¿Más rápido que las galaxias/cúmulos ligeros?

El cálculo de la velocidad fue distancia*(cambio de ángulo). Sin embargo, esto no tiene en cuenta el tiempo de retardo cambiante de la luz: lo vemos acelerado porque el tiempo de retardo está disminuyendo, como una grabación de televisión en la que avanza rápidamente a medida que se pone al día con el tiempo real. Afortunadamente, todo lo que tenemos que hacer para calcular la velocidad real es tener en cuenta el retraso de tiempo, no es necesaria una relatividad extraña.

Supongamos que un objeto lejano se acerca a$0.8c$y tiene una velocidad transversal de$0.25c$(velocidad total de$0.84c$). Emite un estallido de luz (en nuestro marco) a la vez$t$y$t+5$segundos. Es$d$segundos luz de nosotros en el tiempo$t$y$d-4$en$t+5$. Teniendo en cuenta el tiempo de retraso de la luz, vemos destellos a la vez$t+d$y$t+5+(d-4) = t+d+1$; solo los vemos$1$segundo aparte. En esos$5$segundos, se movió transversalmente una distancia de$5\times0.25 = 1.25$segundos luz. Ya que parecía moverse$1.25$segundos luz en$1$segundo, vemos un aparente movimiento superlumínico.

Esta pregunta ya tiene dos buenas respuestas, pero necesitaba una excusa para aprender tikz, así que aquí está mi respuesta.

Esta velocidad "transversal" puede ser más rápida que la velocidad de la luz.$c$si el objeto viene hacia usted lo suficientemente rápido. Para ver cómo funciona esto, observe el siguiente diagrama.

Aquí el objeto se mueve a una velocidad$\beta c$, pero no se mueve perpendicular a su línea de visión. se mueve en un ángulo$\theta$a la línea de visión.

¿Cómo se estimaría la velocidad de este objeto? Una forma ingenua sería dividir el desplazamiento transversal observado por la duración del tiempo observado.

Veamos cuáles son estas dos cantidades cuando la duración real del tiempo es$T_{\mathrm{actual}}$. En este tiempo el objeto se moverá una distancia real$v T_{\mathrm{actual}}$. Su desplazamiento transversal aparente será$d=v T_{\mathrm{actual}} \sin \theta$.

¿Cuál será la duración del tiempo observado? no será$T_{\mathrm{actual}}$porque los rayos de luz de la posición final obtienen una ventaja en relación con los rayos de luz de la posición inicial. La longitud de esta ventaja inicial es$v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta$. Como la luz se mueve a$c$, esto se traduce en una aceleración del tiempo de$v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta /c$. Así es como mucho más rápido de lo que "debería" llegar la luz final. Por lo tanto, la diferencia de tiempo observada es más corta que la diferencia de tiempo real en esta cantidad. Obtenemos que la diferencia de tiempo observada es$T_{\mathrm{observed}} = T_{\mathrm{actual}} - v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta /c = T_{\mathrm{actual}}(1 - v \cos \theta /c)$.

La velocidad observada es entonces$\frac{v T_{\mathrm{actual}} \sin \theta}{T_{\mathrm{actual}}(1 - v \cos \theta /c)} =\frac{v \sin \theta}{1 - \frac{v}{c} \cos \theta}$. enchufando$v=\beta c$, obtenemos que la velocidad observada es$c \frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}$. Para obtener una velocidad observada mayor que$c$, nosotros necesitamos$\frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}>1$. Cosecha$\theta = 45^\circ$, esto se convierte$\frac{\beta } {\sqrt{2}-\beta }>1$. Esta desigualdad se logra para$\beta > \frac{1}{\sqrt{2}}$, por lo que las velocidades superlumínicas pueden ser "observadas".

Gran respuesta @Kevin, solo voy a reescribirla en diferentes letras.

Nota: A continuación solo se aplica la mecánica clásica.

Supongamos que un objeto lejano tiene una velocidad satisfactoria (en unidades donde la velocidad de la luz$c:=1$)

$$v^2 = v_{\perp}^2+v_{\|}^2<1^2\tag1$$ dónde $v_{\perp}$denota su velocidad perpendicular (a nuestra línea de visión) y $v_{\|}$su velocidad es paralela a nuestra línea de visión. Emite un estallido de luz (en nuestro marco) a veces $t$y $t+\tau.$

Si$d_t$denota la distancia al objeto en el tiempo$t$, entonces su distancia en el tiempo$t+\tau$es

$$d_{t+\tau} = d_t-v_{\|}\tau.$$

¿Cuándo nos alcanzará la luz?

La luz emitida en el momento$t$nos llegará a tiempo

$$t+d_t$$ (al menos, ya que su distancia era $d_t$y nada viaja más rápido que la luz).

La luz emitida en el momento$t+\tau$nos llegará a tiempo

$$t+\tau+d_{t+\tau}$$ pero esto es igual a $$t+\tau +(d_t-v_{\|}\tau).$$

Así, veremos dos destellos de luz separados por un tiempo

$$\Delta t = t+\tau +(d_t-v_{\|}\tau) - \big[t+d_t\big]\\=\tau\cdot(1-v_{\|}).$$

Durante el tiempo de tamaño$\tau$, el objeto se ha movido una distancia de

$$d_{\perp} = v_{\perp}\cdot \tau,$$ perpendicular a nuestra línea de visión. Pero como vemos aparecer los destellos con el tiempo $\Delta t$Aparte, calcularemos la velocidad transversal (aparente) del objeto a ser $$v_{\perp}^a(v_\perp,v_\|) = \frac{d_{\perp}}{\Delta t}\\ =\frac{v_{\perp}}{1-v_{\|}}$$ dónde $v_\perp,v_\|$(debería en principio) satisfacer la condición $(1).$

Ahora conectando algunos números, por ejemplo$v_\perp=\frac{1}{4}$y$v_\|=\frac{4}{5}$obtenemos

$$v_{\perp}^a(1/4,4/5) = \frac{5}{4}>1.$$ Siendo esto mayor que 1 (es decir, mayor que la velocidad de la luz en el vacío) $c$) podría entonces interpretarse como un movimiento superlumínico.