¿Qué dice el corrimiento al rojo cosmológico acerca de la velocidad de separación y por qué?

Question

¿Qué dice el corrimiento al rojo cosmológico acerca de la velocidad de separación y por qué?

máx.

Últimamente he estado pensando en el desplazamiento al rojo cosmológico y, en particular, en su efecto sobre la velocidad aparente de separación. En particular, imaginemos una fuente que emite pulsos de luz con un período de $\tau_e=1$ a una fuente una distancia $D$ lejos en la actualidad. Si se emitiera un pulso en algún momento $T$ entonces la distancia entre la fuente y el observador en el momento en que se observa este pulso (llamemos a este tiempo $x_T$ ) sería $\int_{T}^{x_T} \frac{a(x_T)}{a(t)}cdt=Da(x_T)$ . Ahora bien, si dejamos $a(t)=nt$ (para simplificar, consideremos al menos el caso en el que la tasa de cambio del factor de escala es constante), evalúe la integral y resuelva para $x_T$ , obtenemos $x_T=Te^\frac{Dn}{c}$ . El período observado de los pulsos sería simplemente el tiempo transcurrido después de la llegada de un pulso y antes de la llegada del siguiente, por lo que $\tau_o=x_T-x_{T-1}=e^\frac{Dn}{c}$ , y por lo tanto $\lambda_o=e^\frac{Dn}{c}$ C. Como podemos ver, esta expresión depende solo de la distancia inicial entre la fuente y el observador y la tasa de cambio del factor de escala, no de la velocidad de separación entre la fuente y el observador.

Intuitivamente, entonces, me parecería que el corrimiento al rojo no puede ser una medida de la velocidad de separación; en todo caso, podría ser una mejor medida de la distancia, ya que indica aproximadamente la cantidad de tiempo que tardó la luz entrante en llegar al observador, ya que su longitud de onda se habría extendido todo este tiempo.

La única relación entre $z(t)$ y $d'(t_0)$ que puedo imaginar es que (tomando $a(t_0)=1$ ) $\frac{da}{dt}≈\frac{\Delta a}{\Delta t}=\frac{z(t_0)}{(z(t_0)+1)(t_0-t_1)}$ , con $z(t_0)+1=\frac{1}{a(t_1)}$ , pero esto solo nos da una estimación de la constante de Hubble y no de la velocidad de separación. Además, los astrónomos no parecen hacer uso de esta aproximación cuando intentan medir la constante de Hubble, lo que me lleva a creer que no es muy útil (pregunta adicional: ¿por qué no es útil tal aproximación?).

He visto que se hace referencia a eso $z(t)≈\frac{d'(t)}{c}$ es una buena aproximación para distancias pequeñas, pero no veo por qué debe ser así.

¿Alguien puede explicar de qué manera la distancia cosmológica se relaciona intuitivamente con la velocidad de separación y, en particular, dónde está la aproximación? $z(t)≈\frac{d'(t)}{c}$ ¿viene de?

PM 2 Anillo

Debería echar un vistazo al artículo clásico de Tamara Davis y Charlie Lineweaver, Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the Universe , también está su artículo relacionado de Scientific American.

tpg2114

Eliminé comentarios que no estaban enfocados en aclarar la pregunta o sugerir mejoras. Mantenga los comentarios enfocados en mejorar la pregunta. Cualquier otra cosa debe hacerse en el chat. ¡Gracias!

máx.

@ tpg2114 Creo que hubo un comentario de safesphere que señaló un error en mi pregunta. En mi opinión, deberías haberte quedado con esa.

Respuestas (2)

¿Qué dice el corrimiento al rojo cosmológico acerca de la velocidad de separación y por qué?

Debería echar un vistazo al artículo clásico de Tamara Davis y Charlie Lineweaver, Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the Universe , también está su artículo relacionado de Scientific American.
Eliminé comentarios que no estaban enfocados en aclarar la pregunta o sugerir mejoras. Mantenga los comentarios enfocados en mejorar la pregunta. Cualquier otra cosa debe hacerse en el chat. ¡Gracias!
@ tpg2114 Creo que hubo un comentario de safesphere que señaló un error en mi pregunta. En mi opinión, deberías haberte quedado con esa.

sieteVo1d · Answer 1

Supongamos que hay un objeto celeste con una distancia adecuada $D(z)$ y tienen una velocidad medida $v(z)$ . Usando la Ley de Hubble podemos escribir

v (z) \equiv H_{0} D (z) = H_{0} x (z) (1)

$v(z) \equiv H_0D(z) = H_0\chi(z)~~(1)$ para

a (t_{0}) = 1

$a(t_0) = 1$

Ahora permítanme tomar la métrica FLWR en forma de

d s^{2} = - C^{2} d t^{2} + a^{2} (t) [d x^{2} + S_{k}^{2} (x) d Ω^{2}]

$ds^2 = -c^2dt^2 + a^2(t)[d\chi^2 + S_{\kappa}^2(\chi)d\Omega^2]$

Para calcular la distancia de comovimiento $\chi$ entre dos puntos, podemos establecer $d\Omega = ds = 0$ por la trayectoria de un fotón

Entonces tenemos,

\int_{t_{mi}}^{t_{0}} d x = C \int_{t_{mi}}^{t_{0}} \frac{d t}{a (t)}

$\int_{t_e}^{t_0}d\chi = c\int_{t_e}^{t_0}\frac{dt}{a(t)}$

Mediante el uso $1+z = a(t)^{-1}$ podemos transformar la integral anterior en

x (z) = \frac{C}{H_{0}} \int_{0}^{z} \frac{d z}{mi (z)} (2)

$\chi(z) = \frac{c}{H_0}\int_{0}^{z}\frac{dz}{E(z)}~~(2)$

Para

mi (z) = \sqrt{Ω_{r, 0} (1 + z)^{4} + Ω_{metro, 0} (1 + z)^{3} + Ω_{Λ, 0} + Ω_{k} (1 + z)^{2}}

$E(z) = \sqrt{\Omega_{r,0}(1+z)^4 + \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{\Lambda,0} + \Omega_{\kappa}(1+z)^2}$

dónde $\Omega_{\kappa} = 1 - \Omega_0 = 1 - \Omega_{r,0} - \Omega_{m,0} - \Omega_{\Lambda,0}$

Si inserta (2) en (1) obtenemos

v (z) = C \int_{0}^{z} \frac{d z}{mi (z)} (3)

$v(z) = c\int_{0}^{z}\frac{dz}{E(z)}~~(3)$

Suponga que z es pequeño. Esto implica

\underset{z \to 0}{límite} mi (z) = \sqrt{Ω_{r, 0} + Ω_{metro, 0} + Ω_{Λ, 0} + [1 - Ω_{r, 0} - Ω_{metro, 0} - Ω_{Λ, 0}]} = 1

$\lim_{z \rightarrow 0} {E(z)} =\sqrt{\Omega_{r,0} + \Omega_{m,0} + \Omega_{\Lambda,0} + [1 - \Omega_{r,0} - \Omega_{m,0} - \Omega_{\Lambda,0}]} = 1$

Así obtenemos

v (z) = C z

$v(z) = cz$

Pero cuando $z$ no es pequeño esta aproximación no funciona. En este punto, puede preguntar qué $z$ se considera pequeño.

Para $z<0.01$ puedes usar $v=cz$ ecuación.

En general, los astrónomos expanden la integral ( $3$ ) y escribe

v (z) = \frac{C z}{1 + z} [1 + \frac{1}{2} (1 - q_{0}) z - \frac{1}{6} (1 - q_{0} - 3 q_{0}^{2} + j_{0}) z^{2}]

$\begin{equation} v(z) = \frac{cz}{1+z}[1+\frac{1}{2}(1-q_0)z - \frac{1}{6}(1-q_0-3q_0^2+j_0)z^2] \end{equation}$

con $q_0 = -0.55$ y $j_0 = 1.0$ Para el $\Lambda CDM$ modelo ( $\Omega_m = 0.3$ , $\Omega_{\Lambda} = 0.7$ ).

Esta aproximación funciona para $z < 0.3$ . Cuando tienes mas grande $z$ valores es mejor usar la forma integral de la ecuación.

De acuerdo, gracias por su respuesta, pero desafortunadamente no estoy familiarizado con las ecuaciones de Friedmann, por lo que sigo sin ver la intuición detrás de la fórmula que derivó. ¿Podría explicar la derivación de forma un poco más intuitiva, idealmente sin apelar a las ecuaciones de Friedmann?
@Max Bueno, puedes pensar que en distancias pequeñas (que corresponde a pequeñas $z$ ) la expansión del universo se vuelve despreciable (El caso de $E(z) = 1$ ). Esta aproximación le permite escribir $v=cz$ . Sin embargo, si vas más lejos, la expansión del universo se vuelve importante y ya no puedes asumir $v=cz$ (porque en este caso $E(z) \ne 1$ )
@Max Bueno, hay dos cosas. El primero es la expansión del universo. En este caso, los objetos se alejan de nosotros, también llamada "velocidad de recesión". Esto es a través de la expansión Hubble. También hay otro tipo de velocidad llamado "la velocidad peculiar". En general, la velocidad total de los objetos es la combinación de estos dos efectos. Matemáticamente se escribe como, $v_{t o t} = v_{r} + v_{pag}$ $v_{tot} = v_{r} + v_{p}$
Vale, gracias por la explicación. Para ser honesto, todavía no sigo tu integral aquí. Según mi cálculo, $\chi(z) = \int_{0}^{z} \frac{1+z}{\frac{dz}{dt}}dz$ , pero no veo cómo podríamos calcular $\frac{dz}{dt}$ de una manera significativa. Incluso si la expansión del universo es insignificante, $\frac{dz}{dt}$ todavía es igual $a'(t)$ , que es un callejón sin salida. ¿Podrías explicarme este pedacito?
Además, si eso es posible, ¿puede explicar por qué mi cálculo en op está mal? Asumí que la tasa de cambio del factor de escala era constante y obtuve eso $z=ce^{Dn/c}-1$ . ¿Por qué este resultado es incorrecto?
@Max para saber cómo transformar la integral, deberías o algo como $\frac{d z}{d t} = \frac{d z}{d a} \frac{d a}{d t}$ $\frac{dz}{dt} = \frac{dz} {da} \frac{da} {dt}$ $\frac{d z}{d t} = - \frac{1}{a^{2}} \dot{a}$ $\frac{dz}{dt} = -\frac{1}{a^2} \dot{a}$ $d z = - \frac{\dot{a}}{a^{2}} d t$ $dz = -\frac{\dot{a}}{a^2}dt$ En lugar de números primos, debe usar el símbolo de punto. $z$ es una cantidad medible. Por eso es importante transformar escribir nuestra ecuación en términos de $z$ .
@Max Es realmente difícil de leer ya que su notación es confusa y sus ecuaciones están demasiado juntas. ¿Quizás puedas editar un poco tus ecuaciones y notación?

el_fotón · Answer 2

En tu publicación haces una serie de preguntas. Aunque sus preguntas son válidas, algunas de sus preguntas parecen provenir de algunos malentendidos. Mi respuesta no es una respuesta directa a cada una de sus preguntas, pero puede aclararle las cosas.

Si no te importa, me gustaría aclarar un poco tus preguntas:

¿Cuál es exactamente la relación entre el desplazamiento hacia el rojo de un objeto celeste y su distancia a la Tierra?

Mientras estamos en eso, ¿cómo se relaciona el corrimiento hacia el rojo de un objeto celeste con la velocidad con la que se aleja de nosotros?

¿Cómo figura el "tiempo de viaje de la luz" entre el objeto celeste y la Tierra en todo esto?

Antes de responder estas preguntas en serio, es importante saber que la constante básica del Hubble asume que los objetos celestes no se aceleran, se mueven a un ritmo constante. La cuestión de si las estrellas y demás se están alejando aceleradamente de nosotros es una cuestión completamente diferente. Asumiré que todo el "alejarse de nosotros" se debe a la expansión ordinaria del universo. Si la expansión del universo se está acelerando o no (y el desplazamiento hacia el rojo aumenta) es otro tema para otro día.

Podemos responder las preguntas (1.) y (2.) con la ecuación básica de Hubble que nos dice que:

R = D \times H

$R = D \times H$ donde D es la distancia entre el objeto celeste y la Tierra, H es la constante de Hubble y R es la cantidad de corrimiento al rojo. Según lo que indicó en su pregunta, estoy seguro de que ha encontrado esta fórmula.

En pocas palabras, cuanto más lejos está una estrella de la Tierra, mayor es su corrimiento al rojo. De todo esto se puede deducir que las estrellas más alejadas de la Tierra (siempre que estén fuera de nuestra galaxia) se están alejando de nosotros más rápido, cuanto más lejos de nosotros están en primer lugar.

Por último, básicamente tiene razón en su comprensión de que cuanto más lejos está una estrella de la Tierra, más tiempo tarda la luz en llegar aquí. La respuesta más simple que puedo dar a esto es decir que los astrofísicos son conscientes de esto, y lo corrigen.

Supongo que la distancia recorrida está nuevamente relacionada con el corrimiento al rojo (ver la ley de Hubble arriba), pero si es necesario, los astrónomos pueden entrar y corregir toda esta locura.

Lo siento si no he abordado todas las facetas de su pregunta; esto solo tenía la intención de aclarar algunas cosas para que pueda estar en camino a una mejor comprensión.

@RobJeffries " El desplazamiento al rojo cosmológico no depende de la velocidad de un objeto " - Aquí aparentemente implicas la velocidad peculiar. Sin embargo, si el objeto está estacionario en relación con el flujo del Hubble. todavía se aleja de nosotros con cierta velocidad y su corrimiento hacia el rojo ciertamente depende de esta velocidad.
@safesphere y ahí es donde comienzan muchos conceptos erróneos. por ejemplo, más rápido que la luz de viaje?
@RobJeffries No más rápido que la luz, solo más rápido que la velocidad local de la luz. Si miras a Alpha Centauri, lo verás girando alrededor de la Tierra a 10.000 veces la velocidad de la luz, pero, por supuesto, su luz aún lo supera :)
@RobJeffries: gracias, hice la corrección adecuada a mi respuesta.

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