Es solo una cuestión de notaciones. Por algunas razones, los físicos tienden a anotar la posición usando una notación de función.$\hat \psi(x)$, y el impulso con un subíndice$\hat a_k$. es solo cuestion de gustos$\hat \psi(x)=\hat \psi_x$.

Parece estar confundido por el uso de un valor continuo para el "índice"$x$. Si lo prefiere (y creo que eso es lo que hacen los matemáticos), puede discretizar el espacio y anotar$x$como una posición discreta. Entonces el operador$\hat \psi_x^\dagger$crea una partícula en la posición$x$y actúa sobre un espacio de Fock para cada punto del espacio. Digamos que hay tres puntos en nuestra discretización:$x_1$,$x_2$,$x_3$y observemos el número de partículas en este punto como$|n_1,n_2,n_3\rangle$. Después$\hat \psi_{x_1}^\dagger|0,0,0\rangle=|1,0,0\rangle$,$\hat \psi_{x_2}^\dagger|0,0,0\rangle=|0,1,0\rangle$, etc.

También podemos superponer estos kets:$|1,0,0\rangle+|0,1,0\rangle=\hat\psi_{x_1}^\dagger|0,0,0\rangle+\hat\psi_{x_2}^\dagger|0,0,0\rangle=\sum_i \alpha_i \hat\psi_i^\dagger|0,0,0\rangle=\hat a^\dagger|0,0,0\rangle$, con el número complejo correspondiente$\alpha_i$. Vemos eso$\hat a^\dagger=\sum_i \alpha_i \hat\psi_i^\dagger$

En el límite continuo (número infinito de puntos en el espacio), generalmente se usa la "notación de función"$\psi(x)$, y las sumas de estados/operadores se convierten en integrales. La transformada de Fourier de un operador es solo la suma de operadores con peso$e^{i k x}$.

Cohen-Tannoudji dice que los operadores lineales toman un vector ket y lo asocian con otro vector ket dentro$\mathscr{E}$espacio.

Esa es la definición correcta de un operador. Dentro del alcance de la mecánica cuántica, cualquier cosa que actúe sobre un estado cuántico (es decir, ket) para producir otro estado cuántico, en otras palabras, cualquier cosa que pueda escribirse como

$$\text{[stuff]}\lvert a\rangle = \lvert b\rangle$$

es un operador. Y asumiendo la regla de transformación denotada por$\text{[stuff]}$satisface las condiciones de linealidad, se le llama operador lineal. Pero para la pregunta que está haciendo, no es realmente relevante si el operador es lineal o no.

De todos modos, tenemos una regla de transformación en kets, que he denotado$\text{[stuff]}$. Uso esta notación para señalar que, literalmente, cualquier combinación de símbolos que ocurra en este contexto representará un operador. No tiene que ser una sola letra, no tiene que tener un sombrero encima. Por supuesto,$A$puede representar un operador ($A\lvert a\rangle = \lvert b\rangle$), pero también puede llamar a un operador$\text{Bob}$(como en$\text{Bob}\lvert a\rangle = \lvert b\rangle$), o etiquetarlo con una cara sonriente. O, en este caso, podría etiquetar un operador$\hat{\psi}^\dagger(x)$, que debe considerar ante todo como una combinación de símbolos que etiqueta a un operador.

Por supuesto, hay una razón por la que Cohen-Tannoudji et al. elegir esa combinación particular de símbolos para etiquetar su operador. Lo que está tratando aquí no es solo un único operador fijo, sino un conjunto infinito de operadores, uno asociado con cada punto espacial.$x$. En otras palabras,$\hat{\psi}^\dagger(x)$es el resultado de una asignación de puntos a operadores. Esto también se conoce como un campo con valores de operador. El mapeo está implícitamente definido por la regla

$$\hat{\psi}^\dagger(x)\lvert 0\rangle = \lvert x\rangle$$

o en palabras,

$\hat{\psi}^\dagger$mapea el punto$x$al operador que transforma el estado$\lvert 0\rangle$en el estado$\lvert x\rangle$

(supongo que$\lvert x\rangle$y$\lvert 0\rangle$ya han sido adecuadamente definidos, y que el espacio del operador está adecuadamente definido y/o restringido de manera que existe una elección única de operador que transforma el último en el primero).

Cuando tiene un campo de operador, puede usarlo de la misma manera que usaría cualquier otra función; en particular, puede usarlo en una integral. Recuerda que una integral es, en principio, una suma de un número infinito de contribuciones infinitesimales. Cuando escribes algo como

$$c = \int\mathrm{d}x f(x)$$

estás calculando el producto$f(x)\mathrm{d}x$en cada$x$y sumándolos todos. Tienes una regla para sumar valores de funciones, por lo que puedes convertir esta integral en un número. Del mismo modo, una integral como

$$\lvert c\rangle = \int\mathrm{d}x\lvert x\rangle$$

es la suma "ponderada" de todos los kets$\lvert x\rangle\mathrm{d}x$(dónde$\mathrm{d}x$es el "peso") asociado con diferentes posiciones. A diferencia del caso anterior, es posible que no pueda simplificar directamente esta integral tal como está, aparte de inventar un nuevo símbolo para ella ($\lvert c\rangle$), pero puede "guardarlo" hasta un punto posterior del cálculo en el que pueda hacer algo con él. Por ejemplo, si luego se le pide que calcule$\langle y\rvert c\rangle$, puedes usar la definición de$\lvert c\rangle$escribir

$$\langle y\rvert c\rangle = \langle y\rvert\biggl(\int\mathrm{d}x\lvert x\rangle\biggr) = \int\mathrm{d}x\langle y\rvert x\rangle = \int\mathrm{d}x\delta(y - x) = 1$$

o equivalente,

$$\langle y\rvert c\rangle = \langle y\rvert\biggl(\int\mathrm{d}x\hat{\psi}^\dagger(x)\lvert 0\rangle\biggr) = \int\mathrm{d}x\langle y\rvert \hat{\psi}^\dagger(x) \lvert 0\rangle = \int\mathrm{d}x\delta(y - x) = 1$$

O si luego se le pide que aplique un operador a$\lvert c\rangle$, asumiendo que el operador es lineal (y por lo tanto conmuta con integración), puede usar el mismo tipo de truco.

Finalmente, mencionaste estar confundido en cuanto a por qué$\hat{\psi}^\dagger(x)$está escrito de una manera que parece una función pero$\hat{a}_k^\dagger$se escribe con subíndice. Esa es solo una elección estética; Ambos significan la misma cosa. Tal como$\hat{\psi}^\dagger(x)$es el operador asociado al punto$x$por algún mapeo particular, entonces$\hat{a}^\dagger_k$es el operador asociado con el número de onda$k$por algún mapeo particular. También podrías escribirlo como$\hat{a}^\dagger(k)$, o escribir el otro como$\hat{\psi}^\dagger_x$.

Un operador es una función ¹ , nada más. No cualquier función es un operador (en el sentido en que se usa la palabra en QM); En particular,$\hat\psi^\dagger$no es un operador. Es una función de mapeo de coordenadas espaciales.$x$a – operadores! Podríamos escribirlo

$$\hat\psi^\dagger \colon\quad \mathbb{R}^3 \to (\mathscr{E} \to \mathscr{E}).$$ Por eso, $\hat\psi^\dagger(x) \colon \mathscr{E} \to \mathscr{E}$, es decir, es solo un operador. Ahora, esa notación con múltiples flechas (desafortunadamente, en mi opinión) rara vez se usa en física, pero se usa todo el tiempo en programación funcional . Eche un vistazo a cualquier fragmento de código de Haskell y encontrará muchas firmas tipográficas como

map :: (a -> b) -> ([a] -> [b])

lo que parece, supongo, un poco desconcertante al principio. Pero en realidad es bastante simple; a través de una técnica matemática muy fundamental llamada (un) curry , sabemos que una función que devuelve una función es básicamente solo una función de dos argumentos :

$$A \to (B \to C) \simeq (A,B) \to C$$ Aplicado al ejemplo de Haskell, esto nos dice que la mapfunción podría escribirse en un lenguaje de programación con sintaxis similar a C como algo así como ²

b[] map( (*b)(a) f, a[] vals );

Aplicado a nuestro tema de mecánica cuántica, significa que también podríamos escribir

$$\hat\psi^\dagger \colon\quad (\mathbb{R}^3, \mathscr{E}) \to \mathscr{E}$$

$\hat\psi^\dagger$es una función que toma coordenadas espaciales y un vector ket, y devuelve un vector ket.

...que es un poco obvio. La única diferencia es que ahora escribiríamos$\hat\psi^\dagger(x, |0\rangle)$en vez de$\hat\psi^\dagger(x)|0\rangle$. Resulta que la última forma habitual de escribirlo es mucho más conveniente, pero en realidad es solo una transformación de sintaxis trivial.

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¹ De hecho, los operadores ilimitados como la posición en el espacio continuo no son funciones en todo el espacio de Hilbert. Todavía son funciones, pero solo en un subconjunto denso; en física, esta sutileza a menudo se descuida.

² En C++ realmente válido, podría ser

template<typename A, typename B>
std::list<B> map(std::function<B(A)> f, std::list<A> vals);

Ya tiene muchas respuestas excelentes a su pregunta principal, pero aún queda algo de claridad con respecto a su punto final:

¿Cómo integro sobre el vector ket?$e^{ikx}\hat{\psi}^\dagger(x)\lvert\phi\rangle$? Tal operación no parece estar definida. Puedo integrar sobre números complejos, pero no kets.

Esencialmente, su pregunta se reduce a esto:

tengo una funcion$f:\mathbb R\rightarrow\mathcal H$que toma números reales$x\in\mathbb R$en vectores$|f(x)\rangle$en algún espacio de Hilbert$\mathcal H$. ¿Es posible definir la integral?

$$|F\rangle=\int\text dx \,|f(x)\rangle\text ?$$

Para responder a esto, me gustaría señalar que la pregunta en sí es independiente de si$\mathcal H$es de dimensión finita o no (aunque la respuesta puede serlo). En particular, para$\mathcal H=\mathbb R^3$y cambiando$x$durante algún tiempo$t$, puedes reformular esto como, por ejemplo, encontrar el impulso$\mathbf I=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf F(t)\text dt$debido a alguna fuerza$\mathbf F(t)$.

Entonces, ¿cómo abordar un problema de este tipo? Una forma de hacer esto es considerar sumas de Riemann de la función sobre cuadrículas cada vez más finas, y esto estará bien donde se defina, tanto en el caso de dimensión finita como en el de dimensión infinita. Sin embargo, cualquier teoría seria de integración realmente debería tratar con medidas e integrales de Lebesgue para que sean de mucha utilidad, ya que se encuentran en el corazón de todos los teoremas de convergencia fuerte.

Para usar la fuerte maquinaria de la integración de Lebesgue, el enfoque correcto resulta ser una toma reflexiva de la idea ingenua:

Hágalo componente por componente.

Esto es generalmente lo que terminas haciendo en el espacio euclidiano 3D de todos modos, ¿verdad? Sin embargo, decir "componentes" implica un compromiso con una determinada base. Para eliminar esto, debería ver los "componentes" simplemente como funciones lineales de valor real en su espacio de Hilbert:$F_i=\hat{\mathbf e}_i \cdot \mathbf F$. Lo crucial, entonces, son los funcionales lineales , que viven en el espacio dual$\mathcal H^\ast$, también conocidos como sujetadores.

Para poner esto sobre una base más firme, entonces, su integral$|F\rangle$se define para que coincida con la integral por componentes de su función en cualquier base.

la integral$|F\rangle=\int\text dx \,|f(x)\rangle$de una función vectorial$f:\mathbb R\rightarrow\mathcal H$es el vector$|F\rangle$tal que

$$\langle \phi|F\rangle=\int\text dx \,\langle\phi|f(x)\rangle$$ para todos los sujetadores $\langle \phi|\in\mathcal H^\ast$, si tal vector existe.

Esto ahora traduce el problema (difícil) de integrar funciones de valor ket en el problema (más fácil) de integrar funciones de valor complejo. Por supuesto, esto necesita mucha más precisión en cuanto a qué clases de sujetadores están permitidos y qué sucede si algunas de esas integrales no están definidas o son divergentes, pero en mi opinión, esos son detalles no cruciales.

Sin embargo, esto simplemente aleja el problema y lo oculta dentro de la frase comadreja "si existe". ¡No puede simplemente definir su problema! Dada la definición anterior, todavía tiene la carga de la prueba de teoremas para demostrar que su definición es lo suficientemente general como para incluir las clases de funciones que podría encontrar útiles. Aquí hay un breve bosquejo de cómo prueba que la integral existe y en qué condiciones:

• Definir algún tipo de clase aceptable de sujetadores$\langle \phi|$sobre el que desea proyectar.
• Defina "funciones con valor ket integrables" como aquellas$|f(x)\rangle$tal que la función de valor complejo$\langle \phi|f(x)\rangle$es Lebesgue integrable para todos aceptable$\langle \phi|$.
• A continuación, puede definir la integral$\int\text dx \,\langle\phi|f(x)\rangle$para todos aceptable$\langle \phi|$. Esto es lineal en$\langle \phi|$y es continuo (por lo que también puede linealizar sobre sumas infinitas) para un buen comportamiento$|f(x)\rangle$.
• Esto entonces define un mapa lineal continuo$\langle\phi|\mapsto\int\text dx \,\langle\phi|f(x)\rangle\in \mathbb C$; es decir, un elemento del doble dual$\mathcal H^{\ast\ast}$.
• Para un espacio reflexivo de Hilbert, el doble dual es canónicamente isomorfo a$\mathcal H$, lo que significa que tu elemento del doble dual corresponde a algún ket en$\mathcal H$.
• ¡Bingo! ese ket es$|F\rangle$.

No creo que sea particularmente útil distinguir un operador de una función, pero tal vez esto ayude: Si$x$es una variable de tipo$\mathbb R$y$V$es un espacio vectorial, entonces para un término fijo$x_0\in \mathbb R$, el objeto$A(x_0)$es un operador de tipo$V\to V$. El objeto$A(x)$con$x$libre es de tipo$\mathbb R\to(V\to V)$.

Algo más en lo que pensar: considere la ecuación de Schrödinger

$$\forall t.\ i \hbar\ \dot \Psi (t)=H \Psi(t)$$ con $\dot \Psi (t):=\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt} (t)$. Por cada fijo $t_0$el objeto $\Psi(t_0)$es un elemento del espacio de Hilbert $\mathcal H$. los tres objetos $\Psi$, $\dot \Psi$y $H \Psi$todos son de tipo $\mathbb R\to\mathcal H$. El objeto $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$es de tipo $(\mathbb R\to\mathcal H)\to(\mathbb R\to\mathcal H)$y de la ecuación de Schrödinger dirías que sí es $H$. Lo que quiero decir es que en la definición de hamiltonianos, generalmente configuras objetos $H':\mathcal H\to \mathcal H$. Por ejemplo, si define $H':=\sum_k \hbar\omega_k\, a_k^\dagger a_k$. Para obtener la expresión de la derecha en la ecuación de Schrödinger a partir de tal $H'$, primero debe arreglar tomar un vector $\Phi$y arreglar $t$, evaluar a $\Psi(t)$que es de tipo $\mathcal H$(y no del tipo $\mathbb R\to\mathcal H$), luego aplicar $H'$y finalmente (lambda) abstraer la variable $t$otra vez. Asi que $H=\lambda\Psi. \lambda t$. Asi que $H=\lambda\Psi.\,\lambda t.\,H'\left(\mathrm{eval}(\Psi,t)\right)$.

Consulte Apply#Universal_property , Lambda_abstraction .