Prueba limpia de que el tensor métrico inverso es realmente el inverso

En las conferencias de Frederic Schuller sobre GR, define el tensor métrico como un$(0,2)$-campo tensorial que satisface:

1. $g(X,Y)=g(Y,X) \,\,\,\forall X,Y$
2. $\flat (X)$es un$C^\infty$-isomorfismo, donde$\flat(X):=g(X,\cdot)$

Luego define el tensor métrico inverso como el$(2,0)$-campo tensorial que satisface:

1. $g^{-1}(\omega,\sigma)=\omega(\flat^{-1}(\sigma))$

Luego afirma sin pruebas que$(g^{-1})^{am}g_{mb}=\delta^a_b$.

¿Alguien puede ofrecer una prueba limpia de esta afirmación, a partir de las definiciones de Schuller?

Empecé con esto:

Si pudiera masajear esto para irme$e^a(e_b)$eso lo haría, pero esto parece complicado ya que lo anterior es realmente un resumen sobre$m$, y también el$e^a$y$e_b$están separados por una multiplicación$\mathbb{R}$, mientras que necesitamos la$e^a$para "actuar sobre" el$e_b$. También traté de pensar en términos de multiplicación de matrices, pero esto se vuelve complicado y confuso ya que$\flat$necesita actuar sobre vectores de columna pero producir vectores de fila.