¿Puede el potencial eléctrico o gravitatorio ser discontinuo? ¿Por qué?

Sí, el potencial eléctrico puede cambiar de forma discontinua.

Todos los cambios discretos y abruptos de cualquier cosa son idealizaciones. Los objetos reales no tienen discontinuidades. Pero nuestros modelos idealizados pueden tener discontinuidades, y usó ese modelo para resolver el problema de la capa cargada. En un caparazón real, la densidad de carga no cambiaría abruptamente y el campo E no sería discontinuo, aunque podría tener una pendiente muy grande en una distancia muy pequeña.

Otra distribución de carga idealizada es la capa de dipolo. Para una hoja de dipolo infinitamente delgada, el potencial cambiará discontinuamente a medida que se mueve de un lado al otro. (El campo eléctrico, sin embargo, será continuo.)

Las capas de dipolo "delgadas" (lo que quiera decir con "delgadas") existen, por ejemplo, en uniones pn de semiconductores. Un modelo simple de una unión pn trata la capa como una hoja de espesor cero. Por supuesto, solo puedes ir tan lejos con ese modelo.

Puede convencerse de todo esto haciendo un dibujo de un capacitor de placas paralelas infinitas (una capa de dipolo de espesor distinto de cero) y considerando el potencial a cada lado y dentro del capacitor, y el campo eléctrico dentro y fuera (utilice Gauss ' Ley, suponga que hay algún campo incidente en el condensador desde el exterior, y vea lo que dice la Ley de Gauss sobre el campo a medida que cruza la capa). Luego imagina que la separación de las placas llega a cero.

No sé sobre la gravedad. Parece que no debería ser posible porque no hay forma de formar una hoja de dipolo. Los objetos extensos pueden tener un momento dipolar gravitacional, supongo. Pero dejo que alguien más dé una buena respuesta a esa pregunta.

actualización después del comentario (gracias)

Al reducir la separación de placas del condensador, la densidad de carga tiene que aumentar de tal manera que$\Delta V = \sigma d /\epsilon_0$permanece constante.

bueno el potencial$(\phi, A)$genera los campos$E = -\dot A - \nabla \phi,\; B =\nabla\times A.$Esto es importante porque te recuerda que$\phi$es una abstracción teórica que usamos para estudiar las cosas físicas reales que nos interesan, por lo que podemos tener mucha libertad aquí.

Si$A = 0$y$E$no está definido en el límite de algún volumen, entonces no hay nada en general que lo obligue a hacer$\phi$continuo a través de ese límite: en cualquier caso, tiene algún tipo de "torcedura" que lo hace no diferenciable, pero también puede cambiarlos por cualquier constante aditiva y aún tendrá$E = -\nabla \phi$lo que sea$E$se define. Por lo tanto, es importante ver que ha elegido hacer que el potencial esté bien definido a través del límite.

Ahora, ¿alguna vez te ves forzado a una situación en la que$-\nabla^2 \phi = \rho/\epsilon_0$genera un potencial que no puede ser continuo a través de dos superficies?

Sí, pero primero permítame ofrecerle una restricción: suponga que tiene un volumen$V$en un espacio$\Omega$con algún límite$\partial V$separando$V$de$\Omega - V$. Resolvemos la ecuación de Poisson para$V$y encontramos que tiene cierto potencial$\psi$en$\partial V;$entonces probablemente hay una extensión dos veces diferenciable de$\psi$a todo el espacio$\Omega - V,$de donde podemos resolver$-\nabla^2 u = \rho/\epsilon_0 - \nabla^2 \psi,$con la condición de contorno de que es 0 en$\partial V.$No hay razón para pensar que esta condición de frontera no puede ser satisfecha, entonces$u + \psi$funciona como válido$\phi$que es continua a través de la frontera.

Entonces, los contraejemplos probablemente caen en un par de clasificaciones:

1. Casos en los que elegimos una discontinuidad potencial como condición de contorno sin un volumen cerrado. El mejor ejemplo de esto es si reduce un capacitor de placas paralelas para que sea infinitamente delgado con ciertas suposiciones, de modo que estamos hablando de$\mathbb R^3$menos el plano finito$z = 0, x^2 + y^2 < r^2$para algunos$r$. Las condiciones de contorno de este espacio son potenciales$+V/2$por un lado,$-V/2$en el otro lado, y entonces, por definición, el potencial es discontinuo.
2. Casos donde el interior de$V$no está simplemente conectado. Si eliminamos el eje central de un cilindro, por ejemplo, podemos obtener el campo continuo sin rotaciones$E = V_0 \hat \theta / r.$Esto tiene un potencial dentro de$V$pero hay que elegir una superficie que la haga discontinua, porque$V$no está simplemente conectado, por lo que viajar alrededor de un bucle puede conducir a una discontinuidad.
3. Este es en el que estoy más inestable, pero: casos en los que el potencial tiene un "torcimiento" pero no es discontinuo. Nuevamente, tomando el cilindro infinito: podemos insertar una hoja delgada de cierta densidad de carga$\sigma$para$r > R$en$\theta = 0$. No hay razón para que esto genere un potencial discontinuo fuera de$V$, pero habrá una torcedura predecible en él en$\theta = 0$en el límite y, por lo tanto, esto no puede extenderse a una función dos veces diferenciable. Dentro de$V$, puede ser posible que esta discontinuidad "amplifique" a una discontinuidad total en$r = 0.$(Por defecto puedo decirle que la naturaleza de$\nabla^2$, como también aparece en contextos difusivos, es "suavizar" las discontinuidades, por lo que creo que tendrías que intentar "precisarlo" de alguna manera.