¿Qué es el correlador ordenado fuera del tiempo para el sistema de fermiones libres?

En primer lugar, su definición de OTOC es incorrecta. Se supone que está compuesto por las versiones estática y evolucionada en el tiempo del mismo operador, por lo que debería decir$C(t) = - \langle [\hat{V}(t),\hat{V}(0)]^2 \rangle$. El signo menos se ha convertido en estándar en el campo.

La comprensión de esta función no es tan difícil de comprender: si$\hat{V}(t)$y$\hat{V}(0)$viaje diario para todos los tiempos, no pasa nada. Su pregunta, con respecto al caso de fermiones libres, se puede generalizar para todos los casos en los que$\hat{V}$conmuta con el hamiltoniano: no pasa nada. Esto tiene sentido, ya que si estás buscando algo que podría llamarse caos , entonces no debería surgir con una evolución temporal tan trivial. Pero si su evolución en el tiempo es lo suficientemente interesante como para proporcionar operadores que dejen de viajar, entonces su OTOC comienza a emitir cosas significativas. Se postuló que una tasa de crecimiento de la versión OTOC especial (impulso) debería estar estrechamente relacionada con los exponentes de Lyapunov, algo que no resultó ser exactamente cierto , pero lo suficientemente cercano en algunos aspectos. La razón detrás de este postulado con respecto a la cantidad de movimiento-OTOC es que, usando una función de prueba$f$y la base de posición estática,

$$\begin{align} [\hat{p}(t), \hat{p}(0) ]f &= -i \hbar \left[ \hat{p}(t) \frac{\partial f}{\partial q(0)} - \frac{\partial}{\partial q(0)}(\hat{p}(t) f) \right] \\ &= (i \hbar f) \frac{\partial \hat{p}(t)}{\partial q(0)} \, , \end{align}$$

de modo que

$$\begin{align} C(t) &= -\langle [\hat{p}(t), \hat{p}(0) ]^2 \rangle \\ &= \hbar^2 \bigg\langle \left( \frac{\partial \hat{p}(t)}{\partial q(0)} \right)^2 \bigg\rangle \\ &\approx \bigg\langle \left( \frac{\Delta{p}(t)}{\Delta q(0)} \right)^2 \bigg\rangle_{\text{phase space}} \quad (\equiv C_{cl}(t))\, , \end{align}$$

es decir, para tiempos menores que el tiempo de Ehrenfest, esta aproximación debería ser bastante razonable. Ahora, si estamos hablando de un mapa caótico, significa que para pequeñas desviaciones en la posición tendremos desviaciones muy grandes (exponenciales) en el momento. Esto sugiere que, después de un pequeño análisis,

$$\begin{align} C_{cl} (t) &\approx (e^{ \Lambda t})^2 \\ \Rightarrow \Lambda &= \lim_{t \to \infty} \lim_{\Delta q(0) \to 0} \frac{1}{2t} \ln \left[ \frac{C_{cl}(t+1)}{C_{cl}(1)} \right] \, . \end{align}$$

La expresión clásica para el exponente de Lyapunov viene dada por

$$\begin{align} \lambda = \lim_{t \to \infty} \lim_{\delta Z(0) \to 0} \frac{1}{t} \ln \left( \frac{|\delta Z(t)|}{|\delta Z(0)|} \right) \, , \end{align}$$

dónde$\delta Z$representa la separación entre trayectorias y$|.|$la norma. Date cuenta cómo$\Lambda$y$\lambda$son muy similares. Esto motiva el estudio de los OTOC en el contexto del caos cuántico.