Puntos de equilibrio en mecánica lagrangiana

La condición de equilibrio se comprende mejor utilizando el hamiltoniano. Si el lagrangiano es independiente del tiempo, entonces el hamiltoniano se conserva (aunque no necesariamente la energía) y la evolución debe tener lugar en una curva de$H=$constante.

Dado un hamiltoniano$H(p,q)$(en una dimensión para mantenerlo simple), entonces la condición para una posición de equilibrio es

$$\left(\frac{\partial H}{\partial p},\frac{\partial H}{\partial q}\right)=0=(\dot{q},-\dot{p})\, .$$ Geométricamente, los puntos que satisfacen esto son extremos en el $H$paisaje, es decir, al pensar en $H(p,q)$como una superficie en 3D. Matemáticamente, según las ecuaciones de Hamilton, el momento y la posición son exactamente extremos en esos puntos.

Matemáticamente, esta formulación, que involucra primeras derivadas, enlaza con el rico tema del comportamiento cualitativo de las ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden, que son aplicables a una amplia variedad de sistemas: el estudio de los sistemas depredador-presa, el modelo de guerra de Lanchester , etc. (La lista es muy larga).

Un ejemplo para el que esto se aplica es el gobernador de flyball . El lagrangiano del sistema es

$$L=\ell^2(m_1+2m_2\sin^2\alpha)\dot{\alpha}^2+ m_1\ell^2\Omega^2\sin^2\alpha +2(m_1+m_2)g\ell\cos\alpha\, .$$ y es difícil identificar un "potencial" $V(\alpha)$ya que el coeficiente de término en $\dot{\alpha}^2$en realidad es una función de $\alpha$.

El momento$p_\alpha=\partial L/\partial \dot{\alpha}=2\ell^2(m_1+2m_2\sin^2\alpha)\dot{\alpha}$, por lo que se encuentra que el hamiltoniano, después de manipulaciones sencillas, es

$$\begin{align} H&= \frac{p^2_\alpha}{4\ell^2(m_1+2m_2\sin^2\alpha)}-m_1\ell^2\sin^2\alpha\,\Omega^2 -2(m_1+m_2)g\ell\cos\alpha\, . \end{align}$$

Los puntos fijos se obtienen fácilmente. Claramente$\partial H/\partial p_\alpha=0$implica$p_\alpha=0$. Por otro lado:

$$\frac{\partial H}{\partial \alpha}\vert_{p=0}= 2\ell\sin(\alpha)\left(m_1\ell \cos(\alpha)\Omega^2-(m_1+m_2)g\right)=0\, ,$$ lo que da $\alpha=0$sino también un punto de equilibrio no trivial si uno puede satisfacer $m_1\ell \cos(\alpha_0)\Omega^2-(m_1+m_2)g=0$por algún ángulo $\alpha_0$. Ver aquí para otro ejemplo.

Si el sistema es natural, entonces$H=T+V_{\hbox{eff}}$con$T=p^2/(2m)$, esto se reduce automáticamente a una condición sobre la derivada del potencial efectivo.