¿Qué es exactamente FFF en W=∫baFdxW=∫abFdxW = \int_{a}^{b} F dx?

Lo que les he estado diciendo a los estudiantes en la clase de introducción a la mecánica I TA es que cada fuerza corresponde a una cierta cantidad de trabajo. Las contribuciones individuales de trabajo se suman al trabajo neto (o total), al igual que las fuerzas individuales se suman a la fuerza neta.

Entonces, por ejemplo, cuando levantas una caja del piso a una mesa, hay dos fuerzas que actúan sobre esa caja: la fuerza$\vec{F}_\text{lift}$aplicas para levantarlo, y la fuerza de la gravedad,$\vec{F}_g = -mg\hat{y}$. Puede calcular la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de elevación como

y puede calcular la cantidad de trabajo realizado por la fuerza gravitacional como

En un escenario típico de un problema de física, estarías levantando la caja a velocidad constante (excepto por los breves momentos en que inicias y detienes su movimiento, que ignoraré por ahora). En este caso, podrías dibujar un diagrama de cuerpo libre y usar la segunda ley de Newton.$\vec{F} = m\vec{a}$para descubrir que su fuerza de elevación tiene que ser igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza gravitacional:

Armado con este resultado, puede calcular el trabajo realizado por cada fuerza individual (¡pruébelo!):$W_\text{lift} = mgh$y$W_g = -mgh$. El trabajo neto realizado es cero.

También puede calcular el trabajo neto a partir de la fuerza neta,

En este caso, la fuerza neta es$\vec{F}_\text{lift} + \vec{F}_g$, que es cero (porque la caja se mueve a velocidad constante, recuerda$\vec{F}_\text{net} = m\vec{a}$). Entonces, de nuevo, el trabajo neto es cero.

"Pero espera", dices, "pensé que el trabajo hecho fue$mgh$!" Bueno, lo es, si solo considera el trabajo que hizo para levantar la caja. Esto es lo que mediría si usara una grúa para levantar la caja, por ejemplo: la cantidad de trabajo que debe realizar el la grúa es$mgh$. Sin embargo, la gravedad hizo la cantidad de trabajo opuesta, que canceló el trabajo que hiciste (excepto por esos breves momentos al principio y al final, pero esas dos contribuciones se cancelan entre sí de todos modos). Entonces, el trabajo total realizado por todas las fuerzas involucradas es cero.

Esto puede parecer un poco confuso; quizás se esté preguntando, si el trabajo total realizado es cero, ¿cómo aumentó la energía potencial gravitatoria de$0$a$mgh$? El truco ahí es que el "trabajo realizado por la gravedad"$W_g$es en realidad la energía potencial gravitatoria bajo un nombre diferente. Para fuerzas conservativas, definimos$\Delta U_i = -W_i$: el cambio en un cierto tipo de energía potencial es el negativo del trabajo realizado por la fuerza correspondiente a esa energía potencial.

En este caso, la fuerza gravitacional realiza trabajo.$-mgh$, por lo que el cambio en la energía potencial gravitatoria debe ser$mgh$. Pero una vez que empiezas a llamarlo un cambio en la energía potencial gravitacional, ya no puedes llamarlo una contribución al trabajo, y eso te deja solo con el$W_\text{lift} = mgh$contribución. Entonces, en ese caso, si etiqueta la "acción" de la gravedad como un cambio en la energía potencial en lugar de un trabajo, el trabajo realizado es$mgh$.

El trabajo de su levantamiento es igual y opuesto al trabajo de mgh gravitatorio a través de la Tercera Ley de Newton.

Apuesto a que te preguntan cuál es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

Correctamente, puedes imaginar que una fuerza conservativa es una fuerza que satisface$\nabla \times F =0$. Si esto es cierto, entonces el trabajo neto realizado por esta fuerza alrededor de cualquier curva cerrada es cero. Resulta que también hay una identidad central de cálculo vectorial que te dice que si$\vec F$es conservativo, entonces para algún campo escalar$V(x)$, tienes$\vec F=-\vec \nabla V$. Luego, comienza con el teorema del trabajo y la energía y divide tus fuerzas en fuerzas conservativas y no conservativas:

donde definimos$\Delta PE$como el cambio total en$V(x)$sobre nuestro camino, y usamos el teorema fundamental del cálculo para hacer la integral que define el trabajo realizado por las fuerzas conservativas.

Por tanto, el cambio de energía mecánica del sistema viene dado por el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Dado que su sistema gana$mgh$energía potencial, era necesario que las fuerzas externas hicieran$mgh$de trabajo.

Pero tiene razón al decir que el trabajo neto en el sistema es cero: el cambio en la energía cinética del sistema es cero, por lo que el teorema del trabajo y la energía dice que el trabajo neto realizado también debe ser cero. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional cancela el trabajo realizado al levantar el libro. Es solo que rara vez tratamos los problemas de esta manera, prefiriendo dar cuenta de las fuerzas conservativas utilizando el concepto de energía potencial.

La fuerza que usa no está incluida porque el trabajo se define con la idea en mente de dar cuenta del trabajo que debe poner en un sistema para obtenerlo.$a$a$b$. En el caso de la mesa de altura$h$, es$mgh$, como correctamente señalas.

Como no trabajas contra ti mismo, no incluyes tu propia fuerza.

El otro punto es que el trabajo realizado en un sistema (al menos en los llamados potenciales conservativos) no se pierde, sino que se almacena en el objeto: si levanta su objeto a la mesa, ha realizado un trabajo$mgh$y esto se almacena como energía potencial en el objeto. Si dejas caer el objeto de la mesa, esta energía se convierte en energía cinética. En la parte inferior, tendrás$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$, para que puedas calcular la velocidad con la que el objeto golpeará el suelo. La fuerza que usaste para levantar el objeto no contribuye a esta energía potencial.

Si, además de la gravedad, un amigo tuyo también tirara hacia abajo del objeto con una fuerza constante, entonces tendrías que sumar la fuerza que usa a la fuerza gravitacional para calcular tu trabajo.