¿Puede haber aceleración sin velocidad?

Permítanme parafrasear la pregunta para que quede claro lo que estoy respondiendo. El principio de equivalencia nos dice que la aceleración y la gravedad son (localmente) equivalentes. Pero la experiencia cotidiana nos dice que un objeto acelerado se aleja rápidamente en la distancia a una velocidad cada vez mayor, mientras que el$1g$La aceleración gravitatoria que estoy sintiendo en este momento no ha aumentado mi velocidad en absoluto en los 54 años que la he estado experimentando. Entonces, ¿cómo pueden ser equivalentes la aceleración y la gravedad?

La respuesta es que la aceleración se mide en relación con un observador en caída libre, es decir, un observador que no está acelerando. Si estás a bordo del cohete acelerando a$1g$entonces, en su propio marco de coordenadas, está en reposo y su propia velocidad no cambia. Sin embargo, si lanzas a uno de tus compañeros de tripulación fuera de la esclusa de aire, los verás acelerar alejándose de ti en$1g$. Su velocidad está cambiando en relación con su compañero de tripulación en caída libre.

Del mismo modo aquí estoy en la superficie de la Tierra experimentando una aceleración de$1g$, y en mi propio marco de coordenadas estoy en reposo y mi velocidad no cambia. Sin embargo, si te tiro por el pozo de una mina, te veré alejarte acelerando$1g$. La aceleración gravitatoria está cambiando mi velocidad relativa a ti.

Así que los dos escenarios son de hecho equivalentes. Sentado aquí en mi computadora portátil escribiendo esto, realmente estoy acelerando a$1g$, y como resultado de esta aceleración mi velocidad realmente aumenta en relación con un observador en caída libre .

Pero sigue habiendo una gran diferencia. Si mi cohete tiene suficiente combustible, puedo seguir acelerando indefinidamente y el alma desafortunada que arrojé por la esclusa de aire seguirá acelerando (en relación conmigo) indefinidamente. Por lo tanto, como dice la pregunta:

Si estuviera en una nave espacial acelerando continuamente a$9.81m/s^2 =1g$en línea recta, alcanzaría casi la velocidad de la luz en un año.

Por el contrario, si te tiro por el pozo de una mina, acelerarás al principio, pero solo por un tiempo limitado. A medida que llegue al centro de la Tierra (es un pozo profundo), su aceleración relativa a mí disminuirá a cero y luego cambiará de dirección. Si espero lo suficiente, volverás a moverte hacia mí. Esto es muy diferente al comportamiento que vemos con un cohete acelerando.

La razón de la diferencia es que el principio de equivalencia nos dice que la aceleración y la gravedad sólo son equivalentes localmente . No existen campos gravitatorios completamente uniformes en la naturaleza: todos los campos gravitatorios cambian con la distancia. El principio de equivalencia se aplica solo en una distancia lo suficientemente pequeña como para que el campo gravitacional sea aproximadamente uniforme. Una comparación justa con el cohete requeriría que la aceleración del cohete cambiara de la misma manera que cambió la aceleración gravitatoria.

¿Puede haber aceleración sin velocidad?

No.

Si estuviera en una nave espacial acelerando continuamente a 9,81 m/s² = 1 g en línea recta, alcanzaría una velocidad cercana a la de la luz en un año.

No hay problema con eso, sin duda todos hemos leído sobre el cohete relativista .

En la Tierra, estamos en un campo gravitatorio de 1 g, lo que según el principio de equivalencia significa que estamos acelerando efectivamente a 9,81 m/s².

En realidad, el principio de equivalencia se aplica solo a una región infinitesimal. Ver el segundo párrafo aquí . Es "en ninguna parte realizado con precisión en el mundo real" . Y no estamos acelerando efectivamente. Tu velocidad simplemente no está cambiando. Es como si estuvieras acelerando. Sientes una fuerza en tus pies, pero en realidad no estás acelerando.

¿Qué quiere decir esto? ¿Cómo podemos estar acelerando sin aumentar nuestra velocidad?

Significa que no estamos acelerando. Vea esto donde Einstein se refirió a un campo gravitatorio como espacio no homogéneo, que la gente suele describir como espacio-tiempo curvo. Pararse en el suelo en un espacio no homogéneo/espacio-tiempo curvo es como acelerar en un espacio homogéneo/espacio-tiempo plano, pero no es exactamente lo mismo. Si lo fuera, si realmente estuviera acelerando, sus electrones estarían emitiendo radiación. Estarías brillando como el niño Ready-Brek , y no lo estás.

¿Hay alguna forma de ver esto, desde algún otro marco inercial, que signifique que estamos viajando cerca de la velocidad de la luz?

No. Simplemente no estamos viajando cerca de la velocidad de la luz. Sin embargo, la naturaleza ondulatoria de la materia implica algo de este tipo, que es la razón subyacente por la que el principio de equivalencia "funciona". Para apreciar esto, es mejor comenzar con un solo haz de luz y trabajar desde allí.

¿Puede haber aceleración sin velocidad?

Sí. El principio de equivalencia lo demuestra.

La aceleración sin velocidad también resuelve sus otras preguntas sobre su velocidad final, etc.

Einstein:

Llegamos a una interpretación muy satisfactoria de esta ley de la experiencia si suponemos que los sistemas K y K' son físicamente exactamente equivalentes, es decir, si suponemos que podemos considerar que el sistema K está en un espacio libre. de los campos gravitatorios, si consideramos a K como uniformemente acelerado. Esta suposición de equivalencia física exacta nos impide hablar de la aceleración absoluta del sistema de referencia, así como la teoría habitual de la relatividad nos prohíbe hablar de la velocidad absoluta de un sistema; y hace que la caída igual de todos los cuerpos en un campo gravitatorio parezca algo natural.

Hay algunos argumentos bastante buenos aquí http://www.mathpages.com/home/kmath528/kmath528.htm que muestran cómo la radiación electromagnética no puede ser emitida por observadores que aceleran uniformemente. Ver también ¿Una partícula cargada que se acelera constantemente emite radiación EM o no?

La ligera falta de homogeneidad del campo gravitatorio en la Tierra no entra en escena, ya que siempre podemos elegir una región más pequeña del espacio para obtener una región con una curvatura arbitrariamente pequeña.

Primero, tienes que resolver qué significa aquí velocidad y aceleración . La aceleración de la que está hablando es lo que uno mediría con un acelerómetro, que esencialmente mide la 'flexión' de su línea de tiempo en el espacio-tiempo. Y el espacio-tiempo tiene$3+1$dimensiones.

Por lo tanto, si por velocidad te refieres a una velocidad espacial$3$-vector o su magnitud (velocidad), entonces no sorprende que pueda tener una aceleración sin una velocidad: está ignorando un componente de las cuatro velocidades en el espacio-tiempo.

Por ejemplo, en un espacio-tiempo estático en coordenadas en las que la métrica toma la forma

$$\mathrm{d}s^2 = -e^{2U}\mathrm{d}t^2 + e^{-2U}h_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j\text{,}$$ dónde $e^U$es el factor de corrimiento al rojo gravitacional, una función de las coordenadas espaciales $x^i$solamente, un observador estacionario tendría una velocidad de cuatro $u = e^{-U}\partial_t$, es decir, con componentes que desaparecen en las direcciones espaciales. Mientras tanto, el vector de cuatro aceleraciones viene dado por la derivada covariante del factor de corrimiento al rojo gravitacional: $$a^\mu = U^{;\mu} = g^{\mu\nu}U_{,\nu}\text{.}$$ Para un campo gravitacional esféricamente simétrico (espacio-tiempo de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild), tendrá un componente radial distinto de cero $a^r$esencialmente porque la velocidad de cuatro tiene un componente temporal $$u^t = e^{-U} = \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{1/2}$$ que no es constante con respecto a $r$, dándote una derivada que no desaparece.