¿Es TdecayTdecayT_{decay} el tiempo que tarda una cantidad de núcleos radiactivos en desintegrarse completamente\it{completamente}?

$T_{decay}$como lo ha definido, es una estimación aproximada razonable de cuánto tiempo pasará antes de que el último núcleo se haya desintegrado. Sin embargo, no puedes decir que ese es el tiempo que tomará con seguridad, porque$N_t = N_0 e^{-t/\tau}$sólo es precisa en un sentido probabilístico. Además, esa expresión para$N_t$solo es exacto cuando$N_t$es lo suficientemente grande como para que sea razonable tratarlo como un número real en lugar de un entero.

Puede obtener un valor más preciso para$T_{decay}$tratando el problema probabilísticamente de forma explícita:

Dado que la probabilidad de que un núcleo dado inicialmente sin decaer$i$permanecerá intacto después de un período$t$es dado por

$$\bar{p}_i(t)=e^{-t/\tau}\ \ ,$$ la probabilidad de que todos $N_0$los núcleos inicialmente no descompuestos se habrán desintegrado después de un período $t$es dado por $$p(t)=\prod_{i=1}^{N_0}\left[1-\bar{p}_i(t)\right]=\left ( 1-e^{-t/\tau} \right )^{N_0}\ \ .$$ Resolviendo esa expresión para $t$da que el tiempo requerido para que haya una probabilidad $p$que todos los núcleos se han descompuesto es $$T_{decay}(p)=-\tau \ln \left ( 1-p^{1/N_0}\right )\ \ .$$

Nótese que esa expresión diverge en el límite$p \to 1$, lo que refleja el hecho de que nunca se puede estar 100% seguro de que todos los núcleos se hayan descompuesto, sin importar cuánto tiempo se espere.

Lo anterior puede estar relacionado con el valor de$T_{decay}$dado en la pregunta al señalar que

$$p\left(\tau(1+\ln N_0)\right)=\left(1-\frac{1}{e N_0}\right)^{N_0}\ \ .$$

Para grande$N_0$esto se acerca

$$\lim_{N_0\to\infty}p\left(\tau(1+\ln N_0)\right)=e^{-1/e}=0.692201\ \ .$$

Es decir, después de un período de$T_{decay}$como se indica en la pregunta, hay una probabilidad del 69,22 % de que todos los núcleos se hayan desintegrado.

Según la citada ley de desintegración para la desintegración de un gran número de núcleos radiactivos, no existe un tiempo finito hasta que todos los núcleos se hayan desintegrado. Puedes elegir cualquier tiempo grande$t$y siempre tendrás un número finito de núcleos sin descomponer. No has dado una explicación de cómo llegas a esta cantidad.$T_{decay}$.$T_{decay}$no parece tener ningún significado.

Nota: La ley de decaimiento exponencial es una ley probabilística. Puedes tomar$N/N_0=e^{-t/\tau}$para representar la probabilidad en el tiempo$t$que un solo núcleo aún no se ha desintegrado. Por lo tanto, incluso si solo tienes un núcleo, ¡no puedes dar un tiempo hasta que se haya descompuesto!