Aclaración sobre el desplazamiento en la definición de Trabajo

La definición de trabajo nos da una forma de calcular el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de un camino, pero en la práctica no siempre está claro qué camino tomar en consideración.

La integral de línea$\int\mathbf F\cdot \text d\mathbf x$siempre sigue el punto de aplicación de la fuerza.

Además, este hecho de que el trabajo se define a lo largo de una trayectoria no se tiene en cuenta al aplicar la conservación de la energía.

Esto se debe a que con la conservación de la energía por lo general estamos viendo$\Delta K$y$\Delta U$. El primero puede determinarse simplemente a través de las velocidades, y el segundo es independiente de la trayectoria. Desde$W_\text{ext}=\Delta K+\Delta U$, o dicho de otra manera$W_\text{net}=\Delta K$, no necesariamente necesitamos pensar en integrales de línea para ver el trabajo realizado en muchos contextos. Este es en realidad uno de los beneficios de considerar la energía.

Me gustaría dar un ejemplo para aclarar mi posición. Hay una bola rodando de puro rodar por una pendiente (v=wR) con fricción. Me han dicho que en este caso la fricción no genera trabajo porque aunque la bola (el objeto sobre el que se aplica la fricción) se mueve, el punto de contacto, donde se aplica la fricción, no se mueve en relación con la pendiente.

Si eso es correcto. El punto en contacto con la pendiente siempre está instantáneamente en reposo con respecto a la pendiente con rodadura sin deslizamiento. Por lo tanto, no se realiza trabajo en el marco de reposo de la pendiente.

Incluso si quisiera tratar la fuerza de fricción como si estuviera realizando un trabajo, encontrará que... no realiza ningún trabajo. Si la bola de radio$R$rueda una distancia$x$abajo de la pendiente, entonces la fuerza de fricción$F$funciona$-Fx$con el desplazamiento de traslación y$FR\Delta\theta=FR\cdot(x/R)=Fx$con el desplazamiento rotacional. Esto todavía da un trabajo total de$0$.

Además, este hecho de que el trabajo se define a lo largo de una trayectoria no se tiene en cuenta al aplicar la conservación de la energía. ¿Alguien podría aclarar estos puntos?

No está muy claro lo que está preguntando, pero parece que está preguntando sobre la diferencia entre el trabajo realizado por una fuerza conservativa, que es independiente de la trayectoria, y el trabajo realizado por una fuerza no conservativa, como la fricción, que depende de la trayectoria. Así que mi respuesta se basa en esa suposición. Si eso no es correcto, házmelo saber y lo revisaré o lo retiraré.

La energía mecánica, es decir, la suma de la energía potencial (PE) y la energía cinética (KE) a nivel macroscópico, se conserva cuando el trabajo lo realiza una fuerza conservativa, como las fuerzas de gravedad, electrostática y elástica, porque dicho trabajo es independiente del camino.

Sin embargo, la conservación general de la energía aún se aplica al trabajo realizado por fuerzas no conservativas, como la fricción cinética, cuando se incluye el cambio en la energía cinética a nivel microscópico, es decir, la energía cinética atómica y molecular. El trabajo negativo realizado por la fricción cinética convierte la KE macroscópica (pérdida de KE del objeto en movimiento) en KE microscópica (aumento de la KE molecular, es decir, aumento de la KE interna del material en las superficies de fricción).

En el caso de una pelota que rueda puramente por una pendiente con fricción, como usted sabe, la fricción estática no produce trabajo. Pero permite que la bola ruede sin deslizarse, de modo que el trabajo realizado por la componente de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el bloque, que es una fuerza conservativa, convierte la PE gravitatoria en una combinación de KE traslacional más rotacional.

Sin fricción, la bola se deslizaría por la pendiente sin rodar, por lo que el GPE se convertirá solo en KE traslacional. Entonces se convierte en una especie de equivalente a una bola en caída libre en un campo gravitacional reducido de$g\sin\theta$dónde$\theta$es el ángulo de la pendiente.

Espero que esto ayude.

El efecto de la fricción de rodadura es disminuir la fuerza neta:$F_{net} = mgsin(\theta) - F_{fric}$.

$$F_{net} = ma \implies mgsin(\theta) - F_{fric} = m\frac{dv}{dt}$$

Cuando no hay deslizamiento, la fuerza de fricción se puede expresar en términos del momento de inercia y la aceleración angular.

$$F_{fric} R = I\frac{d\omega}{dt} \implies F_{fric} = \frac{I}{R}\frac{d\omega}{dt}$$

Como$v = \omega R$, y multiplicando ambos lados por dx

$$dw = mgsin(\theta)dx = m\frac{dv}{dt}dx + \frac{I}{R^2}\frac{dv}{dt}dx = (m + \frac{I}{R^2})\frac{dx}{dt}dv = (m + \frac{I}{R^2})vdv$$

$$vdv = \frac{1}{2}d(v^2) \implies dw = \frac{1}{2}(m + \frac{I}{R^2})d(v^2)$$

El trabajo de la fuerza de gravedad da como resultado un aumento de la energía cinética de traslación (primer término) y la energía cinética de rotación (segundo término). Si hubiera algún deslizamiento, solo una parte del par daría como resultado una aceleración angular

$$F_{fric} R - \Delta = I\frac{d\omega}{dt}$$ En este caso, la expresión final$dw$sería:$mgsin(\theta)dx - \Delta dx$, siendo este último el trabajo de la fuerza de fricción. Sin deslizamiento, todo el trabajo de la fuerza gravitatoria da como resultado energía cinética.