¿Qué es exactamente un parámetro arbitrario?

El término parámetro arbitrario , cuando se usa de esta manera, denota una variable que se introduce en algún punto de un cálculo cuyo valor no se conoce de forma independiente, pero que se ajusta al final del cálculo para que los resultados coincidan con algún estándar externo. .

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Esto probablemente se explica mejor con ejemplos. En la situación descrita por Dyson, estaba tratando de producir resultados a partir de un formalismo matemático que, cuando se toma al pie de la letra, solo puede producir infinito tras infinito (en lugar de números finitos sensibles) debido a la presencia de integrales divergentes que no producen cualquier resultado significativo. Dyson estaba empleando procedimientos de corte que esencialmente dicen "Sé que estoy destinado a tomar esta integral$\int_0^\infty \mathrm dx$todo el camino hasta$x\to\infty$, pero en su lugar voy a detenerme en$x=X$y espero obtener algo que tenga sentido". Habiendo hecho eso, llevas el cálculo a su conclusión natural y obtienes un resultado final que depende de$X$.

La cosa es, sin embargo, que no hay un lugar natural$X$para detener la integral. Es un parámetro arbitrario - en el momento en que se introduce su valor puede ser casi cualquier cosa - y al final Dyson toma el valor que hace que los resultados del cálculo se parezcan lo más posible a los resultados experimentales de Fermi.

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El problema con los parámetros arbitrarios de este tipo es que si tiene demasiados, su teoría se vuelve demasiado flexible . Es decir, mediante las elecciones apropiadas de los parámetros, puede hacer que los resultados de su teoría se parezcan prácticamente a cualquier cosag, y esto hace que el poder predictivo de su teoría sea algo sospechoso (a menos que, como señala Fermi, tenga una imagen física clara o un formalismo matemático preciso y coherente para respaldar su teoría).

Permítanme ilustrar esto un poco más. Suponga que usted es Fermi y yo soy Dyson, y tiene algunas medidas recientes de$f(t)$que considero tienen una dependencia de la forma

$$f(t)=A\sin(t)+B\sin(3t)+C\sin(5t)+D\sin(7t).$$

Sales del laboratorio y me muestras tus resultados:

Voy y hago girar los números, y digo bingo, por supuesto que coincide, y mis parámetros son

$$f(t)=1.28343 \sin(t)-0.147732 \sin(3t)+ 0.0490644\sin(5t)-0.0233293 \sin(7t),$$ y solo miren qué acuerdo absolutamente maravilloso entre la teoría y el experimento:

¿Entonces, cuál es el problema? Una vez más, mi teoría es demasiado flexible. Si sus datos hubieran sido diferentes, podría haber llegado a cualquier cantidad de resultados diferentes:

Esto es lo que quiere decir von Neumann (o al menos la cita que le atribuye Fermi), cuando dice

con cuatro parámetros puedo encajar un elefante, y con cinco puedo hacer que mueva la trompa.

Dados suficientes parámetros, puede adaptarse prácticamente a cualquier cosa. En este ejemplo, los datos originales eran obviamente lineales con un poco de ruido en la parte superior (y de hecho así es como se generó), y mi modelo de suma de senos, aunque es muy general, no hace más que nublar la imagen: no solo ¿No nos lleva más cerca de lo que realmente está pasando? De hecho, nos envía activamente en la dirección equivocada.

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Este problema se conoce, en la comunidad estadística, como sobreajuste , y es una preocupación importante a tener en cuenta cada vez que se compara un modelo muy flexible con las mediciones. (Para obtener más ejemplos, vea este hilo en Cross Validated ). En física, es aplicable si no hay una imagen física clara para respaldar el modelo, pero también sucede cuando hay tal imagen, porque por supuesto eso podría ser el equivocado!

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Permítanme cerrar con algunas notas sobre lo que sucedió con la física fundamental después de ese encuentro entre Fermi y Dyson. Como señala el texto completo, la teoría del mesón en la que estaba trabajando Dyson resultó ser bastante errónea; en cambio, es una aproximación de alto nivel de la teoría más fundamental de los quarks, y Dyson probablemente estaba empujando esta aproximación más allá de sus límites. Esta teoría de los quarks se convirtió en lo que ahora se conoce como el modelo estándar de la física de partículas .

Ahora, da la casualidad de que el modelo estándar tiene una serie de parámetros que, en esencia, son arbitrarios. Estos incluyen cosas bastante sensatas como la relación entre la masa del protón y la masa del electrón, pero también incluyen algunos números bastante esotéricos que parecen a primera vista, para ser construcciones bastante ad-hoc puestas solo para salvar la teoría, como los ángulos de mezcla de los neutrinos . John Baez ha contado estos parámetros arbitrarios en 26 en total, lo que está muy por encima de los cuatro parámetros de Dyson.

Sin embargo, estos parámetros tienen valores bastante estables que se utilizan para explicar montículo tras montículo de evidencia, con más datos agregados todos los días en el CERN y en otros lugares. Además, el modelo estándar tiene una sólida base teórica, un formalismo matemático preciso y autoconsistente, y viene con una gran cantidad de perspectivas físicas que brindan intuición sobre lo que "realmente" está sucediendo. En estos casos, está bastante bien tener algunos (docenas) de parámetros impares para hacer que las cosas coincidan correctamente.

Un parámetro arbitrario es aquel cuyo valor se especifica, bueno, arbitrariamente. Es decir, sin ninguna razón específica para la especificación. Esto no siempre es un problema, si el propósito de realizar el cálculo es demostrar el comportamiento del sistema de manera general. Un ejemplo es el cálculo del movimiento balístico utilizando g con un valor de 9,8 m/seg^2. Primero, esto es una aproximación. En segundo lugar, asumiendo que este es un valor exacto al nivel del mar, es inexacto para la mayoría de los lugares de la tierra que realmente tocan la corteza (como la tierra seca). Pero el uso de esta aproximación está muy extendido y es una herramienta de enseñanza útil. Le permite al estudiante tener una idea de la naturaleza parabólica de tales trayectorias sin preocuparse por los detalles.

Otro uso válido de la técnica es obtener resultados aproximados y como control de cordura. Tomando valores asumidos (pero con suerte razonables) de un parámetro, puede determinar si el cálculo produce resultados obviamente inexactos.