacionario. Y así. El tiempo pasa en su reloj a la velocidad normal, pero se está moviendo en el otro marco de regiones de tiempo anterior a regiones de tiempo posterior,

El efecto es completamente simétrico. Desde la perspectiva de una persona en el marco a través del cual te estás moviendo, su plano de tiempo está nivelado y es el tuyo el que está inclinado. Si esa persona había estado contigo a las 12:00 cuando comenzaste a moverte, verá, después de cinco minutos en su reloj, que un reloj adyacente que pasa en tu marco marcará las 12:06, y cinco minutos después, a las 12: 10 en su reloj, verán otro reloj adyacente en su marco que dice 12:12, por lo que es su reloj el que se está atrasando progresivamente en su marco.

Entonces, la dilatación del tiempo no es el resultado de la desaceleración del tiempo; el tiempo para las dos personas en el escenario que acabo de describir continúa al mismo ritmo; es el resultado del hecho de que los planos de tiempo constante están inclinados, por lo que a medida que uno se mueve a través de un marco, uno se mueve progresivamente a regiones de tiempo posterior en ese marco, de modo que la ganancia de tiempo en ese marco parece mayor que el tiempo transcurrido donde usted está en su propio marco.

La frase común 'los relojes en movimiento van lentos' es engañosa si se toma fuera de contexto y es una fuente frecuente de confusión.

Antes de que puedas entender qué es la dilatación del tiempo, debes entender qué es el tiempo. La palabra tiempo es un término que describe el movimiento temporal. Es el movimiento de las cosas físicas, a través de la dimensión temporal. En términos sencillos, nos movemos a través de la dimensión espacial y cronometramos a través de la dimensión temporal.

Debido a que estas dos dimensiones están interrelacionadas, nuestra velocidad temporal es inversamente proporcional a nuestra velocidad espacial, y esto da lugar a la dilatación del tiempo. La dilatación del tiempo no es que el tiempo se acelere o desacelere. La dilatación del tiempo es cuando alguien o algo se hace más lento o más rápido.

Desafortunadamente, debido a que nuestra velocidad temporal determina la tasa de los procesos atómicos, biológicos y mecánicos, nunca percibimos ningún cambio localmente. Nuestro ritmo de percepción se ralentiza exactamente en la misma cantidad que nuestros relojes. Para nosotros, todo parece normal. Solo cuando comparamos nuestro reloj con alguien que tiene una velocidad temporal diferente, vemos una diferencia.

La gravedad también afecta la velocidad a la que cronometramos, pero hablaré de eso en otro momento.