¿Qué deformaciones no lineales exhibirá un planeta en rotación rápida?

Es de conocimiento común entre los educados que la Tierra no es exactamente esférica, y parte de esto proviene de las fuerzas de marea y las faltas de homogeneidad, pero parte proviene de la rotación del planeta mismo. La deformación del efecto de rotación lo hace más achatado como un esferoide, o como yo preferiría, "como un panqueque". Aquí hay un sitio que ilustra el comportamiento y la imagen:

La forma de la Tierra a partir de la distorsión rotacional de Imágenes Matemáticas

Existe literatura que detalla las expectativas matemáticas para un planeta en rotación usando solo fuerzas hidrostáticas, por ejemplo, consulte la teoría hidrostática de la tierra y sus implicaciones mecánicas . Me gusta imaginar una bola de agua en el espacio que se mantiene unida por su propia gravedad. Tampoco quiero desviarme de la consideración de solo las fuerzas hidrostáticas (y gravitatorias) porque creo que es suficiente para esta discusión.

Parecería que la solución del problema descrito es en términos de un pequeño cambio en el radio en función del ángulo de acimut, o coordenada z si toma el eje de rotación como el eje z. Esto está usando simetría rotacional. En otras palabras, la deformación de la Tierra debido a la rotación no depende de la longitud.

Quiero preguntar sobre el caso extremo. Imagina un planeta girando tan rápido que es un panqueque muy delgado. ¿Qué ocurrirá en este caso? tengo curiosidad:

  • ¿Se ahuecará el centro, creando una forma de dona?
  • ¿Se dividirá en un sistema de múltiples cuerpos?

Me parece que sería lógico que el caso de alta rotación se dividiera en 2 o más cuerpos separados. La razón es que un sistema de 2 cuerpos es estable y puede albergar un momento angular muy grande. Pero, ¿será una inestabilidad lo que lleva a este caso? ¿Cuándo ocurriría tal inestabilidad y podría un cuerpo planetario en rotación deformarse en un tipo diferente de forma desde el principio, como una forma similar a una mancuerna, que pasaría a un sistema de 2 cuerpos más lógicamente que la forma de panqueque?

¿Pasaría ESTO? Enlace de imágen

En resumen, ¿cómo pasaría una forma de panqueque a una forma de mancuerna? ¿O lo sería? ¿Cuáles son las posibilidades del sistema descrito?

Esta es una buena pregunta. No estoy seguro de la respuesta, pero supongo que, a velocidades de rotación lo suficientemente altas, la configuración más estable es una forma de mancuerna, que rompe la simetría rotacional. Es decir, la forma será una función no trivial del ángulo de longitud ϕ , tanto como θ . Un grupo de personas que probablemente saben mucho sobre esto son los físicos nucleares: creo que los núcleos que giran rápidamente sufren todo tipo de deformaciones extrañas. Además, al menos en algunas circunstancias, se considera apropiado modelar núcleos con un "modelo de gota líquida".
Discutido en un contexto ficticio en el viejo caballo de guerra Mission of Gravity de Hal Clement .
@Ted, tales deformaciones se analizan para algunos núcleos pesados ​​y las vibraciones de tales elipsoides como modelo para la fisión. Pero esto siempre es para modelos de tensión superficial (líquidos). Para las pompas de jabón, tales transformaciones se muestran fácilmente experimentalmente. Para una "caída" de gravedad, las cosas serán diferentes, creo.
Probablemente tenga razón en que el caso gravitacional es bastante diferente, por lo que el caso nuclear puede no ser muy relevante para la pregunta en cuestión (aunque es interesante por derecho propio, por supuesto).
@dmckee Ugh, el planeta ficticio Mesklin suena tan poco físico. Voy a regalar algo de lo que estoy pensando. La suposición hidrostática dicta que la gravedad es de magnitud normal y uniforme en cada punto de la superficie (a diferencia de Mesklin). Entonces la masa es proporcional a S A gramo . Creo que los argumentos simples a partir de ahí podrían refutar TANTO el panqueque como la barra. Creo que pasará a la rosquilla PERO la rosquilla está sujeta a inestabilidades más allá de un giro crítico donde el problema tiene una segunda solución que es de 2 cuerpos.
@Zassounotsukushi: Una cosa a tener en cuenta es que el diagrama de la formación de la forma de la mancuerna se basa en la idea de que hay dos ejes de rotación. Un planeta que gira rápidamente tiene un solo eje de rotación.
@Zassounotsukushi: La gravedad no es normal en todos los puntos de la superficie, porque la superficie está fija en un marco giratorio como referencia. La superficie es normal a (gravedad + fuerzas de inercia) AKA (gravedad + "fuerza" centrífuga).
Me parece que las palabras de moda clave para buscar aquí son las secuencias de Maclaurin y Jacobi. Estas parecen ser formas de equilibrio para cuerpos giratorios autogravitatorios. A velocidades de rotación lentas, el equilibrio estable parece ser un esferoide achatado (como era de esperar), pero a velocidades más altas cambia a un esferoide alargado, rompiendo la simetría azimutal. Al menos, esa es la impresión que me da un escaneo rápido de varias páginas web, pero no he tratado de entender los detalles. Parece que también hay otras secuencias (p. ej., ptp.ipap.jp/link?PTP/67/844 ).
@Ten: Gracias por el enlace. Lo leeré esta noche.
solo una pista: uno podría echar un vistazo a cómo los astrofísicos se ocupan de este problema en la pudrición rápida. púlsares/magnetares (velocidad de rotación incluso mayor que púlsar). La comprensión de la deformación es probablemente muy importante para ellos, ya que cambiará los patrones de radiación de estas estrellas AFAIR. Pero cuidado, la teoría de los púlsares es abrumadora, tuve que hacer una presentación sobre los mecanismos de radiación, que ya están simplificando mucho la compleja física que contiene. Sube la recompensa ;)
Roger Forward escribió un trabajo de ciencia ficción dura sobre un planeta doble de este tipo, llamado Rocheworld . Dados los antecedentes de Forward, sería muy sorprendente que tal forma no fuera al menos estable gravitacionalmente.
@Frédéric Me parece que Rocheworld pinta la visión comparativamente modesta de dos planetas rocosos (aunque creo que esto técnicamente los convertiría en no planetas) orbitando lo suficientemente cerca como para compartir atmósfera. Está claro que la sensibilidad de la deformación de la marea a la velocidad de rotación es grande y, de hecho, se limita al infinito en esa configuración (es decir, una estabilidad muy tenue). Si el Roche podría convertirse o no en una forma de "barra" sobre las superficies del planeta "besándose" es una pregunta abierta aquí.
@Zassounotsukushi: Recuerdo Rocheworld como una especie de caso límite, donde los dos planetas se tocan. Pero leí el libro en el siglo pasado...

Respuestas (3)

Para una prueba experimental ver: canicas líquidas http://adsabs.harvard.edu/abs/2001Natur.411..924A

(muro de pago http://www.nature.com/nature/journal/v411/n6840/full/411924a0.html )

Para un artículo en Relatividad general, consulte: Simulaciones precisas de la inestabilidad dinámica del modo de barra en la relatividad general completa http://adsabs.harvard.edu/abs/2007PhRvD..75d4023B

Básicamente, una vez que comience a aumentar la rotación, el panqueque se volverá inestable y hará una transición a una barra giratoria (mancuerna).

De todos modos, creo que nadie vio la barra romperse en 2 pedazos. Por lo general, pierde materia de las regiones externas, redistribuye el momento angular y vuelve a la ejesimetría.

Salud

La contribución de la inestabilidad del modo de barra en sí misma es suficiente para elegir esto como la respuesta, pero eso no significa que no esté pensando todavía en este problema. Estaba al tanto de la evolución de "panqueque a barra" en galaxias antes de esto, pero el uso directo del índice politrópico en sus documentos de referencia indica que este problema exacto está dentro del alcance de algún trabajo anterior. Por cierto, esto contradice mi expectativa (¿fuera de lugar?) de que la forma de la barra sea inestable. Pero no puedo quitarme la sospecha de que las soluciones de "barra" solo son posibles con corrientes internas, es decir, transporte y no hidrostáticas.
No sé si esto ayuda, pero: la barra ES inestable, en el sentido de que las simulaciones parecen indicar que los dos brazos comenzarán a ser cada vez más asimétricos (uno crece y el otro se encoge) por lo que pasa de m = 2 a un modo m=1 y finalmente m=0 (axisimetría).
Para las corrientes internas: que yo sepa, no puede alcanzar el umbral de inestabilidad a menos que tenga una rotación diferencial (el núcleo gira más rápido que la superficie). Con la rotación rígida, la capa externa se soltará antes de que se establezca la inestabilidad, a menos que tenga algo que mantenga las cosas unidas (tensión superficial para gotas, EOS extraño para estrellas extrañas, no estoy seguro acerca de objetos muy compactos en GR, si hay ventanas en que funciona con rotación rígida antes de que el objeto colapse en un agujero negro, suponiendo que la rotación rígida tenga sentido en GR).
Documentos más recientes sobre gotitas (paywall, a estas personas no les gusta el arxiv por alguna razón): Formas no axisimétricas de una gota de agua giratoria y levitada magnéticamente ; Generación y Estabilidad de Gotas Toroidales en un Líquido Viscoso . El segundo parece interesante debido a la generación de múltiples gotas, pero aún así creo que aquí la tensión superficial juega un papel importante.
La rotación rígida tiene sentido en GR para cosas axisimétricas, significa que la cuerda anclada entre dos puntos no cambiará su longitud (adecuada). Pero los planetas son newtonianos.

Me he topado con un documento que presenta una solución a este problema. Primero, llegué a él a través del siguiente (reciente) resumen en línea de estas formas:

http://www.aleph.se/andart/archives/2014/02/torusearth.html

El papel está en Arvix:

Configuraciones de fluidos axisimétricos que giran uniformemente y se bifurcan a partir de esferoides de Maclaurin altamente aplanados . febrero de 2008.

Críticamente, la bifurcación a la que se hace referencia parece ser exactamente lo que mencioné en esta pregunta. Siempre comienzan con esferoides de Maclaurin , que es a lo que me refería como "panqueque". Luego pasan por un proceso y al final terminan con un toro o múltiples objetos. Aquí está la imagen que ilustra la carne real de sus descubrimientos:

dos métodos

Puedes ver en la imagen de la izquierda, van desde un panqueque hasta un simple toroide. El proceso más a la derecha demuestra uno de los otros tipos de procesos que son físicos. Sin embargo, muchas configuraciones también alcanzan un límite de desprendimiento de masa . En esa situación, agregar más rotación hace que la gravedad aparente en el borde se vuelva negativa. Obviamente, esto no funciona, por lo que el material "vuela al espacio". Pero eso no es del todo cierto, solo se resta por necesidad matemática porque en realidad no tiene velocidad de escape.

Continuando... Estoy sorprendido. No esperaba ver el "pellizco" en el medio que se muestra arriba. Esto todavía no tiene sentido para mí, y no puedo encontrar un buen argumento de por qué sucede. Para que se incline, necesito poder postular una configuración de no equilibrio en la que el centro sea plano o se incline hacia afuera, y en esa configuración, las fuerzas/gravedad empujan el material lejos del centro. Esta es una proposición muy difícil de aceptar. Veo obvio en la física gravitacional o hidrostática que haría esto. No obstante, los autores parecen haber hecho un trabajo excelente y minucioso con simulaciones completas por computadora que los respaldan con toda la complejidad del problema incluida. Así que parece que estoy equivocado acerca de eso.

Si la Tierra girara lo suficientemente rápido desde su estado actual, el polo sur y el polo norte se hundirían hacia adentro . Esto es muy extraño, pero parece ser la respuesta correcta, según este documento.

@AlanSE: Mi lectura del documento es que, más allá de una velocidad crítica de rotación, la forma de Maclaurin (C) se vuelve inestable ante pequeñas perturbaciones. Para el ϵ 1 perturbación dada en la Tabla 2 y la Figura 6, si la perturbación va en una dirección (más gruesa en el medio), alcanza el límite de desprendimiento de masa (A), desarrolla un borde afilado en el ecuador y arroja el exceso de material al espacio. Si va al revés (más delgado en el medio), entonces el panqueque se convierte en un toroide (I,J,K,L).

Las otras perturbaciones son esencialmente armónicos superiores (simétricos). Una perturbación real podría ser una mezcla de varios armónicos, o incluso violar la ejesimetría por completo. Pero si permaneces axisimétrico, entonces el ϵ k probablemente formen un conjunto de bases ortogonales que abarque todo el espacio de perturbaciones axisimétricas.

¿Qué deformaciones no lineales exhibirá un planeta en rotación rápida?
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