¿Por qué la fórmula del corrimiento al rojo es cierta cuando se mide la expansión del universo?

Question

¿Por qué la fórmula del corrimiento al rojo es cierta cuando se mide la expansión del universo?

Física
corrimiento al rojo
universo
astronomía
cosmología
expansión espacial

máx.

Según tengo entendido, los fotones se 'estiran' a medida que el universo se expande, y la tasa de expansión no es constante. Esto significa que el corrimiento al rojo observado en la Tierra es la suma de los corrimientos al rojo individuales que surgen de la expansión del espacio en cada instante. Por lo tanto, creo que la 'velocidad' del objeto que estamos mirando en el momento en que se emitió la luz observada debería ser proporcional a

λ_{0} \int a (t) λ (t) d t

$λ_0\int a(t)λ(t)dt$ (dónde

λ_{0}

$λ_0$ es la longitud de onda original de la luz emitida,

λ (t)

$λ(t)$ es la longitud de onda en el tiempo

t

$t$ , y

a (t)

$a(t)$ es el factor de escala en el tiempo

t

$t$ ), con

a (t)

$a(t)$ comportarse de una manera que estamos tratando de encontrar. Si ese fuera el caso, sería prácticamente imposible sacar conclusiones razonables basadas en datos de corrimiento al rojo, ya que crearía un bucle lógico (para encontrar

a (t)

$a(t)$ , necesitamos saber cómo cambia con el tiempo, lo cual solo podemos determinar sabiendo qué

a (t)

$a(t)$ es). ¿Dónde estoy equivocado?

Nick Pavlov

no está equivocado, y la cosmología adecuada sí lo investiga, hay ecuaciones complejas que relacionan la expansión sobre todo el pasado del universo y el desplazamiento hacia el rojo. Sin embargo, para pequeños desplazamientos al rojo, solo la tasa actual es suficiente (como una aproximación de primer orden)

máx.

@NickPavlov ¿Le importaría darme un enlace a una de las ecuaciones (incluso si son complicadas, solo quiero ver qué factores afectan la velocidad)? Además, el artículo de Wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Hubble%27s_law#Recessional_velocity ) dice que, "... [la luz] se desplaza hacia el rojo debido a la expansión del espacio, y este desplazamiento hacia el rojo z es simplemente

\frac{R (t)}{R (t_{0})} - 1

$\frac{R(t)}{R(t_0)}-1$ ". ¿Por qué es simplemente eso, o por qué es que "para pequeños corrimientos al rojo... sólo el tiempo presente"? Incluso para distancias pequeñas, el corrimiento al rojo resultante sería el efecto acumulativo de la expansión del espacio a lo largo de la distancia

máx.

¿Bien? ¿Por qué funcionaría la aproximación?

pela

Puede encontrar una derivación en la página de Wikipedia para redshift debido a la expansión del espacio .

Nick Pavlov

con respecto a su pregunta editada: la física a menudo trata con modelos que involucran aspectos autorreferentes, que pueden parecer un bucle lógico; hay maneras de manejar estos aspectos con cuidado y no ilógicamente

Nick Pavlov

@Max [Lo siento, en una versión anterior de este comentario tenía un enlace incorrecto, pero es demasiado tarde para editarlo, así que lo elimino y lo vuelvo a publicar] En términos del factor de escala real, es tan simple como eso. Pensé que quería relacionarlo con la tasa de expansión, que es la derivada del factor de escala; luego, debe integrarse durante un período de tiempo. Las ecuaciones a las que me referí son las ecuaciones métricas de Friedman-Robertson-Walker: en.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Robertson-Walker_metric

Nick Pavlov

para pequeños desplazamientos al rojo,

R (t) - R (t_{0}) \approx (t - t_{0}) d R / d t |_{t_{0}}

$R(t) - R(t_0) \approx (t-t_0)dR/dt|_{t_0}$ y

t - t_{0} \approx d / c

$t-t_0 \approx d/c$ , dónde

d

$d$ es la distancia aparente al objeto; cuando los pones juntos obtienes la ley de Hubble

máx.

@NickPavlov No, no, no, creo que tenías el enlace correcto :). Sí, aparentemente, todo se simplifica muy bien. Sin embargo, para distancias pequeñas, puedo ver que lo que escribiste es la Ley de Hubble, pero no veo cómo eso significa que el desplazamiento hacia el rojo es directamente proporcional a la velocidad de recesión sin la prueba integral que me proporcionaste. De todos modos, gracias :)

Nick Pavlov

Para distancias pequeñas, la velocidad de recesión, cuando se piensa en términos de expansión del factor de escala, es simplemente

v \approx \frac{d}{R_{0}} {(\frac{d R}{d t})}_{0}

$v \approx \frac{d}{R_0}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}_0$ que es lo que obtienes de mi comentario anterior. Esencialmente, es lo mismo que decir que durante pequeños períodos de tiempo, la tasa de expansión no ha variado mucho, por lo que podemos aproximarnos a ella como una constante (igual al valor actual)

máx.

Sí, pero ese no era el problema; mi problema era entender por qué el corrimiento al rojo era igual a

\frac{R (t)}{R (t 0)} - 1

$\frac{R(t)}{R(t0)}−1$ . Ahora entiendo que es trivial.

máx.

@NickPavlov En realidad, después de pensarlo, asumir que una relación en línea recta es incorrecta por definición, ya que

v = \frac{a^{'} (t)}{a (t)} d

$v=\frac{a'(t)}{a(t)}d$ , y

\frac{a^{'} (t)}{a (t)}

$\frac{a'(t)}{a(t)}$ no puede ser ni siquiera cerca de constante si

a \propto t

$a∝t$ . Otra razón por la que este razonamiento es erróneo es que

t - t_{0}

$t−t_0$ no será ni remotamente igual

d / c

$d/c$ incluso asumiendo

a \propto t

$a∝t$ , ya que la luz de la galaxia que estamos observando se habrá alargado todos los millones de años que la galaxia está lejos de nosotros. Matemáticamente, el error sería igual a

\frac{c}{b} l n (\frac{t_{0}}{t}) - \frac{d}{c}

$\frac{c}{b}ln(\frac{t_0}{t})-\frac{d}{c}$ , con

a (t) = b t

$a(t)=bt$ , y supongo que será bastante grande para distancias de millones

máx.

de años luz.

Nick Pavlov

pero ese es el punto: solo obtendrá una línea recta (aproximadamente) cuando el objeto observado (galaxia o lo que sea) no esté demasiado lejos. En esa situación,

a^{'} (t) / a (t)

$a'(t)/a(t)$ estará cerca de una constante. La pregunta es, ¿qué significa realmente no demasiado lejos ? (Y eso es exactamente lo que le preocupa, ¿no? A juzgar por su último comentario sobre la respuesta de Cristoph). Para poner un límite de validez en la aproximación, necesitaría considerar un modelo de expansión particular, por ejemplo, lineal, cuadrático, exponencial, etc. ¿Tengo razón al entender que esta última parte es para lo que quieres una respuesta?

máx.

Sí, ese es exactamente mi problema. Más específicamente, sé que la expansión solo afecta estructuras en escalas extragalácticas (otras están en sistemas ligados gravitacionalmente), ya estas escalas, me parece obvio que la Ley de Hubble va a ser irrelevante. Quiero ver dónde me equivoco.

Respuestas (2)

¿Por qué la fórmula del corrimiento al rojo es cierta cuando se mide la expansión del universo?

no está equivocado, y la cosmología adecuada sí lo investiga, hay ecuaciones complejas que relacionan la expansión sobre todo el pasado del universo y el desplazamiento hacia el rojo. Sin embargo, para pequeños desplazamientos al rojo, solo la tasa actual es suficiente (como una aproximación de primer orden)
@NickPavlov ¿Le importaría darme un enlace a una de las ecuaciones (incluso si son complicadas, solo quiero ver qué factores afectan la velocidad)? Además, el artículo de Wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Hubble%27s_law#Recessional_velocity ) dice que, "... [la luz] se desplaza hacia el rojo debido a la expansión del espacio, y este desplazamiento hacia el rojo z es simplemente $\frac{R (t)}{R (t_{0})} - 1$ $\frac{R(t)}{R(t_0)}-1$ ". ¿Por qué es simplemente eso, o por qué es que "para pequeños corrimientos al rojo... sólo el tiempo presente"? Incluso para distancias pequeñas, el corrimiento al rojo resultante sería el efecto acumulativo de la expansión del espacio a lo largo de la distancia
Puede encontrar una derivación en la página de Wikipedia para redshift debido a la expansión del espacio .
con respecto a su pregunta editada: la física a menudo trata con modelos que involucran aspectos autorreferentes, que pueden parecer un bucle lógico; hay maneras de manejar estos aspectos con cuidado y no ilógicamente
@Max [Lo siento, en una versión anterior de este comentario tenía un enlace incorrecto, pero es demasiado tarde para editarlo, así que lo elimino y lo vuelvo a publicar] En términos del factor de escala real, es tan simple como eso. Pensé que quería relacionarlo con la tasa de expansión, que es la derivada del factor de escala; luego, debe integrarse durante un período de tiempo. Las ecuaciones a las que me referí son las ecuaciones métricas de Friedman-Robertson-Walker: en.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Robertson-Walker_metric
para pequeños desplazamientos al rojo, $R(t) - R(t_0) \approx (t-t_0)dR/dt|_{t_0}$ y $t-t_0 \approx d/c$ , dónde $d$ es la distancia aparente al objeto; cuando los pones juntos obtienes la ley de Hubble
@NickPavlov No, no, no, creo que tenías el enlace correcto :). Sí, aparentemente, todo se simplifica muy bien. Sin embargo, para distancias pequeñas, puedo ver que lo que escribiste es la Ley de Hubble, pero no veo cómo eso significa que el desplazamiento hacia el rojo es directamente proporcional a la velocidad de recesión sin la prueba integral que me proporcionaste. De todos modos, gracias :)
Para distancias pequeñas, la velocidad de recesión, cuando se piensa en términos de expansión del factor de escala, es simplemente $v \approx \frac{d}{R_0}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}_0$ que es lo que obtienes de mi comentario anterior. Esencialmente, es lo mismo que decir que durante pequeños períodos de tiempo, la tasa de expansión no ha variado mucho, por lo que podemos aproximarnos a ella como una constante (igual al valor actual)
Sí, pero ese no era el problema; mi problema era entender por qué el corrimiento al rojo era igual a $\frac{R(t)}{R(t0)}−1$ . Ahora entiendo que es trivial.
@NickPavlov En realidad, después de pensarlo, asumir que una relación en línea recta es incorrecta por definición, ya que $v=\frac{a'(t)}{a(t)}d$ , y $\frac{a'(t)}{a(t)}$ no puede ser ni siquiera cerca de constante si $a∝t$ . Otra razón por la que este razonamiento es erróneo es que $t−t_0$ no será ni remotamente igual $d/c$ incluso asumiendo $a∝t$ , ya que la luz de la galaxia que estamos observando se habrá alargado todos los millones de años que la galaxia está lejos de nosotros. Matemáticamente, el error sería igual a $\frac{c}{b}ln(\frac{t_0}{t})-\frac{d}{c}$ , con $a(t)=bt$ , y supongo que será bastante grande para distancias de millones
pero ese es el punto: solo obtendrá una línea recta (aproximadamente) cuando el objeto observado (galaxia o lo que sea) no esté demasiado lejos. En esa situación, $a'(t)/a(t)$ estará cerca de una constante. La pregunta es, ¿qué significa realmente no demasiado lejos ? (Y eso es exactamente lo que le preocupa, ¿no? A juzgar por su último comentario sobre la respuesta de Cristoph). Para poner un límite de validez en la aproximación, necesitaría considerar un modelo de expansión particular, por ejemplo, lineal, cuadrático, exponencial, etc. ¿Tengo razón al entender que esta última parte es para lo que quieres una respuesta?
Sí, ese es exactamente mi problema. Más específicamente, sé que la expansión solo afecta estructuras en escalas extragalácticas (otras están en sistemas ligados gravitacionalmente), ya estas escalas, me parece obvio que la Ley de Hubble va a ser irrelevante. Quiero ver dónde me equivoco.

Nick Pavlov · Answer 1

En lo que sigue adoptaré la notación de $a(t)$ para el factor de escala, y tomar $a(t_0) = 1$ como una unidad arbitraria para ello. Entonces la expansión provoca un corrimiento hacia el rojo dado simplemente por

z = \frac{R (t_{0})}{R (t_{mi})} - 1 = \frac{1}{a (t_{mi})} - 1,

$z = \frac{R(t_0)}{R(t_e)} - 1 = \frac{1}{a(t_e)} - 1,$ dónde

t_{e}

$t_e$ es el tiempo de emisión del fotón observado.

Por otro lado, calcular la distancia actual al objeto que emitió el fotón requiere una integral durante todo el tiempo de vuelo:

d = \int_{t_{mi}}^{t_{0}} \frac{C d t}{a (t)}

$d = \int_{t_e}^{t_0} \frac{cdt}{a(t)}$ porque la distancia aumenta

c d t

$cdt$ viajado en algún momento en el pasado han "estirado" posteriormente por

1 / a (t)

$1/a(t)$ ; de manera equivalente, podemos pensar en esto como calcular la distancia recorrida en coordenadas de movimiento conjunto, que con la convención que adopté (

a_{0} = 1

$a_0 = 1$ ) son las mismas que las coordenadas actuales. Todo esto parece que ya lo sabes, pero lo incluyo para que esté completo.

Como ya sugirió la respuesta de Cristoph (intentaré no repetir demasiado), si asumimos un modelo de expansión particular, ahora podemos encontrar el corrimiento al rojo y la distancia, ambos como funciones de $t_e$ ; si luego eliminamos $t_e$ de estas dos ecuaciones, obtenemos la distancia como función del corrimiento al rojo. Nadie está afirmando que tiene que ser lineal en general. Pero para cualquier modelo de expansión razonable, será lineal para distancias suficientemente pequeñas/tiempos de emisión suficientemente recientes. Entonces, primera pregunta: ¿qué es, después de todo, "no demasiado lejos"/"no hace mucho tiempo"?

Bueno, eso depende del modelo. Ya calculaste que para la expansión lineal obtenemos una curva logarítmica: si $a(t) = 1 + H_0(t - t_0)$ , entonces $d = (c/H_0)\ln(1 + z)$ . la aproximación $\ln(1+z) \approx z$ tiene para $z \ll 1$ , lo que a su vez implica $|a-1| \ll 1$ , y luego $|t - t_0| \ll 1/H_0$ . Con un modelo exponencial, $a(t) = e^{H_0 t}$ , uno encuentra $d = (c/H_0)z$ : que resulta lineal para todas las distancias/tiempos. Cualquier modelo con el que me he encontrado, la linealidad inevitablemente termina siendo una aproximación válida para pequeños desplazamientos al rojo. $z \ll 1$ , sea lo que sea que eso signifique en términos de tiempo/distancia, y es por eso que los cosmólogos a menudo tratan al redhsift en sí mismo como una medida (independiente del modelo) de "cercanía" (en un sentido abstracto). Pero para cualquier modelo en particular, tenemos una relación desplazamiento al rojo-distancia predicha teóricamente.

Lo que nos lleva a la segunda parte de su pregunta, ¿cómo sabemos qué modelo es el correcto, de modo que podamos usarlo para deducir la distancia solo del corrimiento al rojo? Si solo tuviéramos el corrimiento al rojo como datos observables, sería, como dices, un bucle lógico. Pero tenemos otras cosas con las que trabajar. Cristoph también se refirió a eso: primero debemos juzgar nuestros modelos en función de otros datos. Teóricamente, la expansión está impulsada por la distribución de energía en el universo. Si bien todavía hay muchas preguntas abiertas a ese respecto, sabemos un poco. Y, muy importante, tenemos otras formas de inferir algo sobre la distancia. A escalas tan grandes, por lo general involucran argumentos de homogeneidad e isotropía del universo.

Por ejemplo, se supone que la densidad media de "cosas" en el universo es mayormente constante. Eso significa que si construimos una función de frecuencia acumulativa para el número de galaxias observadas hasta un corrimiento al rojo dado, esperaríamos que ese número sea proporcional al volumen de una esfera cuyo radio es la distancia correspondiente a ese corrimiento al rojo. Entonces podemos obtener la distancia a través del volumen. Si asumimos que el brillo medio de una galaxia también es casi el mismo en todas partes, podemos usar el brillo aparente para deducir la distancia, esta vez a través del área (asumiendo que todas las direcciones son equivalentes, la luz de una fuente puntual se distribuye uniformemente sobre la superficie de esa misma esfera , por lo que la intensidad es inversamente proporcional a su superficie). Finalmente, como mencionó Cristoph, una estimación radial directa podría provenir del tiempo mismo, si esperamos que la edad media de las estrellas o galaxias sea aproximadamente la misma en todas partes (la información sobre la edad en el momento de la emisión está presente en las propiedades espectrales de la luz). Estos son solo los que me vienen a la mente, puede haber otros métodos. Curiosamente, dado que todos dan un "tipo" diferente de distancia (geométricamente hablando), también nos permiten inferir algo sobre la curvatura, que se reproduce en las ecuaciones métricas y, por lo tanto, se vincula con la base teórica de los modelos.

Entonces, todas estas consideraciones están interconectadas, y el proceso de pensamiento no es solo lineal desde la observación hasta la conclusión. Proponemos modelos, exploramos sus implicaciones, los comparamos con las observaciones, si es necesario ajustamos los modelos y hacemos esto con muchos modelos en paralelo. El proceso científico a menudo consiste en adivinar y ajustar; al igual que un niño pequeño, que no sabe nada sobre ecuaciones, aún puede resolver un acertijo como "¿qué número más 5 es igual al doble de ese número?"

Buena respuesta. Una pregunta, y si la contesto, marcaré esta publicación. ¿No es z<<1 sólo válido para distancias intergalácticas, para las cuales los sistemas están ligados gravitacionalmente? Si no, eso es todo, finalmente respondiste mi pregunta.
Wow, manera de resucitar una vieja pregunta. Un corrimiento al rojo de 0.1 corresponde aproximadamente a una recesión de 30000 km/s. Hay muchos gráficos en línea que muestran datos de velocidad de desplazamiento al rojo frente a distancia. Incluso puede encontrar la trama original de Hubble, creo, aquí (y en muchos otros lugares): pnas.org/content/pnas/101/1/8/F1.large.jpg que muestra bastantes objetos con v menos que eso. Alternativamente, con el valor actual de la constante de Hubble, z=0.1 es una distancia de alrededor de 400 Mpc; también puedes encontrar enormes listas de galaxias con sus distancias y ver que muchas están más cerca que eso.
Jaja, sí, ha pasado mucho tiempo, pero ahora comencé a pensar en eso nuevamente y noté tu respuesta. De acuerdo, entonces la ley de Hubble funciona, pero solo para los mil millones de años luz más cercanos. De hecho, he visto la trama original de Hubble antes, solo que no en términos de corrimiento al rojo, pero ahora tengo una idea del tipo de rango en el que se aplica la ley. Respondió mi pregunta. Gracias por dedicar todo ese tiempo a responder esta pregunta molesta: P

Cristóbal · Answer 2

En el modelo de Friedmann, las distancias propias en tiempo cosmológico constante evolucionan de acuerdo con

r = \frac{a}{a_{0}} r_{0}

$r = \frac a{a_0} r_0$

Lo mismo ocurre con las longitudes de onda, es decir

1 + z = \frac{λ}{λ_{0}} = \frac{a}{a_{0}}

$1 + z = \frac \lambda{\lambda_0} = \frac a{a_0}$

que también puede derivar cinemáticamente mediante el transporte paralelo de vectores de impulso a lo largo de geodésicas nulas.

Esto significa que los desplazamientos al rojo cosmológicos corresponden directamente a factores de escala. Para medir experimentalmente la evolución temporal del factor de escala, tendría que determinar la edad del objeto de alguna otra manera (¿quizás la edad de las estrellas más antiguas de una galaxia determinada?). Por otro lado, si ha fijado los parámetros de su modelo cosmológico y ha calculado la evolución del factor de escala resolviendo las ecuaciones de campo de Einstein, puede determinar la edad de un objeto a partir de su corrimiento al rojo.

La ley de Hubble que relaciona velocidades y distancias se deriva directamente de la primera ecuación:

\dot{r} = \frac{\dot{a}}{a_{0}} r_{0} = \frac{\dot{a}}{a} r \equiv H r

$\dot r = \frac {\dot a}{a_0} r_0 = \frac {\dot a}a r \equiv H r$

Sin embargo, la relación lineal observada entre el corrimiento al rojo y la distancia es solo una aproximación:

1 + z \approx \frac{a + \dot{a} Δ t}{a} = 1 + H Δ t

$1 + z \approx \frac{a + \dot a \Delta t}a = 1 + H \Delta t$

y por lo tanto

z \approx H Δ t \approx H Δ r C^{- 1}

$z \approx H \Delta t \approx H \Delta r c^{-1}$

bajo el supuesto adicional $\Delta r \approx c \Delta t$ .

Tenga en cuenta que históricamente, esto se ha interpretado en términos de cambios Doppler (por ejemplo, en el famoso artículo de Hubble , aunque Lemaître ya había publicado su interpretación ). Tal interpretación también produce velocidades de recesión

v \approx H Δ r

$v \approx H \Delta r$

a medida que los desplazamientos Doppler relativistas especiales se reducen a $z \approx \frac vc$ si $v \ll c$ .

Sí, pero mi pregunta es: ¿cómo podemos suponer que es lineal? Si tiene algo que ver con resolver las ecuaciones de Einstein, entonces esa es la respuesta, pero ¿es realmente por eso que sabemos que la derivada temporal del factor de escala es pequeña para distancias pequeñas?
@Max: ¿por qué sabemos que la derivada temporal del factor de escala es pequeña para distancias pequeñas? Esa es solo la expansión de Taylor: dada una dependencia suficientemente suave del factor de escala en el tiempo, la relación será aproximadamente lineal si el tiempo de viaje de la luz es lo suficientemente pequeño
Sí, pero ¿cómo sabemos qué es 'lo suficientemente pequeño'? Podrían ser unos segundos, o podrían ser millones de años. Por cierto, resulta ser lo último, pero ¿cómo sabemos que el factor de escala cambia tan suavemente que períodos de tiempo tan largos apenas tienen efecto en su derivado?

¿Por qué la fórmula del corrimiento al rojo es cierta cuando se mide la expansión del universo?

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