¿Qué es lo que realmente hace que el radio de Bohr sea estable?

Sé que esta teoría ahora no es válida y tenemos un modelo cuántico, pero quiero saber por qué el modelo de Bohr llamó la atención en primer lugar.

Este fue el primer modelo que hizo una predicción exitosa de las frecuencias de emisión atómica (hidrógeno) (la fórmula de Rydberg ). Aparte de eso, el modelo de Bohr no da mucha información sobre cómo funcionan los átomos. Simplemente consistía en postulados "extraños", creados para evitar el colapso del átomo.

Solo 12 años después de su introducción, Heisenberg y Schrödinger dieron los primeros pasos para crear la teoría consistente real que ahora se llama mecánica cuántica . Es solo una curiosidad histórica que el modelo de Bohr todavía se esté enseñando.

Bohr postuló que el momento angular de tal órbita circular se cuantificaría en múltiplos de$\hbar$, eso es

Este es un postulado, lo que significa que es una idea feliz que consideramos verdadera, pero no dio ninguna prueba.

Ahora, si aplicamos una definición clásica,$\vec{L}=m \vec{r}\times \vec{v}$, y, para una órbita circular, tenemos

entonces la ecuacion es$mrv=n\hbar$. Ahora bien, si consideramos que la única atracción es la electrostática, aplicamos la 2ª ley de Newton. La fuerza electrostática debe actuar como la fuerza centrípeta, por lo que

Luego reemplaza

con$a_0$ser$4\pi\epsilon_0 \dfrac{\hbar^2}{mq_e^2}$

Editar:

Como dije, Bohr no explica por qué es así, es un postulado.

Entonces, a Louis de Broglie se le ocurrió una explicación. El electrón es como una onda estacionaria alrededor de la órbita.

La onda debe ser estacionaria (de lo contrario, emitiría radiación EM). Tal onda estacionaria requiere una unión del principio y el final. Es como una onda estacionaria habitual en la que unes ambos extremos formando una circunferencia.

Entonces, la unión de ambos extremos requiere que la longitud de la circunferencia sea un múltiplo de la longitud de onda.

$lenght = n\cdot \lambda$, o$2\pi r= n \lambda$

Luego incluya la hipótesis de De Broglie y tendrá

que es la misma condición del postulado de Bohr. Esta fue una explicación curiosa.

Sin embargo, la verdad real detrás de esta solución es que es la solución a la ecuación de Schrödinger.

La gente en ese momento sabía por las líneas nítidas que se veían en la espectroscopia que un electrón en el hidrógeno (por ejemplo) solo podía tener ciertas energías. Si solo tienen ciertas energías, eso significaba (para los modelos clásicos del sistema solar en miniatura) que estos electrones solo tenían ciertas velocidades, ciertos radios, ciertos momentos, etc. Obviamente había reglas.

Pero estas reglas para tales cantidades permitidas no son obvias y son complicadas. Lo que Bohr notó fue que si impones una regla sobre el momento angular, en la forma$L=n \hbar$, entonces las reglas para la energía y todo lo demás salen bien ("Una regla para tocarlas todas"). Esta regla es simple y solo implica$\hbar$y no$e$o$\epsilon_0$: no tiene nada que ver con la interacción electromagnética que une el electrón al núcleo, sino que proviene de algo más básico.

Ahora entendemos esto (gracias a la mecánica cuántica) como proveniente de una propiedad básica del espacio: si gira un sistema 360 grados alrededor de cualquier eje, debe volver al sistema con el que comenzó, por lo que cualquier dependencia angular debe ser un número entero. fracción de$1 \over 2 \pi$, y como el momento angular es la cantidad conservada que coincide con la dependencia angular, todo, con una arruga para acomodar el giro intrínseco, sigue claramente.

En la física clásica, un electrón que orbita alrededor del núcleo perderá constantemente energía emitiendo radiación electromagnética y eventualmente colapsará en el núcleo. Pero si acepta el hecho, como lo hizo Bohr, de que el momento angular está cuantizado, entonces puede decir que un cambio en el radio orbital no puede ocurrir en pequeños pasos. Por lo tanto, el electrón tiene que perder o ganar mucha energía para que se produzca este cambio. Esta es la estabilidad del modelo de Bohr.

Históricamente, en 1913 Bohr propuso un modelo para explicar los espectros de transición del átomo de hidrógeno. Los postulados que tomó en contra de la mecánica clásica fueron

1. Conjunto discreto de órbitas estables circulares
2. Conjunto discreto de momento angular orbital
3. Conjunto discreto de transición energética

Estos son argumentos semiclásicos de Bohr cuando notó que Max Planck obtuvo con éxito el espectro de radiación del cuerpo negro al postular que la energía está discretizada. Sin embargo, en la mecánica cuántica, las cantidades físicas discretizadas surgieron naturalmente del resultado del cálculo, en lugar del postulado.

En resumen, la mecánica cuántica es una teoría probabilística que incorpora propiedades de onda y propiedades de partículas de la materia en una sola, la entidad matemática para describir el estado se llama función de onda. Una característica llamativa es la superposición de estados, por ejemplo, un gato está vivo y muerto al mismo tiempo antes de la medición.

En la mecánica cuántica, no hablamos de órbita, ya que la órbita en la imagen mental significa que conoce la posición y el momento de la materia en una cantidad definida en cada momento. Sin embargo, el principio de incertidumbre de Heisenberg da$\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$. De esta desigualdad, si una incertidumbre es cero, otra incertidumbre es infinita. Así, la imagen mental se desmorona.

Las órbitas estacionarias significan que la transición de una función de onda a otra es difícil. Después del tedioso cálculo del átomo de hidrógeno, cada función de onda corresponde a un momento angular orbital y energía diferentes.

Las leyes de conservación aún se obedecen en la mecánica cuántica, y el hidrógeno no experimentará una transición espontánea por sí mismo restringida por la segunda ley de la termodinámica, se requieren diferentes energías discretas y momentos angulares orbitales que requieren una magnitud de perturbación muy precisa para las transiciones.

Estos conducen a la posición constante más probable de la partícula que se va a encontrar. En términos clásicos, lo que significa órbita estacionaria.

Este concepto es resultado directo del postulado de que el momento angular$L$de un electrón en una órbita es múltiplo entero de un valor dado y viene dado por:

En ese momento era todo un misterio por qué este postulado debería mantenerse, hasta que de Broglie presentó su hipótesis (que luego se verificó como cierta).

de Broglie en su hipótesis, en su esencia, planteó que toda la materia es de naturaleza dual (es decir, una onda), la naturaleza que muestra depende del tipo de situación en la que se encuentre. Se comporta como una partícula al interactuar con otras. materia para intercambiar energía y/o cantidad de movimiento mientras que se comporta como una onda cuando está en movimiento, es decir, sin intercambio de energía y cantidad de movimiento con otras partículas. La longitud de onda de tal onda de materia viene dada por:

Estos electrones en un átomo se comportan como ondas. En un átomo de hidrógeno hay un solo electrón, por lo que los cálculos de sus diferentes propiedades se vuelven mucho más simples.

de Broglie razonó que si un electrón gira alrededor de un protón en una órbita de radio$r$entonces esta onda interferirá consigo misma. Argumentó que estas ondas de materia sobrevivirán solo en aquellas órbitas donde se forma una onda estacionaria. Esto significa que si esta onda tuviera una longitud de onda de$\lambda$($= \frac hp$) entonces el radio de la órbita debe ser tal que:

Desde$pr= L$esto significa que:

Vale la pena mencionar aquí que estas ondas de materia fueron luego interpretadas como ondas de probabilidad por Max Born.

Nota: El método utilizado para analizar la situación es de naturaleza semiclásica, por lo que no proporciona una imagen completa.