¿Puedes explicarme completamente la aceleración?

Es más simple de lo que (probablemente) piensas.

En su ejemplo de definición de velocidad: este es un cambio de posición$s$en un tiempo$t$. Las unidades de distancia son metros y las unidades de tiempo son segundos, por lo que las unidades de velocidad son metros por segundo. Hasta ahora tan bueno.

Ahora considere la aceleración: este es un cambio de velocidad$v$en un tiempo$t$, entonces las unidades de aceleración son$v/t$. Las unidades de velocidad son metros/seg y las unidades de tiempo son segundos, por lo que las unidades de aceleración son (metros/seg)/seg o metros/seg$^2$.

Parte del problema es la palabra tiempo y cómo se usa mal. El tiempo puede significar, entre otras cosas, la lectura de un reloj en un momento determinado o la diferencia entre dos de esas lecturas. El primero debería llamarse más correctamente lectura de reloj , mientras que el segundo debería llamarse más correctamente duración .

Otra parte del problema es que los autores usan el mismo símbolo, generalmente solo$t$, para representar ambas cantidades! Mientras$t$está bien para una lectura de reloj, un mejor símbolo para la duración es$\Delta t$.

Culpo a los autores de los libros de texto de física, especialmente los libros de texto introductorios, por perpetuar esta ofuscación y la confusión resultante para los estudiantes.

De todos modos, casi nunca (no puedo pensar en uno mientras escribo esto) un caso en física cuando necesitamos sustituir la lectura de un reloj en una ecuación cinemática o dinámica. En todos los casos que se me ocurren, lo que realmente tratamos es la duración.$\Delta t$, y hay dos razones para ello. La primera es que los números en un reloj, aunque de origen astronómico, son completamente arbitrarios y, por lo tanto, no tienen un significado físico inherente. La segunda es que la diferencia entre dos lecturas de reloj tiene un gran significado físico. Es esta última, la duración, la que aparece en las definiciones de velocidad, aceleración y cualquier otra cantidad física que involucre "tiempo" (nótense las comillas).

Ahora, para abordar específicamente su pregunta sobre el significado de la aceleración, considere que la articulación correcta de la definición de aceleración promedio es el cambio en la velocidad de un objeto en comparación con la duración a través de la cual ocurre ese cambio en la velocidad . Eso es mucho más preciso físicamente que la distancia descuidada y demasiado simple en el tiempo . Siempre me aseguro de que mis alumnos aprendan la definición más correcta; previene tantos errores.

A continuación, mire la unidad de aceleración. Debe ser la unidad de velocidad ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en comparación con la unidad de duración ($\mathrm{s}$). Esto se puede escribir correctamente como la combinación obtusa (y casi desprovista de significado físico)$\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$pero esto oculta el significado tan claramente articulado por la mejor definición dada arriba. Entonces, escribe la unidad de aceleración como$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}$y léelo de abajo hacia arriba. Una aceleración de, digamos,$3\;\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}$sería leído e interpretado como

"Por cada segundo de duración, la velocidad del objeto cambia por$3\;\mathrm{m}/\mathrm{s}$."

Recuerda que la aceleración es una cantidad vectorial, por lo que, en general, podría haber tanto un cambio de magnitud como un cambio de dirección. Cualquier cambio arbitrario de este tipo se puede descomponer en un cambio que es paralelo (o antiparalelo) a la aceleración original y un cambio que es perpendicular a la aceleración original. Mi punto es que también deberíamos citar una dirección, pero no lo hice aquí.

Su punto sobre el significado del tiempo al cuadrado es una gran pregunta y debería ser planteada por más estudiantes. El tiempo al cuadrado no significa nada. La duración al cuadrado, por otro lado, tiene un significado físico y es la base de nuestra comprensión física del movimiento.

Sacas otro tema, y ​​ese es el término distancia . También se ha abusado un poco de él, pero lo guardaré para otro momento si alguien pregunta.

Realmente deseo que la comunidad responsabilice a los autores de libros de texto por este grave abuso de terminología y notación.

Ver esto matemáticamente es una forma de hacerlo, pero también podría verlo de una manera más intuitiva.

Como usted señaló correctamente, la velocidad de algo ($v$) es la distancia recorrida ($s$) dividido por el tiempo empleado ($t$).

La aceleración se define como qué tan rápido está cambiando su velocidad . Entonces, en términos de unidades, preguntarías cuántos metros por segundo ($m$/$s$) ganas cada segundo ($s$), o$m/s/s$(metros por segundo, por segundo), que es matemáticamente equivalente a$m/s^2$.

En realidad, no tiene que "cuadrar el tiempo" para encontrar la aceleración, solo tiene que averiguar cómo cambia su velocidad con el tiempo.

La forma más intuitiva de entender la aceleración es entenderla en términos de expansiones en serie de Taylor .

En este breve artículo de este sitio web atribuido a SA Fulling se puede encontrar una buena discusión de nivel de entrada sobre cómo se aplica la expansión de la serie de Taylor a la cuestión de la posición-velocidad-aceleración .

Si revisamos el Teorema de Taylor, empezamos evaluando la serie con$u=0$, Wolfram muestra la expansión como:

Si observa los primeros tres términos, debería ver la similitud con:

Ahora primero considere la expansión de la$\frac{1}{n!}$términos factoriales inversos.

luego considere la suma de solo los términos después de la$\dfrac{1}{2}$término:

La suma de todos los términos factoriales inversos después de$\frac{1}{2!}$es solo$0.218282\dots$que es claramente menor que$\frac{1}{2}$, por lo que a menos que las derivadas de orden superior de$f^{n}(u)$cuándo$u=0$son sustanciales, entonces el efecto general de las derivadas de orden superior nunca será mayor que el primer factor no lineal$t^2$.

Volviendo a la expansión de Taylor, el objetivo, por supuesto, es determinar los valores de$x_0$,$v_0$,$a_0$. Estos se dan con frecuencia, o pueden determinarse por observación, pero en cualquier caso pueden entenderse como constantes obtenidas de la integración. Por ejemplo, como se explicó en el ejercicio anterior , uno comenzaría integrando alguna constante arbitraria para la tercera derivada de alguna función, suponiendo que la integral real fuera menor que la integral de una constante arbitraria:

realizando estas integrales para derivadas sucesivas, eventualmente podemos encontrar la forma de la ecuación,

Según el ejercicio, esto muestra que la gráfica de$f(t)-x_0 + v_0t + \frac{1}{2}a_0t^2$estará entre dos curvas$\pm \frac{1}{6}M|t|^3$que deben estar muy juntos en$t=0$.

Desde$M = f'''(0)$, si

Además, si se demuestra que la expansión derivada tiene términos de orden superior que se cancelan o se suprimen lo suficiente, entonces se pueden ignorar los términos de orden superior.

Sin embargo, los valores específicos de la$x_0$,$v_0$,$a_0$no se conocerá a menos que se especifiquen los dominios de integración y las condiciones de contorno.

En cualquier caso, se puede continuar expandiendo la variable de posición con respecto al tiempo y encontrar que "jerk" es la tercera potencia o tiempo y "Jounce" (o "Snap") es la cuarta potencia en la expansión . Estas contribuciones de orden superior, y todas las demás contribuciones de orden superior, tienen una contribución decreciente a la ecuación general atribuible a la$n!$ término factorial en el denominador de la sumatoria. Esta es una buena analogía para comprender el concepto de la constante de acoplamiento y cómo el acoplamiento puede disminuir a medida que uno se expande perturbativamente sobre la solución de una ecuación (por ejemplo, una función).

Entonces, la aceleración es el primer término no lineal en la expansión de la función que relaciona la posición con el tiempo. Dado que los términos de orden superior no contribuyen más que el primer término no lineal (aceleración) para ciertos$f(t)$, sus efectos pueden ignorarse en la mayoría de las circunstancias (aunque en algunas situaciones, como el diseño de ascensores, el tirón es una consideración, y cuando uno se mete en el diseño de naves espaciales, también se deben considerar los derivados de orden superior).

se debe notar que$f(t)$tiene unidades de posición (por ejemplo, m = metros), ya que la expansión de Taylor es para el$t$variable y la$t$la variable se eleva a un orden superior en cada término sucesivo, la constante debe llevar unidades que anulen las unidades de tiempo de cada término. Ya que$a_0$está asociado con$t^2$, debe llevar unidades de$\frac{m}{s^2}$para asegurar que$f(t)$esta en unidades de$m$.

no es más que la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo. No tienes que elevar el tiempo al cuadrado. supongamos que un cuerpo va con velocidad constante, significa que siempre cubre la misma distancia en un tiempo determinado. entonces la velocidad es constante, por lo que la aceleración será cero.

Las respuestas actuales ya han cubierto todos los ángulos bastante bien, pero tal vez la siguiente redacción y ejemplo aún puedan contribuir un poco.

La velocidad es cuánto cambia la posición de un objeto por unidad de tiempo (esta unidad es libre de elegir). Entonces, la aceleración se compara con la velocidad como la velocidad se compara con la posición: es cuánto cambia la velocidad de un objeto por unidad de tiempo (otra vez libre de elegir, pero sea consistente).

Por ejemplo, considere un objeto que viaja del punto A al punto B, ambos separados por 5 metros (como vuela el águila). Si el objeto tarda 5 segundos en viajar de A a B, entonces su velocidad promedio ha sido de 5 metros por 5 segundos (y esta velocidad promedio apunta en la dirección de$\mathbf{AB}$. O si quieres usar 1 segundo como unidad de tiempo : 1 metro por 1 segundo ($1\,\mathrm{m/s}$). Esta es una unidad de tiempo de uso común. Pero si quieres, puedes usar 1 día también. Entonces, en este ejemplo, la velocidad promedio se convierte en$86400\,\mathrm{m/day}$. Incluso podrías usar algo extraño como 5 minutos y 23 segundos como unidad de tiempo y llamarlo$\mathrm{Mia}$. Entonces el ejemplo da$323\,\mathrm{m/Mia}$.

De todos modos, si ahora sabemos que el objeto no siempre viajó a una velocidad de$323\,\mathrm{m/Mia}$(que era$1\,\mathrm{m/s}$recuerde), es posible que queramos saber cómo se ve el perfil de velocidad a lo largo del tiempo. ¿Cómo cambió la velocidad por unidad de tiempo? (tanto en dirección como en magnitud) Digamos que solo conocemos la velocidad al principio (en A, por ejemplo$0\,\mathrm{m/s}$) y al final (en B, por ejemplo$2\,\mathrm{m/s}$) y que la dirección no ha cambiado (por simplicidad). Entonces sabemos que el cambio (promedio) en la velocidad es$2\,\mathrm{m/s}$. También sabemos que el objeto tardó 5 segundos en llegar de A a B, por lo que la aceleración promedio es [2 metros por segundo] cada 5 segundos. O matemáticamente:

También puede verlo así: defina una nueva unidad de velocidad (como el$\mathrm{Mia}$por tiempo) y llámalo el$\mathrm{Wouter}$, igual a$1\,\mathrm{m/s}$. Entonces el cambio promedio en la velocidad es$2\,\mathrm{Wouter}$y la aceleración media es$2\,\mathrm{Wouter}$por$5\,\mathrm{seconds}$o, cuando usamos$1\,\mathrm{s}$como unidad de tiempo:$0.4\,\mathrm{Wouter}$por$1\,\mathrm{second}$. Ahora podríamos calcular cuántos$\mathrm{Wouter}$por$\mathrm{Mia}$esto corresponde a, pero no vamos.

Usted pidió la derivación o demostración de la fórmula de la aceleración. Una cosa que tienes que entender sobre la observación de la realidad física es que no puedes empezar desde cero. Simplemente no es posible. Hay que convertir el fenómeno de la naturaleza en un concepto plausible, comprensible y muy tangible. Por lo tanto, los conceptos básicos en física como el movimiento: velocidad, aceleración, rapidez están todos DEFINIDOS. Lo segundo que tienes que entender es cómo estos conceptos están interrelacionados. Si observas el movimiento de una partícula, notarás que recorre una cierta distancia en un cierto intervalo de tiempo. Por lo tanto, entiende que la cantidad de distancia recorrida es proporcional al tiempo durante el cual se produce el movimiento. A partir de esto, puede inferir que se puede definir una cierta constante o cantidad, que no es directamente observable en la naturaleza, para comprender mejor el tipo de movimiento que se describe. De aquí nació el concepto de velocidad, que se definía como la relación entre el cambio de posición de un objeto y el cambio de tiempo que tarda en realizarse el cambio de posición. Pero a medida que observa más el movimiento de los objetos, se da cuenta de que ni siquiera la velocidad permanece constante. Si echas un vistazo a tu velocímetro cuando estás Al conducir un vehículo, sin duda notará que la velocidad a la que viaja no se mantiene constante. Fluctúa dependiendo de cuánto lo pises. Entonces, los físicos introdujeron otro concepto que buscaba definir el cambio en la velocidad en sí. Observar el cambio de velocidad hizo que los físicos se dieran cuenta de que los objetos que cambian de velocidad pueden cubrir diferentes distancias en los mismos intervalos de tiempo. Así nació el concepto de aceleración, que Observar el cambio de velocidad hizo que los físicos se dieran cuenta de que los objetos que cambian de velocidad pueden cubrir diferentes distancias en los mismos intervalos de tiempo. Así nació el concepto de aceleración, que Observar el cambio de velocidad hizo que los físicos se dieran cuenta de que los objetos que cambian de velocidad pueden cubrir diferentes distancias en los mismos intervalos de tiempo. Así nació el concepto de aceleración, queDEFINIDO la tasa de cambio de la velocidad misma. Si quieres comprender mejor estos conceptos, siempre es recomendable comprar algunos libros sobre mecánica clásica y, especialmente, estudiar gráficos de movimiento. Compara las gráficas del movimiento de un objeto con respecto al tiempo, la velocidad del mismo objeto con respecto al tiempo y la aceleración del mismo objeto con respecto al tiempo. Relájate, deja que los conceptos se hundan, piénsalo y la física se convierte en la cosa más fácil del mundo. Debería ser, después de todo, describe un mundo en el que usted mismo ha vivido, experimentado y comprendido durante años.

Cuadrar el tiempo no tiene sentido, cierto. No hay magia detrás de esto.

Si el cuerpo se mueve con rapidez constante, entonces la distancia recorrida es$S=v t$, para diferentes trayectorias tendremos diferentes$v$Es así que después de algún tiempo de investigación descubrimos que para obtener la velocidad (como PARÁMETRO) de movimiento necesitamos dividir el espacio en el tiempo.

Luego viene nuestro amigo y nos dice que observó movimientos donde$S=a t^2$, por lo que el espacio recorrido es proporcional al tiempo al cuadrado (como parámetro), entonces nos sentamos a pensar y decidimos averiguar este nuevo parámetro de movimiento.$a$de la misma manera que antes simplemente dividiendo el espacio en el tiempo, pero en este caso en el tiempo al cuadrado.

Imagina que no conoces las dimensiones de la velocidad y la aceleración, pero acabas de observar 2 tipos diferentes de movimiento: lineal y parabólico. El espacio no tiene nada que ver con el tiempo, así que para darle sentido dimensional a$S=a t^2$tendrás que inventar algo.