Prueba para ∮dQT=0∮dQT=0\oint \frac{dQ}{T}=0 en un proceso reversible

Question

Prueba para ∮dQT=0∮dQT=0\oint \frac{dQ}{T}=0 en un proceso reversible

Ámsterdam6483

De hecho, estoy tratando de probar que la entropía es una función de estado. Me sorprende el punto en el que necesito demostrar que $\oint \frac{dQ}{T}=0$ para un proceso reversible. Clausius en su libro The Mechanical Theory of Heat demostró esto al considerar cualquier proceso como una combinación de pequeños procesos isotérmicos y adiabáticos. Esto descompondrá cualquier proceso reversible en ciclos de Carnot, cuyo resultado está bien establecido. El problema es que no estoy muy seguro de si tal ruptura realmente convergerá en el proceso requerido. Si alguien puede probar que incluso eso es lo suficientemente bueno.

De lo contrario, estoy buscando alguna prueba en la que uno pueda probarlo matemáticamente (o por cualquier medio lógico). Ya probé las siguientes respuestas:

usuario258881

Le aconsejo que eche un vistazo a esta respuesta: physics.stackexchange.com/a/511590/258881

Ámsterdam6483

@FakeMod Lo siento, no pude entender lo que se hizo allí.

Ámsterdam6483

La respuesta podría estar allí en los enlaces que he compartido anteriormente. Intenté leer cada uno de ellos. Pero no pude conseguir mucho. Supongo que soy tonto.?

usuario258881

No, eso no significa que seas tonto, pero honestamente, ni siquiera yo sé nada más que las cosas a las que te has vinculado.

Respuestas (2)

Prueba para ∮dQT=0∮dQT=0\oint \frac{dQ}{T}=0 en un proceso reversible

Le aconsejo que eche un vistazo a esta respuesta: physics.stackexchange.com/a/511590/258881
La respuesta podría estar allí en los enlaces que he compartido anteriormente. Intenté leer cada uno de ellos. Pero no pude conseguir mucho. Supongo que soy tonto.?
No, eso no significa que seas tonto, pero honestamente, ni siquiera yo sé nada más que las cosas a las que te has vinculado.

usuario258881 · Answer 1

Usando la primera ley de la termodinámica,

\begin{aligned} d q & = d tu + d W \\ d q & = norte C_{V} d T + PAG d V \\ \frac{d q}{T} & = norte C_{V} \frac{d T}{T} + \frac{PAG}{T} d V \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm dQ & = \mathrm dU +\mathrm dW\\ \mathrm dQ &= n C_V \mathrm dT + P \mathrm dV\\ \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{P}{T} \mathrm dV \end{align}$

Dado que el gas en consideración es un gas ideal, podemos aplicar la ecuación de estado, $PV=nRT$ , para reemplazar $P/T=nR/V$ . Sustituyendo esto en las ecuaciones anteriores,

\begin{aligned} \frac{d q}{T} & = norte C_{V} \frac{d T}{T} + \frac{norte R}{V} d V \\ \oint \frac{d q}{T} & = norte C_{V} \oint \frac{d T}{T} + norte R \oint \frac{d V}{V} \\ \oint \frac{d q}{T} & = norte C_{V} en T |_{T}^{T} + norte R en V |_{V}^{V} \\ \oint \frac{d q}{T} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{nR}{V} \mathrm dV\\ \oint \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \oint \frac{\mathrm dT}{T} + nR \oint\frac{\mathrm d V}{V}\\ \oint \frac{\mathrm dQ}{T}&=nC_V \ln T \biggr |_T ^T + nR \ln V \biggr |_V ^V\\ \oint \frac{\mathrm d Q }{T} &=0 \end{align}$

Sin embargo, hay una pequeña trampa. Has probado esto para un gas ideal. Pero, ¿cuál no es el caso y qué pasa si el sistema no es un gas en primer lugar?
@Vilvanesh Bueno, no conozco ninguna forma de probarlo, en general, para un gas, líquido o sólido no ideal. Sin embargo, si adopta el enfoque de la entropía de Boltzmann , queda claro que la entropía es una función de estado para cualquier sustancia.
No creo que puedas construir un motor de Carnot usando nada más que gas ideal. Es el motor más eficiente porque solo puede usar aproximaciones de gas ideal aquí (principalmente que su gas no tendrá interacciones de largo alcance)

Ibn Abu · Answer 2

No es obvio a partir de la primera ley de la termodinámica que $dQ,dU,dW$ son diferenciales para la integración.

No tiene que ser un gas ideal, todo lo que se necesita es asumir que las integrales existen en el sentido de Riemann y ciertas funciones son absolutamente continuas. dejar $\epsilon , a >0$ ,

$T_{n}>T_{n-1}>a,|T_{n}-T_{n-1}| < \epsilon$

Usando la primera ley de la termodinámica,

\begin{aligned} q_{2} - q_{1} & = {tu}_{2} - {tu}_{1} + W_{2} - W_{1} \\ \int_{q_{norte - 1}}^{q_{norte}} d q & = \int_{T_{norte - 1}}^{T_{norte}} metro C_{V} d T + \int_{V_{norte - 1}}^{V_{norte}} PAG d V \\ \sum_{norte = 1}^{norte = norte} \frac{1}{T_{norte - 1}} \int_{q_{norte - 1}}^{q_{norte}} d q & = \sum_{norte = 1}^{norte = norte} \frac{metro}{T_{norte - 1}} \int_{T_{norte - 1}}^{T_{norte}} C_{V} d T + \sum_{norte = 1}^{norte = norte} \frac{1}{T_{norte - 1}} \int_{V_{norte - 1}}^{V_{norte}} PAG d V \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm Q_2-Q_1 & = \mathrm U_2 - U_1 +\mathrm W_2 - W_1\\ \mathrm \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ &= \int_{T_{n-1}}^{T_n} m C_V \mathrm dT + \int_{V_{n-1}}^{V_n} P \mathrm dV\\ \sum_{n=1}^{n=N} \frac{1}{T_{n-1}}\mathrm \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ &=\sum_{n=1}^{n=N}\frac{m}{T_{n-1}} \int_{T_{n-1}}^{T_n} C_V \mathrm dT + \sum_{n=1}^{n=N}\frac{1}{T_{n-1}}\int_{V_{n-1}}^{V_n} P \mathrm dV\\ \end{align}$

Por las siguientes desigualdades:

| \frac{1}{T_{norte - 1}} \int_{q_{norte - 1}}^{q_{norte}} d q - \int_{q_{norte - 1}}^{q_{norte}} \frac{1}{T} d q | \leq \int_{q_{norte - 1}}^{q_{norte}} | \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{norte - 1}} | d q \leq \int_{q_{norte - 1}}^{q_{norte}} \frac{ϵ}{a^{2}} d q

$|\frac{1}{T_{n-1}}\int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ-\int_{Q_{n-1}}^{Q_n} \frac{1}{T} dQ| \le \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{n-1}}| dQ \le \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} \frac{\epsilon}{a^2} dQ$

| \frac{1}{T_{norte - 1}} \int_{T_{norte - 1}}^{T_{norte}} C_{V} d T - \int_{T_{norte - 1}}^{T_{norte}} \frac{1}{T} C_{V} d T | \leq \int_{T_{norte - 1}}^{T_{norte}} | \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{norte - 1}} | C_{V} d T \leq \int_{T_{norte - 1}}^{T_{norte}} \frac{ϵ}{a^{2}} C_{V} d T

$|\frac{1}{T_{n-1}}\int_{T_{n-1}}^{T_n} C_VdT-\int_{T_{n-1}}^{T_n} \frac{1}{T} C_VdT| \le \int_{T_{n-1}}^{T_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{n-1}}| C_VdT \le \int_{T_{n-1}}^{T_n} \frac{\epsilon}{a^2} C_VdT$

| \frac{1}{V_{norte - 1}} \int_{V_{norte - 1}}^{V_{norte}} PAG d V - \int_{V_{norte - 1}}^{V_{norte}} \frac{1}{T} PAG d V | \leq \int_{V_{norte - 1}}^{V_{norte}} | \frac{1}{T} - \frac{1}{V_{norte - 1}} | PAG d V \leq \int_{V_{norte - 1}}^{V_{norte}} \frac{ϵ}{a^{2}} PAG d V

$|\frac{1}{V_{n-1}}\int_{V_{n-1}}^{V_n} PdV-\int_{V_{n-1}}^{V_n} \frac{1}{T} PdV| \le \int_{V_{n-1}}^{V_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{V_{n-1}}| PdV \le \int_{V_{n-1}}^{V_n} \frac{\epsilon}{a^2} PdV$

dejar $\epsilon \to 0$ tenemos

\int \frac{1}{T} d q = metro \int \frac{1}{T} C_{V} d T + \int \frac{1}{T} PAG d V

$\int \frac{1}{T} dQ=m\int \frac{1}{T} C_VdT+\int \frac{1}{T} PdV$

\frac{d F}{d q} = \frac{1}{T}

$\frac{df}{dQ}=\frac{1}{T}$

\frac{d gramo}{d T} = \frac{C_{V}}{T}

$\frac{dg}{dT}=\frac{C_V}{T}$

\frac{d h}{d V} = \frac{PAG}{T}

$\frac{dh}{dV}=\frac{P}{T}$

si $f,g,h$ son absolutamente continuas entonces

\oint \frac{1}{T} d q = metro \oint \frac{1}{T} C_{V} d T + \oint \frac{1}{T} PAG d V = 0

$\oint \frac{1}{T} dQ=m\oint \frac{1}{T} C_VdT+\oint \frac{1}{T} PdV=0$

Estimado Ibn Abu. Bienvenido a Phys.SE. Por lo general, está mal visto copiar y pegar directamente respuestas idénticas . (El problema es si todos comienzan a copiar y pegar respuestas idénticas en masa).

Prueba para ∮dQT=0∮dQT=0\oint \frac{dQ}{T}=0 en un proceso reversible

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