Prueba de que todo circuito con diodos tiene exactamente una solución

Considere un circuito electrónico que consta de componentes lineales más una serie de diodos ideales. Por "ideal" quiero decir que pueden tener polarización directa (es decir, v D = 0 y i D ≥ 0 ) o con polarización inversa (es decir, v D ≤ 0 y i D = 0 ).

Estos circuitos se pueden calcular declarando arbitrariamente cada diodo con polarización directa o inversa, y configurando v D = 0 para cada diodo polarizado en directa y i D = 0 para cada diodo polarizado inversamente. Después de calcular el circuito lineal resultante, debemos verificar si en cada diodo con polarización directa i D ≥ 0 y en cada diodo de polarización inversa v D ≤ 0 Está satisfecho. Si es así, esa es nuestra solución. Si no, tenemos que probar con otro conjunto de opciones para los diodos. Entonces, para norte diodos, podemos calcular el circuito calculando como máximo 2 norte circuitos lineales (normalmente mucho menos).

¿Por qué funciona esto? En otras palabras, ¿por qué siempre hay una opción que conduce a una solución válida y (más interesante) por qué nunca hay dos opciones que conducen a soluciones válidas?

Debería ser posible demostrarlo con el mismo nivel de rigor con el que, por ejemplo, se demuestra el teorema de Thevenin en los libros de texto.

Un enlace a una prueba en la literatura también sería una respuesta aceptable.

Porque un circuito físico puede estar en un solo estado a la vez solamente. No es mecánica cuántica...
@EugeneSh.: Eso es cierto, pero eso no es lo que pregunta el OP. Algunos circuitos pueden estar en cualquiera de varios estados diferentes dadas condiciones externas idénticas. La pregunta es probar que solo existe un estado de este tipo para la clase de circuitos que describe el OP.
@DaveTweed Un circuito (al menos el teórico) no puede estar en diferentes estados dadas las mismas condiciones externas e iniciales . Pero de todos modos, por supuesto que no es una prueba sino una intuición. La prueba sería algo así como representar un circuito general como una ecuación lineal y probar que la matriz que lo representa es invertible.
@Stefan: Creo que hay un error. Debe decir "... y i D =0 para cada diodo con polarización inversa" en lugar de "...y v D =0 para cada diodo de polarización inversa".
@Eugene Sh .: por ejemplo, un flip flop (o cualquier circuito biestable) es un contraejemplo de un circuito que tiene más de una solución. Si no se proporciona una "misma condición inicial", debe asumir cualquier condición y buscar qué soluciones estables están disponibles y luego encontrará que algunos circuitos tienen solo una sin importar las condiciones iniciales (por ejemplo, circuitos lineales) y otros tienen más de uno .
@Curd En cada momento dado, dicho circuito estará en un solo estado . Para saber en cuál necesitarás las condiciones iniciales.
@EugeneSh. El punto aquí es probar que el comportamiento de estado estable del circuito de diodo no depende de las condiciones iniciales, solo hay una solución estable. A diferencia de un flip-flop, que tiene múltiples soluciones estables y puede usarse como un elemento de memoria (las "condiciones iniciales" son una escritura de memoria).
@Eugene Sh.: sí, por supuesto, pero nadie lo cuestiona. Como dije: si no hay información sobre las condiciones iniciales, debe asumir las condiciones iniciales y ver cuántas soluciones estables puede obtener. Para algunos circuitos siempre obtendrá una solución, para algunos circuitos (no lineales) obtendrá más de una. Por supuesto, las diferentes soluciones dependerán de diferentes condiciones iniciales, eso se entiende.
@Evan (y Curd) Buen punto, sin contradecir el mío. Es un esquema de una prueba.
@EugeneSh. El punto no es que un circuito no lineal pueda estar en un estado bien definido dadas las condiciones iniciales, sino todo lo contrario. El teorema al que se refiere el OP garantiza que existe una sola solución independientemente de las condiciones iniciales , lo cual es bastante peculiar para un circuito no lineal.

Respuestas (7)

Supongo que esto es para un problema artificial donde hay un circuito con pasivos conocidos y algunos I y V dados y puntos marcados para diodos de dirección desconocida. Mi respuesta es:

Es de esperar que los creadores de los problemas se hayan limitado a instancias en las que sus suposiciones lleven a sus conclusiones.

Podría ser teóricamente irresoluble si un diodo fuera extraño; considere conectar a tierra ambos lados de un diodo. Podría haber casos no triviales que utilicen tierras virtuales u otros voltajes iguales que podrían ser difíciles de detectar.

Seguramente podrían existir circuitos válidos que solo se diferencian por la dirección de un diodo para cualquier valor de "circuito válido" que incluya diodos. Considere modelar interruptores usando esas reglas de diodo ideales, ¿cómo puede decidir si un interruptor estaba destinado a estar encendido o apagado? Esperemos que las corrientes y voltajes dados den suficientes pistas. Y espero que no te hayan dado pistas contradictorias.

Esto cambia la pregunta a "¿Cómo puede saber si una instancia tiene suficiente información para ser única?" Recuerdo que la respuesta fue algo así como que necesitas un dado independiente para cada incógnita independiente, pero estoy seguro de que no pude probar eso ni idear una prueba general para la independencia de ninguno de los dos.

Para diodos ideales, puede haber múltiples soluciones.

Contraejemplo trivial: tome cualquier circuito que contenga diodos ideales que haya resuelto. Ahora reemplace uno de los diodos ideales con, si es conductor directo, un par de diodos conectados en paralelo, o si tiene polarización inversa, un par en serie, manteniendo la orientación en cualquier caso. ¿Cómo resuelve la distribución de corriente o voltaje entre los dos? No puede, el modelo de diodo ideal conduce a un casco convexo de soluciones igualmente válidas.

Realmente estás estirando la definición de "circuito" aquí. Dos diodos ideales con polarización inversa en serie crean un nodo aislado entre ellos, y dos diodos ideales con polarización directa en paralelo crean un bucle aislado. Esto no es útil en el contexto de la pregunta.
@DaveTweed: ¿Cómo es que el circuito posterior a la modificación es menos circuito de lo que era antes de que se realizara el cambio?
No lo es, pero su modificación no crea una distinción útil. Si dos diodos ideales se unen a un par de nodos de circuito, lo único que importa es el voltaje total o la corriente total entre esos nodos; la distribución de la tensión o corriente entre los diodos individualmente no tiene ninguna consecuencia. Y lanzar un término irrelevante como "casco convexo" es pura tecnopalabrería.
Esto es muy útil, ya que muestra que no hay esperanza de una prueba de unicidad sin suposiciones adicionales. Por supuesto, la siguiente pregunta es si es suficiente excluir dos diodos en fila y dos diodos en paralelo, o si hay contraejemplos de mayor complejidad.

No tengo una prueba rigurosa, pero la idea general es que mientras los componentes de un circuito tengan curvas VI que sean funciones de un solo valor (esto incluye diodos y componentes lineales), solo puede haber una solución para el circuito en general.

Tipo de inducción en una superposición. El caso base sería un circuito de un solo diodo, que es fácil de demostrar que tiene una solución única. Luego, el paso de inducción para mostrar la combinación de los circuitos base tiene una solución única.
Sin embargo, el diodo ideal discutido en la ecuación no tiene una curva IV de un solo valor.
@BenVoigt: cuando se trata de componentes ideales y los ceros e infinitos asociados, debe tener cuidado. El concepto de límites es crucial: la resistencia directa es infinitesimal pero no cero, y la conductancia inversa también es infinitesimal pero no cero. Cuando se considera de esta manera, la ecuación es de hecho de un solo valor.

Creo que es bastante simple:

puede tratar los diodos ideales con polarización directa como cortocircuitos y los diodos ideales con polarización inversa como circuitos abiertos. Entonces, en cualquier caso, obtiene circuitos con solo componentes lineales (porque todos los diodos se resuelven en circuitos abiertos o cortocircuitos) y se sabe que esos circuitos lineales tienen exactamente una solución.

Pero cada uno de esos circuitos tendrá una solución: ¿cómo prueba que solo uno es autoconsistente?
@Ben Voigt: está bien, entiendo. Eso aún no está probado (y probablemente sea el trabajo principal)

De la entrada de líneas de carga de WikipediaDe la entrada de líneas de carga de Wikipedia

Solo hay una solución única debido a la naturaleza del problema. Esto se ilustra mejor gráficamente, en forma de líneas de carga. El diodo tiene una ecuación que describe la relación entre la corriente a través de él (eje y) y el voltaje a través de él (eje x). Aquí, el eje x es el voltaje a través del diodo.

Mire lo que sucede con la corriente a través de la resistencia cuando cambia el voltaje a través del diodo. Si el voltaje es Vdd a través del diodo, entonces no habría caída de voltaje a través de la resistencia, ya que el voltaje a través de la resistencia y el diodo deben sumar Vdd) y, por lo tanto, habría cero corriente a través de la resistencia (Ley de Ohm). De manera similar, si hubiera una caída de voltaje cero en el diodo, habría Vdd en la resistencia y la corriente a través de la resistencia sería Vdd/R.

Ahora, sabemos que esas son situaciones poco realistas, ya que la corriente en el diodo y la resistencia deben ser iguales. Dada la ecuación de la resistencia (lineal) y la ecuación del diodo (no lineal, pero monótonamente creciente), podemos ver en el gráfico que esto solo puede ocurrir en un único punto, la intersección de las dos curvas.

Por lo tanto, la solución simultánea de tres ecuaciones (la resistencia, el diodo y el hecho de que las dos corrientes deben ser iguales) da una solución única.

Este método funcionará para todos los elementos del circuito.

Es un poco diferente para los diodos de corriente inversa, ya que la corriente de la resistencia va en sentido contrario y es necesario agregar un cuadrante al gráfico.

La curva IV del diodo que muestra no es la curva IV de un diodo ideal .
@Curd: Dada la falta de factores de escala, está lo suficientemente cerca. Ver mi comentario a Ben Voigt.
Esta es una buena explicación para el caso de un diodo, pero mi problema real es el caso de varios diodos.

La 'prueba' de esto solo funcionaría para ciertos circuitos. Si tiene alguna ganancia y los únicos elementos no lineales son los diodos, puede tener múltiples estados posibles. Por ejemplo (puede que no sea el ejemplo más simple posible).

Este circuito funcionará con un amplificador operacional perfectamente lineal ideal y la salida nunca se dispara hasta el infinito o se satura, sin embargo, con 0 V puede ser de aproximadamente +6 o aproximadamente -6 en la salida, con un par u otro de diodos conduciendo . También funcionará con diodos 'casi ideales' que tienen una caída directa cuando están encendidos y ninguna otra no idealidad.

esquemático

(y, por supuesto, los diodos de túnel son un caso especial con su curva IV no monotónica).

La prueba probablemente tendría que requerir solo elementos pasivos como resistencias (sin fuentes de corriente o voltaje dependientes). O quizás solo con diodos ideales con 0V Vf.

¿No está claro que la clase de circuitos de la que estamos hablando aquí excluye cualquier cosa con ganancia, como cualquier dispositivo de 3 terminales o dispositivos de resistencia negativa?
@DaveTweed No, no lo es. La pregunta original dice "componentes lineales", lo que no es lo suficientemente restrictivo, al menos para diodos con caída directa. Las preguntas típicas de los libros de texto tienen solo fuentes y resistencias de voltaje y corriente independientes y diodos ideales o algo ideales. Los circuitos reales y útiles generalmente involucran amplificadores operacionales, IME.
Quise decir lo que usted describe como preguntas típicas de libros de texto.
Tiene razón, la pregunta debería decir "pasivo" si significa excluir elementos activos pero lineales.

Esta no es una prueba completa, pero tal vez lo ayude a encaminarse:

Si hay varias soluciones, hay al menos un diodo que puede tener polarización directa o inversa. Considere uno de esos diodos. En una solución dada, tiene polarización directa o inversa. Definamos los voltajes en sus terminales, Va y Vb, de modo que si tiene polarización directa, Va >= Vb, y si tiene polarización inversa, Vb >= Va. Ya sea en el caso de polarización directa o inversa, el Resto del circuito (RotC) produce estos voltajes en las terminales del diodo.

Como indicó que el circuito consta de elementos lineales y diodos, el RotC es una red puramente lineal o incluye más diodos.

Si el RotC es una red puramente lineal, tiene una sola solución, y la única solución a las restricciones Va >= Vb y Vb >=Va es que Va = Vb.

Si el RotC incluye más diodos con múltiples soluciones posibles, considere el siguiente diodo. Nuevamente, está conectado a una red lineal o a una red con más diodos con múltiples soluciones posibles.

Si suponemos que hay un número finito de diodos en el circuito...

Prueba de que todo circuito con diodos tiene exactamente una solución
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