¿Cómo se motiva la definición de trabajo?

Question

¿Cómo se motiva la definición de trabajo?

Baylee V

Para la mayoría de las variables dinámicas en la física clásica, puedo entender cómo uno puede haber decidido introducirlas como resultado de alguna "incompletitud" en las leyes del movimiento de Newton. Por ejemplo:

A uno le gustaría decir que aplicar una fuerza a un objeto a lo largo del tiempo "le da" algo, por lo que el impulso debe introducirse como $\begin{aligned} pag = \int_{0}^{t} F (t^{'}) d t^{'}, o como alguna cantidad tal que F = \frac{d pag}{d t} . \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbf p = \int _0 ^t \mathbf F(t') dt', \text{ or as some quantity such that }\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt}. \end{align}$
Es útil para describir fuerzas que resultan en cambios en la velocidad angular $\mathbf{ \omega = v \times r}$ , por lo que lleva a la definición de momento angular y par.
Para algunas fuerzas es conveniente decir que sirven para hacer que un sistema se acerque a algún estado estable, sin importar cuál sea su condición inicial. Tome un trompo, por ejemplo. No importa cómo lo gire, siempre se acercará a una mayor "estabilidad" al caer sobre la mesa. La definición de energía potencial en la ecuación. $\mathbf F = -\nabla U$ enfatiza la idea de aumentar la "estabilidad", o disminuir el potencial, cuando una fuerza actúa sobre algo.

Todos estos ejemplos involucraron algún tipo de observación físicamente obvia (ejercer una fuerza le da algo a un objeto, las fuerzas a veces giran las cosas, algunas fuerzas hacen que las cosas sean más estables), a lo que la respuesta fue modelar la idea usando las leyes de Newton. Incluso se puede hacer algo similar con la energía cinética, usando la definición de trabajo, diciendo que un cambio en la energía cinética es solo una forma alternativa para el trabajo realizado sobre algún objeto.

Pero hay algo en el trabajo que simplemente no me motiva en absoluto. El trabajo realizado sobre un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria. $\gamma$ Se define como

\begin{aligned} W = \int_{γ} F \cdot d r, \end{aligned}

$\begin{align} W = \int _\gamma \mathbf F \cdot d\mathbf r, \end{align}$ pero simplemente no veo cómo esta es una cantidad que "necesitaba" existir. Por supuesto, es una cantidad muy útil, pero todavía tengo problemas para entender lo que realmente significa intuitivamente.

Las definiciones de Internet (e incluso las de los libros de texto) no ayudan mucho; a menudo, la energía cinética se define aleatoriamente a partir de la cual se deriva la definición de trabajo, el trabajo se define aleatoriamente a partir de la cual se deriva la definición de energía cinética, o (mi menos favorito) se emplea una definición circular, donde la energía se define como la capacidad de hacer trabajo, y el trabajo se define como la energía transferida a un objeto.

Entonces, ¿cuál es el significado real del término "trabajo", incluso antes de hablar de energía?

(Debo aclarar que no necesariamente quiero saber la motivación histórica para la definición de trabajo. Soy consciente de que a veces las cosas simplemente "aparecen" en física debido a la experimentación con números, etc. Supongo que me pregunto qué enfoque "constructivista" a la definición de trabajo es.)

Andrés

¿Por qué encuentra que "aplicar una fuerza a un objeto a lo largo del tiempo" le da "algo" intuitivo, mientras que "aplicar una fuerza a un objeto a lo largo de la distancia" le da "algo" no intuitivo?

Baylee V

Andrew Esto parece ser lo más cercano a lo que estaba preguntando en mi pregunta. Supongo que la noción de trabajo en ese sentido viola mis intuiciones sobre la causalidad. Con el impulso, puedes ver claramente que la fuerza le está dando impulso a la partícula porque actuó sobre la partícula durante algún tiempo. Pero con la idea de una fuerza que actúa a distancia, es como si el tiempo se hubiera considerado "sin importancia". El trabajo realizado solo está indirectamente relacionado con el tiempo en el que sucedió, ya que ahora está directamente relacionado con la distancia. Sin embargo, este breve comentario ya me ha dado mucho que pensar.

Andrés

Esa es una buena observación. Una cosa para pensar es que el trabajo es un medio para transferir energía de una forma a otra. Por ejemplo, un resorte comprimido tiene mucha energía potencial. Cuando se suelta, el resorte puede realizar trabajo en un bloque conectado a él, convirtiendo la energía potencial en energía cinética del bloque. Desde este punto de vista, tal vez podamos ver por qué el tiempo no es tan importante. La velocidad a la que la energía potencial del resorte se convierte en trabajo depende del proceso (por ejemplo, si aplicamos una fuerza contraria), pero la cantidad total de energía disponible para el trabajo no.

Respuestas (3)

¿Cómo se motiva la definición de trabajo?

¿Por qué encuentra que "aplicar una fuerza a un objeto a lo largo del tiempo" le da "algo" intuitivo, mientras que "aplicar una fuerza a un objeto a lo largo de la distancia" le da "algo" no intuitivo?
Andrew Esto parece ser lo más cercano a lo que estaba preguntando en mi pregunta. Supongo que la noción de trabajo en ese sentido viola mis intuiciones sobre la causalidad. Con el impulso, puedes ver claramente que la fuerza le está dando impulso a la partícula porque actuó sobre la partícula durante algún tiempo. Pero con la idea de una fuerza que actúa a distancia, es como si el tiempo se hubiera considerado "sin importancia". El trabajo realizado solo está indirectamente relacionado con el tiempo en el que sucedió, ya que ahora está directamente relacionado con la distancia. Sin embargo, este breve comentario ya me ha dado mucho que pensar.
Esa es una buena observación. Una cosa para pensar es que el trabajo es un medio para transferir energía de una forma a otra. Por ejemplo, un resorte comprimido tiene mucha energía potencial. Cuando se suelta, el resorte puede realizar trabajo en un bloque conectado a él, convirtiendo la energía potencial en energía cinética del bloque. Desde este punto de vista, tal vez podamos ver por qué el tiempo no es tan importante. La velocidad a la que la energía potencial del resorte se convierte en trabajo depende del proceso (por ejemplo, si aplicamos una fuerza contraria), pero la cantidad total de energía disponible para el trabajo no.

Claudio Saspinski · Answer 1

La motivación para mí son todas esas herramientas antiguas para facilitar el movimiento de cosas como palancas, poleas o engranajes.

Está claro que algo se mantiene constante en el equilibrio entre desplazamiento y fuerza. Esa constante recibe el nombre de trabajo.

JEB · Answer 2

El trabajo es lo que hace que la energía cinética sea galileana invariante. Supongamos que tienes una pelota con masa $m$ , en un resorte ( $k$ ), comprimida una distancia $L$ .

Ese sistema tiene energía, en términos de cinética ( $T_i$ ) y potencial ( $U_i$ ):

{mi}_{i} = T_{i} + {tu}_{i} = 0 + \frac{1}{2} k L^{2}

$E_i = T_i + U_i = 0 + \frac 1 2 k L^2$

Luego sueltas el resorte y las bolas ruedan con velocidad. $u$ , de modo que:

{mi}_{F} = T_{F} + {tu}_{F} = \frac{1}{2} metro {tu}^{2} + 0

$E_f = T_f + U_f = \frac 1 2 m u^2 + 0$

con $u^2 = L^2k/m$ de modo que:

Δ mi = {mi}_{i} - {mi}_{F} = 0

$\Delta E = E_i-E_f = 0$

(Tenga en cuenta que puede escribir $u = \nu L$ , dónde $\nu$ es el período del oscilador resorte/masa).

En términos de fuerzas, por supuesto, la fuerza $kL$ se aplicó a distancia $L$ , por lo que el trabajo realizado por el resorte fue:

W = \int_{0}^{L} k X d X = \frac{1}{2} k L^{2}

$W = \int_0^Lkxdx = \frac 1 2 kL^2$

Ahora haz eso en un marco que se mueve a $v$ :

{mi}_{i}^{'} = T_{i}^{'} + {tu}_{i}^{'} = \frac{1}{2} metro v^{2} + \frac{1}{2} k L^{2}

$E'_i = T'_i + U'_i = \frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 kL^2$

y suelta el resorte:

{mi}_{F}^{'} = T_{F}^{'} + {tu}_{F}^{'} = \frac{1}{2} metro (v + tu)^{2} + 0

$E'_f = T'_f + U'_f = \frac 1 2 m (v+u)^2 + 0$

{mi}_{F}^{'} = \frac{1}{2} metro v^{2} + \frac{1}{2} k L^{2} + metro v tu

$E'_f = \frac 1 2 mv^2 + \frac 1 2 kL^2 + mvu$

Ahora:

Δ {mi}^{'} = {mi}_{i}^{'} - {mi}_{F}^{'} = metro v tu

$\Delta E' = E'_i - E'_f = mvu$

Esto puede estar distribuyendo. Está claro por qué la conservación del impulso sobrevive a un impulso galileano (ya que su velocidad es lineal), pero la energía parece problemática.

donde fue $mvu$ ¿viene de?

Es trabajo. Debido a que el resorte se está moviendo, está aplicando una fuerza sobre una distancia mucho mayor que $L$ . La fuerza se aplica sobre una distancia de:

d = L + \frac{1}{4} \frac{v}{v}

$d = L + \frac 1 4 \frac v {\nu}$

y el trabajo realizado es el marco móvil es

W = \frac{1}{2} k L^{2} + metro v tu

$W = \frac 1 2 k L^2 + mvu$

El problema que tengo con esta respuesta es que asume que la fórmula para la energía cinética es $\frac{1}{2} mv^2$ , antes de introducir la noción de trabajo. Entonces, la pregunta se convierte en "¿Por qué la energía cinética es una cantidad que debería existir?", Lo cual me parece mucho más difícil de justificar, ya que implica un término al cuadrado y un factor de 1/2. Por supuesto, podría justificar su existencia en términos de trabajo, que es la definición circular que no me gusta.

GedankenExperimentista · Answer 3

Las fuerzas fundamentales en la mecánica newtoniana, a saber, las fuerzas de gravedad y de columna, dependen de la distancia en lugar del tiempo, por lo que se vuelve sensato escribir $F=mv\frac {dv}{dx}$ en lugar de $F= m\frac {dv}{dt}$

Las siguientes imágenes son de mis notas personales, no pude copiar y pegar el texto debido a algunos problemas. Disculpas por eso.

Si bien la prueba del teorema del trabajo y la energía es correcta, en realidad no aborda el problema central: ¿por qué el trabajo y la energía tienen las fórmulas que tienen y qué experimentos motivaron su introducción?
@catalogue_number si estoy en lo correcto, entonces usted está preguntando por qué nuestra noción intuitiva de energía toma la forma de fórmulas de la forma en que lo hace. En otras palabras, ¿cuál es la relación entre el mv^2/2 y el proceso físico que hace que el objeto ¿mover?
Hmmm... después de releer todo el hilo, veo de dónde vienes. si asumes $F = \frac{dp}{dt} = -\nabla U$ , y además que $p=mv$ , entonces ves la equivalencia entre trabajo y energía.

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Baylee V

Andrés

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Claudio Saspinski

JEB

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