¿Por qué doblamos un libro para mantenerlo derecho?

Comprender por qué esto funciona resulta ser bastante profundo. Esta respuesta es una especie de larga historia, pero no hay matemáticas. Al final ("Un enfoque más formal") hay un resumen de cómo funcionan las matemáticas: sáltatelo si no quieres la historia.

geometría de insectos

Considere un pequeño insecto o algo que vive en la superficie del papel. Este insecto no puede ver fuera del papel, pero puede dibujar líneas rectas y medir ángulos en el papel.

¿Cómo dibuja líneas rectas? Bueno, lo hace de dos maneras: o toma dos puntos, dibuja líneas entre ellos en el papel y encuentra la línea más corta entre ellos, a la que llama 'recta'; o, alternativamente, dibuja una línea de tal manera que es paralela a sí misma y la llama 'recta'. Hay un truco geométrico para construir tales líneas 'paralelas a sí mismas' en el que no entraré. Y resulta que estos dos tipos de líneas son iguales.

No estoy seguro de cómo mide los ángulos: tal vez tenga un pequeño transportador.

Así que ahora nuestro insecto puede hacer geometría. Puede dibujar varios triángulos en el papel y puede medir los ángulos en las esquinas de estos triángulos. Y siempre encontrará que los ángulos suman$\pi$($180^\circ$), por supuesto. También puede hacer esto y verificar los resultados del insecto, y muchas personas hacen esto en la escuela. El insecto (llamémoslo 'Euclides') puede desarrollar todo un sistema de geometría en su hoja de papel, de hecho. Otros artistas de insectos harán dibujos y esculturas de él, y el libro de geometría que escribe se utilizará en las escuelas de insectos durante miles de años. En particular, el insecto puede construir formas a partir de líneas rectas y medir las áreas dentro de ellas y desarrollar un montón de reglas para esto: los rectángulos tienen áreas que son iguales a$w \times h$por ejemplo.

No especifiqué algo arriba: no te dije si el papel estaba plano sobre un escritorio o si estaba curvado en tu mano. Eso es porque al insecto no le importa : el insecto no puede decir si pensamos que el papel es curvo o si pensamos que es plano: las líneas y los ángulos que mide son exactamente iguales . Y eso es porque, en un sentido real, el insecto tiene razón y nosotros estamos equivocados: el papel es plano, incluso cuando pensamos que es curvo . Lo que quiero decir con esto es que no hay ninguna medida que puedas hacer, en la superficie del papel que te diga si es 'curvo' o 'plano'.

Así que ahora sacude el papel y haz que uno de los insectos se caiga y aterrice en un tomate. Este insecto comienza a hacer su geometría en la superficie del tomate y encuentra algo bastante impactante: a pequeña escala todo se ve bien, pero cuando comienza a intentar construir figuras grandes, las cosas salen terriblemente mal: los ángulos en sus triángulos suman más que$\pi$. Las líneas que comienzan paralelas, se extienden lo suficiente, se encuentran dos veces y, de hecho, no existe una noción global de paralelismo en absoluto . Y cuando mide el área dentro de las formas, descubre que siempre es más de lo que cree que debería ser: de alguna manera, hay más tomate dentro de las formas que papel.

El tomate, de hecho, está curvado : sin salir nunca de la superficie del tomate, el insecto puede saber que la superficie está algo deformada. Eventualmente puede desarrollar toda una teoría de la geometría del tomate, y luego algunos insectos realmente inteligentes con nombres como 'Gauss' y 'Riemann' desarrollarán una teoría que les permita describir la geometría de las superficies curvas en general: tomates, peras, etc. .

Curvatura intrínseca y extrínseca

Para ser realmente precisos, hablamos de que la hoja de papel es 'intrínsecamente plana' y que la superficie del tomate es 'intrínsecamente curvada': lo que esto significa es que, haciendo mediciones solo en la superficie, podemos saber si las reglas de La geometría euclidiana se mantiene o no.

Hay otro tipo de curvatura que es la curvatura extrínseca : este es el tipo de curvatura que solo puedes medir considerando un objeto como si estuviera incrustado en algún espacio de dimensión superior. Entonces, en el caso de las hojas de papel, las superficies de estas son objetos bidimensionales incrustados en el espacio tridimensional donde vivimos. Y podemos saber si estas superficies son extrínsecamente curvadas construyendo vectores normales a las superficies y verificando si todos apuntan en la misma dirección. Pero los insectos no pueden hacer esto: solo pueden medir la curvatura intrínseca.

Y, de manera crítica, algo puede ser extrínsecamente curvo mientras es intrínsecamente plano. (Lo contrario no es cierto, al menos en el caso del papel: si es intrínsecamente curvo, también es extrínsecamente curvo).

Estiramiento y compresión

Hay algo crítico acerca de la diferencia entre superficies intrínsecamente planas e intrínsecamente curvas que he mencionado al pasar arriba: el área dentro de las formas es diferente . Lo que esto significa es que la superficie se estira o se comprime: en el caso del tomate hay más área dentro de los triángulos que en el papel plano.

Lo que esto significa es que, si quieres tomar un objeto intrínsecamente plano y deformarlo para que sea intrínsecamente curvo, necesitas estirar o comprimir partes de él: si quisiéramos tomar una hoja de papel y curvarla sobre la superficie de una esfera, entonces tendríamos que estirarla y comprimirla: no hay otra forma de hacerlo.

Eso no es cierto para la curvatura extrínseca: si tomo un trozo de papel y lo enrollo en un cilindro, por ejemplo, la superficie del papel no se estira ni se comprime en absoluto. (De hecho, es un poco porque el papel es en realidad un objeto tridimensional delgado, pero el papel bidimensional ideal no lo es).

Por qué curvar el papel lo hace rígido

Finalmente puedo responder a la pregunta. El papel es bastante resistente al estiramiento y la compresión: si intenta estirar una hoja de papel (seca), se rasgará antes de que se haya estirado realmente, y si intenta comprimirla, se doblará de una manera terrible pero no se comprimirá. .

Pero el papel es muy delgado, por lo que no es muy resistente a la flexión (porque al doblarlo solo se estira un poquito, y para nuestro papel bidimensional ideal, no se estira en absoluto).

Lo que esto significa es que es fácil curvar el papel extrínsecamente pero muy difícil curvarlo intrínsecamente .

Y ahora agitaré mis manos un poco: si curvas el papel en forma de 'U' como lo has hecho, entonces lo estás curvando solo extrínsecamente: sigue siendo intrínsecamente plano. Así que no le importa esto, en absoluto. Pero si también comienza a curvarse en la otra dirección, entonces tendrá que curvarse intrínsecamente : tendrá que estirarse o comprimirse. Es fácil ver esto con solo mirar el papel: cuando está curvado en una 'U', entonces para curvarlo en la otra dirección, la parte superior de la 'U' tendrá que estirarse o la parte inferior tendrá que estirarse. comprimir.

Y es por eso que curvar el papel de esa manera lo vuelve rígido: 'agota' la capacidad de curvar extrínsecamente el papel de modo que cualquier otra curvatura extrínseca implique también una curvatura intrínseca , lo que al papel no le gusta hacer.

Por qué todo esto es importante

Como dije al principio, esta es una pregunta bastante profunda.

• Las matemáticas detrás de esto son absolutamente fascinantes y hermosas, a la vez que son relativamente fáciles de entender una vez que las has visto. Si lo entiendes, obtienes algún tipo de idea de cómo funcionaba la mente de personas como Gauss, lo cual es simplemente encantador.
• Las matemáticas y la física detrás de esto resultan ser algunas de las matemáticas que necesitas para entender la Relatividad General, que es una teoría sobre la curvatura. Entonces, al comprender esto correctamente, está comenzando el camino hacia la comprensión de la teoría más hermosa y profunda de la física moderna (iba a escribir 'una de las más ...' pero no: está GR y está todo lo demás).
• Las matemáticas y la física detrás de esto también son importantes en cosas como la ingeniería: si desea comprender por qué las vigas son fuertes o por qué los paneles de los automóviles son rígidos, debe comprender estas cosas.
• Y, por último, son las mismas matemáticas : las matemáticas que necesitas para entender varias estructuras de ingeniería están muy cerca de las matemáticas que necesitas para entender GR: ¿Qué tan genial es eso?

Un enfoque más formal: un teorema notable

La última sección anterior involucró algunas ondulaciones manuales: la forma de hacerlo menos ondulatorio se debe al maravilloso Teorema Egregium ("teorema notable") debido a Gauss. No quiero entrar en detalles completos de esto (de hecho, probablemente ya no esté en condiciones), pero el truco que haces es, para una superficie bidimensional, puedes construir el vector normal$\vec{n}$en tres dimensiones (el vector que apunta hacia fuera de la superficie), y puede considerar cómo este vector cambia de dirección (en tres dimensiones) a medida que lo mueve a lo largo de varias curvas en la superficie. En cualquier punto de la superficie hay dos curvas que la atraviesan: una en la que el vector cambia de dirección más rápidamente a lo largo de la curva y otra en la que cambia de dirección más lentamente (esto se sigue básicamente de la continuidad).

Podemos construir un número,$r$que describe qué tan rápido el vector cambia de dirección a lo largo de una curva (he olvidado por completo cómo hacerlo, pero creo que es sencillo), y para estas dos curvas máximas y mínimas podemos llamar a las dos tasas$r_1$y$r_2$.$r_1$&$r_2$se llaman las dos curvaturas principales de la superficie.

Entonces la cantidad$K = r_1r_2$se denomina curvatura gaussiana de la superficie, y el teorema egregium dice que esta cantidad es intrínseca a la superficie: se puede medir simplemente midiendo ángulos, etcétera, en la superficie. La razón por la que el teorema es notable es que toda la definición de$K$cosas involucradas que son extrínsecas a la superficie, en particular las dos curvaturas principales. Porque$K$es intrínseco, nuestros insectos pueden medirlo !

La geometría euclidiana es verdadera (en particular, el postulado de las paralelas es verdadero) para superficies donde$K = 0$solo.

Y ahora podemos ser un poco más precisos sobre todo el asunto de 'estiramiento y compresión' del que hablé anteriormente. Si no se nos permite estirar y comprimir la hoja de papel, entonces todas las cosas que se nos permite hacer con ella no alteran ninguna medida que los insectos puedan hacer: longitudes o ángulos que son intrínsecos, es decir, medidos. completamente en la superficie del papel, no puede cambiar a menos que estire o comprima el papel. Los cambios en el papel que conservan estas propiedades intrínsecas se denominan isometrías . Y desde$K$es intrínseco no se ve alterado por isometrías.

Ahora considere una hoja de papel que es plana en tres dimensiones. Es obvio que$r_1 = r_2 = 0$(el vector normal siempre apunta en la misma dirección). Entonces$K = 0$.

Ahora dobla el papel en forma de 'U': ahora está claro que$r_1 \ne 0$-- si dibuja una curva a través del valle en el papel, entonces el vector normal de esa curva cambia de dirección. Pero este plegado es una isometría: no estiramos ni comprimimos el papel. Entonces$K$todavía debe ser$0$: el papel sigue siendo intrínsecamente plano. Pero desde$K = r_1r_2$y$r_1 \ne 0$esto significa que$r_2 = 0$.

Y lo que esto significa es que la otra curvatura principal debe ser cero. Esta curvatura principal es a lo largo de la línea que desciende por el valle de la 'U'. En otras palabras, el papel no puede doblarse en la otra dirección sin volverse intrínsecamente curvado ($K \ne 0$), lo que significa que necesita estirarse.

(Todavía he agitado un poco la mano aquí: no he definido cómo calcula$r$, y no he demostrado que no haya alguna otra curva que puedas dibujar a lo largo del papel que tiene$r = 0$Aparte de la obvia.)

Una de las razones por las que todo esto es bastante interesante es que estas matemáticas son el comienzo de las matemáticas que necesitas para entender la Relatividad General, que también trata sobre la curvatura.

Falla y plegado

Por supuesto, si toma el trozo de papel en forma de U e intenta doblarlo en la otra dirección en algún punto, fallará repentinamente y se doblará de una manera complicada. Creo que hay toda un área de estudio que piensa en eso. Sospecho que cuando esto sucede (durante la falla repentina, creo que no después) debe haber, localmente, una curvatura intrínseca distinta de cero en algunos lugares del papel. Estoy seguro de que hay muchas matemáticas interesantes sobre esto (aparte de cualquier otra cosa, debe ser muy interesante para las estructuras de ingeniería), pero no lo sé.

Esencialmente, ha descubierto los principios detrás de los momentos de flexión y la ingeniería estructural.

Como dijo otro cartel, físicamente la estructura que hiciste es más fuerte, porque para doblar algo (por ejemplo, una viga cargada en la parte superior) las capas en la parte superior se comprimen mientras que las capas en la parte inferior se estiran. Esto se debe simplemente a la geometría y la naturaleza física de los materiales. En resumen, la carga (fuerza) se transforma de una dirección normal a la viga, a una fuerza interna: tensión longitudinal. Más específicamente, la carga aplicada (del peso, la gravedad, lo que sea) da como resultado un momento de flexión en el miembro, este momento de flexión se manifiesta como tensiones internas (fuerzas de tracción y compresión) dentro del miembro que resiste la flexión de igual magnitud.

Algunos conceptos básicos sobre las fuerzas: la compresión y la tensión son lo mismo, solo que en "direcciones" diferentes, es decir: si la compresión es -1 o -2, entonces la tensión será 1 o 2. Sabiendo eso, y sabiendo que la parte superior del miembro está en compresión y el fondo está en tensión, podemos razonar que hay una distribución de fuerzas a través del miembro. Y creo que la parte más importante de su pregunta es que dado que la distribución de fuerzas va de -x a +x a lo largo del miembro, debe haber algún punto donde x = 0 (la superficie neutra). En la imagen de abajo, el estrés (flechas verdes) en algún punto cruza 0.

Por lo tanto, podemos observar que los esfuerzos máximos ocurren en los bordes, arriba y abajo de la viga en nuestro ejemplo. Este principio es precisamente cómo y por qué funcionan las vigas en I. La resistencia del miembro proviene de las propiedades materiales del material (su capacidad para resistir la compresión o la tensión (estiramiento)). Eso significa que algo como una viga de acero estará limitada en su capacidad para resistir la flexión por el cálculo de la carga de tracción en la superficie. Físicamente esa ecuación es (para el$x$dirección):

$\sigma_{x}=-\frac{y}{c}\sigma_{m}$

Dónde$c$es la superficie neutra (el plano imaginario donde$\sigma_{x}=0$) y$y$es la distancia desde la superficie neutra, y$\sigma_{m}$es el valor absoluto máximo de la tensión en el miembro.

En términos sencillos, la altura de la viga es el factor determinante de su resistencia, no el grosor. Pero en el plano que está experimentando cargas máximas (tensión y compresión) ahí el grosor te dará más fuerza. Esto da como resultado la clásica forma de viga en I.

¿Qué tiene que ver todo esto con el papel?

Cuando el OP orienta el papel horizontalmente (plano), la altura del papel relativa a la superficie neutra es básicamente 0. IE podemos considerar que todo el papel ES una superficie neutra. Eso significa que literalmente no puede resistir ninguna flexión. Voltee el papel 90 grados y ahora todo el papel está alto, y todo el papel puede resistir la flexión y no se puede doblar. Por lo general, se doblará o rasgará antes de doblarse.

La forma curva que crea OP está explotando todos los conceptos que cubrimos aquí. En lugar de hacer una forma de I, OP hace una forma de C, lo que lleva a la idea de explotar materiales delgados mediante el uso de ondulaciones para agregar una resistencia increíble y mantener el peso bajo. Por ejemplo, las capas internas de una caja de cartón están corrugadas o dobladas en pequeñas formas curvas para resistir la flexión. Por lo tanto, podemos usar menos material para lograr resistencias mucho más altas.

Cuando dobla una pieza de material, la resistencia se obtiene estirando el material en la parte exterior del doblez y comprimiendo el material en el interior del doblez.

Una hoja plana delgada se dobla fácilmente porque, físicamente, no se produce mucho estiramiento o compresión cuando se dobla.

Cuando le das a tu libro un pliegue, como un canal, esa forma no puede doblarse físicamente sin estirar mucho los bordes superiores y comprimir mucho la parte inferior del canal. Una curva muy pequeña crearía mucho estiramiento y compresión, por lo que la forma tiene mucha resistencia a la flexión.

Las otras respuestas hasta ahora son técnicamente correctas, pero ninguna de ellas realmente parece dar una respuesta de sentido común / intuitiva y simple. Así que intentaré con uno.

Imagínese doblando muy ligeramente algún tipo de objeto hacia abajo en un extremo, mientras mantiene el otro extremo firmemente horizontal. (Podría ser casi cualquier objeto, podría ser papel, una rama de un árbol, un tubo de plástico, un bloque de goma largo y delgado, ¡incluso un bloque de concreto!) Pero solo doblar el objeto muy ligeramente desde un extremo, por lo que no está t romperlo o fracturarlo.

Para doblarse, la parte superior del objeto tiene que estirarse más que la parte inferior, porque está en el "exterior" de la "curva" que se forma cuando doblas el objeto.

(La parte inferior también está aplastada o "comprimida", pero es más fácil de visualizar si ignoramos eso y nos enfocamos en lo que sucede en la parte superior del objeto)

Casi todos los materiales y objetos resistirán el estiramiento y la compresión, al menos dentro de algunos límites pequeños. Algunos lo resisten masivamente (intenta estirar una barra de acero). Otros no lo resisten mucho (prueba tirando de alguna cuerda de nylon o elástica, o de un resorte). Algunos se romperán o rasgarán rápidamente (el concreto y el papel no se estiran bien, sino que se romperán o rasgarán rápidamente). Otros materiales se estirarán bastante (el acero es uno, por lo que se usa para reforzar estructuras de concreto, a diferencia del concreto, seguirá resistiendo una acción de estiramiento).

Esa diferencia entre cuánto se debe doblar la "parte superior" y la "parte inferior", y el hecho de que si el objeto se dobla aunque sea ligeramente, ambos deben doblarse y sus curvas tendrán radios diferentes, es lo que determina el resultado, si el objeto es su hoja de papel, un bloc de notas completo, la rama de un árbol o una viga de acero.

Vuelve a tu papel.

Si su papel es plano, las superficies superior e inferior de la hoja están muy cerca verticalmente. Por lo tanto, puede doblarse o caerse, casi sin estirar la parte superior. La superficie superior en realidad se estira un poco, por lo que incluso la hoja volteada se dobla en forma curva; llega un punto en el que si se dobla más, la superficie superior tendría que estirarse lo suficiente más que la superficie inferior, que las fibras de el papel lo resiste, para que no se doble fácilmente (sin que lo arrugues o algo así).

Pero ahora suponga que dobla la hoja a lo largo, aunque sea ligeramente. Ahora bien, la "parte superior" y la "parte inferior de la curva" no son las dos superficies de la hoja, separadas por una pequeña distancia. Son el "valle" de la hoja doblada y los dos bordes que están más altos (los dos lados de la hoja). que se doblan hacia arriba). Esos están mucho * mucho * más separados verticalmente que las dos superficies. Entonces, la hoja de papel aún intenta volcarse, pero no puede voltearse en absoluto (o solo microscópicamente o en las esquinas) porque el " parte superior" ahora tendría que estirarse mucho, solo para que la hoja se doble un poco. Las fibras de papel no se estiran bien (están unidas entre sí y resisten el estiramiento más allá de una pequeña cantidad; eventualmente se rasgarán). Gravedad también lo es

El resultado final es que ahora, las fibras en los bordes "superiores" tendrían que estirarse mucho para permitir que el papel se "caiga", por lo que no se pueden estirar lo suficiente como para caer, y tampoco se tiran lo suficiente hacia abajo. rasgar (o doblar de otras maneras). Entonces la hoja simplemente se queda donde está. Así que ahora, la hoja actúa mucho más rígidamente.

Puedes ver esto imaginando intentar lo mismo, pero con una hoja de silicona, o algo realmente flexible y flexible, en lugar de papel. Ahora, doblar la hoja a lo largo de su longitud no funciona bien, porque el material en sí no resiste que su superficie "superior" o los bordes se estiren mucho, por lo que aún puede encontrar una manera de caer.

La madera viva de los árboles está hecha de diferentes partes y también interactúan, por lo que se astilla después de un tiempo, pero no se rompe por completo. Pero esto debería darle una buena idea de lo que está pasando. Solo tenga en cuenta que es una versión simplificada)

"Curvar" el papel aumenta el segundo momento del área , porque efectivamente aumenta la distancia del área de la sección transversal del papel desde el centroide de la sección.

La rigidez de una sección transversal es proporcional al cuadrado de la distancia desde el centroide (ver también el teorema del eje paralelo ), por lo que curvar el papel multiplica efectivamente su rigidez por varios órdenes de magnitud, por lo que el papel curvo exhibe un desplazamiento mínimo (= permanece recto) .

He aquí otro ejemplo del mismo principio. Un papel sostenido horizontalmente se dobla bajo su propio peso. Un papel perfectamente plano sostenido perfectamente verticalmente es perfectamente capaz de soportar su propio peso con un desplazamiento mínimo. Es el mismo principio, aumento radical de la rigidez a lo largo de la dirección de flexión a través del aumento de la distancia desde el centroide.

Nota: aquí estoy usando "curvar" como verbo, aunque probablemente no sea correcto, para no confundir la acción con el efecto de doblar el papel debido a la gravedad.

Todas estas otras respuestas son demasiado largas y complicadas (aunque probablemente sean más correctas técnicamente que mi respuesta). Cuando doblas el papel, esencialmente estás creando un puente colgante de un solo extremo. Piense en un puente colgante que no atraviesa completamente un valle/cañón/río, es decir, un extremo cuelga en el aire. A medida que dobla la hoja de papel, los lados que son más verticales se convierten en la suspensión que sostiene la 'plataforma'. Quítese la suspensión y la plataforma no tiene la fuerza suficiente para soportar su propio peso.

Voy a probar con otra respuesta intuitiva, ya que parece que tenemos bastantes respuestas técnicas aquí. Como dices, se trata de las propiedades elásticas.

Cuando sostiene el papel sin arrugas, le está dando una condición límite a la superficie: horizontal, en este caso. Cada punto en el resto del papel siente una fuerza de gravedad hacia abajo, así como también fuerzas de contacto paralelas (electrostáticas) con la superficie. Sin embargo, estas fuerzas están completamente en la dirección de la curva, porque la condición límite que ha establecido no incluye ningún componente a lo largo de la dirección de traslación del cilindro (vea la figura).

Sin embargo, cuando induce esos componentes, al cambiar las condiciones de contorno, crea fuerzas en todas las direcciones (paralelas a la superficie) en cada punto. Estas fuerzas están esencialmente ahí porque el papel no se puede cambiar de forma discontinua (eso es parte de las propiedades elásticas que mencionó). Si el papel es lo suficientemente largo, la fuerza gravitatoria eventualmente puede ganar y el papel puede caerse (o rasgarse o arrugarse).

Creo que es por la estructura del artículo. Las fibras de la pulpa de la que se construye están alineadas en una dirección. Esta es también la razón por la que es mucho más fácil rasgar la hoja en una dirección (con las fibras) y luego en la otra (a través de ellas).